CGE模型中CES生產函數的貝葉斯估計

楊珂玲，葛翔宇，石瑋瑋

（1.中南財經政法大學 統計與數學學院，武漢 430073；2.湖北經濟學院統計與應用數學系，武漢 430205；3.華中師范大學 經濟學院，武漢 430079）

0 引言

貝葉斯統計是由T.R.Bayes于19世紀創立的數理統計的一個重要分支，20世紀50年代以H.Robins為代表提出了在計量經濟學模型估計中將經驗貝葉斯方法與經典方法相結合理論，得到了廣泛的應用。文獻[3]詳細分析了經典線性計量經濟學模型（正態線性單方程）的貝葉斯估計問題；文獻[4]、[5]和[6]把貝葉斯方法推廣到了非線性計量經濟模型中，主要討論了CES生產函數模型的貝葉斯估計問題，把CES生產函數模型通過兩邊取對數使其線性化，然后再利用線性計量經濟學模型的貝葉斯估計方法進行分析。其中文獻[4]還驗證了貝葉斯估計相比傳統估計方法所得的結果收斂性更好、經濟意義更實際等優點。本文將進一步討論以CES生產函數模型為例分析單個方程非線性模型的貝葉斯估計問題。本文擬采用的模型線性化方法與文獻[4]、[5]和[6]的方法不同，將在CES生產函數顯性化的問題上進行改進，并用此方法分析CES生產函數模型在不同的先驗分布下的貝葉斯估計問題。

1 貝葉斯估計與傳統估計方法的區別

貝葉斯估計是與經典估計方法相對應的一種估計方法，它的基本思路是：要估計的模型參數服從一定分布的隨機變量，先根據經驗給出待估參數的先驗分布（主觀分布），關于這些先驗分布的信息稱為先驗信息；然后根據這些先驗信息與樣本信息相結合，應用貝葉斯定理，求出待估參數的后驗分布；再應用損失函數，得出后驗分布的一些特征值，并把它們作為待估參數的估計量。

貝葉斯估計與傳統估計方法的不同之處為:

（1）參數觀點的不同。經典估計方法認為待估參數θ∈Θ具有確定性。但是貝葉斯估計方法認為待估參數θ具有隨機性,即在具體進行觀測（得到樣本x）之前，人們對θ根據過去的經驗積累了一些知識。雖然θ的具體值未知，但它服從Θ上的概率分布f(θ)。該分布叫做θ的先驗分布。

（2）利用的信息不同。經典方法只利用樣本信息，但是貝葉斯方法要求事先提供一個參數的先驗信息（一般根據專家經驗提供）,即非樣本信息，在參數估計過程中，這些非樣本信息與樣本信息一起被利用。

（3）對隨機誤差項的要求不同。經典方法除了最大似然法，在參數估計過程中并不要求知道隨機誤差項的具體分布形式，但在假設檢驗與區間估計及在貝葉斯估計時都要知道隨機誤差項的具體分布形式。

（4）選擇參數估計量的準則不同。經典方法一般用最小二乘法和最大似然原理為準則，求參數估計量；但是貝葉斯估計則需要構造一個損失函數（一般采用二次損失函數），并以損失函數最小化為準則求參數估計量。

2 單方程計量經濟學模型貝葉斯估計的過程

2.1 貝葉斯統計方法

定理1（離散型）設A1,A2,...An,...是一完備事件組，則對任一事件B,P(B)＞0,有：

式（1）稱為貝葉斯公式。P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的先驗概率和后驗概率。P(Ai)（i=1,2,....）是在不知道事件B是否發生的情況下諸事件發生的概率。在獲得新的信息（事件B發生）后，人們對諸事件發生的概率P(Ai|B)就有了新的估計。

定理2（連續型）設θ為待估參數，θ的先驗分布為g(θ)，X為樣本觀測信息，X的密度函數記作f(X|θ)，g(θ|X)為θ的后驗分布密度函數：

其中，對θ而言 ∫θf(X|θ)g(θ)dθ是常數，即f(X)可以認為是常數。f(X|θ)在形式上同θ的似然函數L(θ|X)一致，所以（2）式可改寫為：

即后驗信息正比于樣本信息與先驗信息的乘積，f(x|θ)g(θ)稱為g(θ|X)的核，（3）式表明通過樣本信息對先驗信息的修正來得到更準確的后驗信息。在得到后驗分布的密度函數后，可以進行參數的點估計、區間估計和假設檢驗。

2.2 損失函數

取損失函數為二次函數，則得

定理3[1]待估函數h(θ)取值于R1，損失函數為L(θ,d)=λ(θ)[h(θ)-d]2，0＜λ(θ)＜∞,θ∈Θ 。則h(θ)的貝葉斯估計為：

2.3 貝葉斯估計的過程

（1）確定模型的形式，找出待估參數β。

（2）給出待估參數β的先驗分布。待估參數β是一個多維向量，此時需要給出多參數的聯合先驗信息。若無先驗信息，一般可取β為均勻分布。實際上常用的先驗分布為自然共軛分布，即β的密度函數（先驗信息）和X密度函數（樣本信息），以及兩者結合后產生的函數（后驗分布）服從同一分布。

利用樣本信息，修正先驗分布。利用貝葉斯定理2導出β的后驗密度函數。

選擇二次損失函數，利用β的后驗密度函數和定理3，進一步推斷出β的點估計。

3 常替代彈性（CES）生產函數模型的貝葉斯估計

這里我們考慮在只有資本K和勞動L兩種要素下，規模報酬不變類型的常替代彈性（CES）生產函數模型：[2]

其中，Qi為第i個系統產出值，g=-ρ=(ε-1)/(ε),ε是替代彈性參數。先在（4）式兩邊都取g次冪，然后重排各項，得

設Y是一組n×1的向量觀測值，且滿足

應該強調和s2都是g的函數。且貝葉斯估計分無先驗信息和先驗信息兩種。

(1)先驗信息的貝葉斯估計

將（12）與（10）式的似然函數合并，得參數的后驗分布為：

從（13）式可以看出，β的后驗密度是一個3維多元正態分布，均值為。因此由定理3可得β的貝葉斯估計為。為了求得g的邊緣后驗密度，將（13）式對β積分，得：

式(14)是g的邊緣后驗密度。由定理3，根據這個密度,可用數值計算方法求出g的貝葉斯估計g。另外從（8）式容易由已有的估計和得到A,δ的估計。

(2)有先驗信息的貝葉斯估計

β的先驗分布為自然共軛分布,即取正態密度函數，用（13）式中的后驗分布作為先驗分布，為了區別這兩個樣本，分別用腳標1和腳標2表示，在（13）式中的后驗密度可用來作為分析新樣本的先驗密度。即：

對第二個樣本(Y2X2),其似然函數由下式給出：

其中Y2是n2×1的向量，是因變量在第二個樣本中的觀測值，假定第二個樣本的β與第一個樣本的β相同。

將（16）式的似然函數與（15）式的先驗密度合并，可得

可以看出，（17）式與（13）式有完全相同的形式，因而它能用相同的方法來分析。此處假定σ2已知，但實際上σ2很少是已知的，那么當σ2未知時，CES生產函數的貝葉斯估計有待進一步討論。

[1]陳希孺.數理統計引論[M].北京：科學出版社，1997.

[2]李子奈.高等計量經濟學[M].北京：清華大學出版社，2000.

[3]李子奈.計量經濟學(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2000.

[4]徐卓順.CGE模型：建模原理、參數估計方法與應用研究[D].吉林大學博士論文，2009.

[5]A.Hoff.The Linear Approximation of the CES Function with an Input Variables[J].Marine Resource Economics,2004,(19).

[6]L.C.Adkins,D.S.Rickman,A.Hameed.Bayesian Estimation of Regional Production for CGE Modeling[J].Journal of Regional Science,2003,43(4).