走進壓軸題的“路徑長”

210019 南京金陵中學河西分校 李玉榮

為了體現中考的選拔功能，中考命題者特別關注初高中數學知識的銜接，在銜接點處精心設置壓軸題，已成為中考命題的一種時尚.近年壓軸題出現的“求點運動的路徑長”是高中解析幾何“求點的運動軌跡方程”的雛形，它不同于幾何課本中單純代入公式求解的一些幾何計算題，也不同于單純考查邏輯思維的幾何證明題，需要數形結合，邊推理邊運算，有很強的探索性，體現知識的發展過程，考查學習潛能，內涵豐富、立意新穎，使中考命題真正實現了由“知識立意”向“能力立意”的過渡，不僅有利于高一級學校選拔合格的新生，而且對初中數學教學具有良好的導向作用.

1 運動路徑為線段

圖1

例1(2010年南京)如圖1，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發，沿AB運動到點B停止.連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連接EG，FG.

(1)設AE=x時，△EGF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍;

(2)P是MG的中點，請直接寫出點P運動路線的長.

簡解(1)略;

(2)如圖2，當點E與A重合時，

顯然BG1=AM=1;

當點E與B重合時，

由△AMB∽△MBG2，

易求得BG2=5，

所以G1G2=4，

圖2

點評 第(2)題中P為動點，求點P運動路線的長，可考慮點E的極端位置——初始點A，終止點B，相應的點P的起始位置分別為P1，P2，再經探索得到點P運動路線為線段P1P2，從而可求出點P運動路線的長.

例2(2011年三明)在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1.將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F，連接EF(如圖3).

(1)當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合(如圖4)，求PC的長;

(2)探究：將直尺從圖4中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E和點A重合時停止.在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：

①tan∠PEF的值是否發生變化?請說明理由;

②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經過的路線長.

(2)①tan∠PEF的值不變;

點評第(2)②題中線段EF的中點為動點，求它運動路線的長，關鍵是抓住題設中直角尺旋轉的開始位置與停止位置，確定線段EF的中點的起始位置，再經探索知線段EF的中點經過的路線為線段，從而可求出路線長.

2 運動路徑為圓孤

例3 (2011年湖州市)如圖7，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A，C分別在x，y軸的正半軸上，M是BC的中點.P(0，m)是線段OC上一動點(C點除外)，直線PM交AB的延長線于點D.

(1)求點D的坐標(用含m的代數式表示);

(2)當△APD是等腰三角形時，求m的值;

(3)設過P，M，B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H(如圖8)，當點P從點O向點C運動時，點H也隨之運動.請直接寫出點H所經過的路徑長.(不必寫解答過程)

簡解(1)點D的坐標為(2，4－m);

(2)當△APD是等腰三角形時，

設OM的中點為O1，

可考慮點P的極端位置：當點P從點O開始運動時，

過P，M，B三點的拋物線為y=－x2+3x，點E(3，0)，易知∠MEO=45°，

可得∠EOH=45°，所以∠COH=45°;

圖9

點評第(3)題中垂足H為動點，求它所經過的路徑的長，注意到點H是隨點P從點O向點C運動而運動，關鍵是關注點P運動的極端位置點O和點C，得知點H的兩個極端位置，再經探索知點H所經過的路徑為一段圓弧，從而可求出路徑長.

以上幾例的共同特點是在幾何圖形中研究點或圖形在運動中牽制形成另一相關聯的動點的運動路徑的長，設計新穎，不落俗套，給學習能力較強的學生創造了展示自我的空間，確保了試題在《數學課程標準》中的要求范圍內具有較高的區分度和較好的效度.對這類問題要善于借助動態思維的觀點來分析，不為“動”所迷惑，從特殊情形入手，變中求不變，動中求靜，抓住靜的瞬間，以靜制動，把動態問題轉化為靜態問題來解決，從而找到解決問題的突破口.動與靜是相對的，抓住運動中的不變量(如圖形全等、距離不變等)，對比運動前后兩種狀態的區別，用心體會，尋找規律.教師可以通過解剖典型試題，引導學生經歷解題思路的探索過程，解題方法和規律的概括過程，學會分析問題、解決問題的方法.