中考?jí)狠S題新走向——對(duì)建立以兩多邊形重疊面積為函數(shù)題型的解析

222513 江蘇省連云港市灌南縣新集中學(xué) 江宋標(biāo)

在幾何圖形或平面直角坐標(biāo)系的背景下，建立兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系式，是歷年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)題型，特別是由一幾何圖形的運(yùn)動(dòng)變化或平行移動(dòng)，而與另一形狀和位置固定的幾何圖形形成不同的重疊部分的圖形，并建立以重疊面積為函數(shù)，以運(yùn)動(dòng)或平移的時(shí)間或距離為自變量的函數(shù)關(guān)系式又是中考中的重點(diǎn)題型之一.這種題型由于需要考生充分利用數(shù)形結(jié)合、分類討論和函數(shù)思想，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，所以各省市在中考中多以壓軸題出現(xiàn)，也是近幾年中考命題新的走向和亮點(diǎn)之一.本文試圖通過對(duì)近幾年部分省市有關(guān)此類中考?jí)狠S題的分類解析，以期達(dá)到幫助教師洞察其中的類型和規(guī)律，明晰其中所活用的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，以及在教學(xué)時(shí)需注意的問題.

1 以三角形與三角形重疊面積為函數(shù)

例1(2009年吉林)如圖1所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6厘米，∠B=60°.從初始時(shí)刻開始，點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒時(shí)，△APQ與△ABC重疊部分的面積為y平方厘米(這里規(guī)定：點(diǎn)和線段是面積為0的三角形).解答下列問題：

圖1

(1)點(diǎn)P，Q從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是_____秒;

(2)點(diǎn)P，Q從開始運(yùn)動(dòng)到停止的過程中，當(dāng)△APQ是等邊三角形時(shí)x的值是_____秒;

(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

分析本題主要考查三角形面積公式、等邊三角形、菱形和相似三角形、角平分線的相關(guān)知識(shí).第(1)、(2)問比較簡(jiǎn)單，而第(3)問是本題的重點(diǎn)和難點(diǎn).由于兩質(zhì)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)，而使△APQ的位置產(chǎn)生移動(dòng)，進(jìn)而與位置固定的△ABC的重疊圖形產(chǎn)生位置上的不同.這就要求考生在菱形的背景下，能根據(jù)兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的不同位置畫出相應(yīng)圖形，運(yùn)用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.解決的關(guān)鍵是正確畫出圖形以及合理寫出重疊圖形的面積，即三角形面積的表達(dá)式，這是解決此類問題常用的有效方法之一.本題還多次運(yùn)用了三角形的面積公式，即三角形的面積等于任意兩邊長(zhǎng)與其夾角的正弦值的乘積的一半，應(yīng)引起我們足夠重視.

圖2

解(1)6;(2)8;

(3)①當(dāng)0≤x＜3時(shí)，如圖2，

②當(dāng)3≤x＜6時(shí)，

③當(dāng)6≤x≤9時(shí)，設(shè)P3Q3與AC交于點(diǎn)O，如圖2.

解法1過Q3作Q3E∥CB，則△CQ3E為等邊三角形，

解法2如圖3，過點(diǎn)O作OF⊥CP3于點(diǎn)F，OG⊥CQ3于點(diǎn)G，過點(diǎn)P3作P3H⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

圖3

2 以三角形與矩形重疊面積為函數(shù)

圖4

(1)求△ABC的面積;

(2)求矩形DEFG的邊DE與EF的長(zhǎng);

(3)若矩形DEFG從B點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍.

分析本題考查以一次函數(shù)為背景的圖形的運(yùn)動(dòng)變化，第(1)，(2)問為一次函數(shù)的一般題目，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)和矩形的性質(zhì)，比較容易解決.在第(3)問中，由于矩形DEFG沿x軸的反方向的平移，而使其與位置固定的△ABC的重疊圖形的形狀和位置產(chǎn)生變化，這就需要考生能用運(yùn)動(dòng)變化和分類討論的思想分析、解決問題.關(guān)鍵是考生能根據(jù)不同時(shí)刻下畫出不同的重疊圖形，再分情況進(jìn)行重疊圖形面積的分解.特別要注意，在求用移動(dòng)時(shí)間t表示與重疊圖形面積相關(guān)的線段的長(zhǎng)時(shí)，運(yùn)用到了相似三角形的性質(zhì)定理和函數(shù)的有關(guān)知識(shí).

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(-4，0).

由 -2x+16=0，得x=8，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(8，0)，

(2)∵點(diǎn)D在l1上且xD=xB=8，

又∵點(diǎn)E在l2上且yE=yD=8，

∴ -2xE+16=8，∴xE=4，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(4，8)，

∴DE=8-4=4，EF=8.

(3)解法1當(dāng)0≤t＜3時(shí)，如圖5，矩形DEFG與△ABC重疊部分為五邊形CHFGR(t=0時(shí)，為四邊形CHFG).

過C作CM⊥AB于M，

則 Rt△RGB∽R(shí)t△CMB，

圖5

②當(dāng)3≤t＜8時(shí)，如圖6，矩形DEFG與△ABC重疊部分為梯形HFGR.

圖6

③當(dāng)8≤t≤12時(shí)，如圖7，矩形DEFG與△ABC重疊部分為△AGR.

圖7

解法2①當(dāng)0≤t＜3時(shí)，如圖5，矩形DEFG與△ABC重疊部分為五邊形CHFGR(t=0時(shí)，為四邊形CHFG).

②當(dāng)3≤t＜8時(shí)，如圖6，矩形DEFG與△ABC重疊部分為梯形HFGR.

③當(dāng)8≤t≤12時(shí)，如圖7，矩形DEFG與△ABC重疊部分為△AGR.

3 以三角形與正方形重疊面積為函數(shù)

圖8

例3(2011年江蘇淮安)如圖 8，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P在AB上，AP=2，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA，PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A，B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)E也隨之停止.在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè).設(shè)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t/秒(t＞0)，正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S.

(1)當(dāng)時(shí)t=1時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是_______.當(dāng)t=3時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是_______.

(2)當(dāng)0＜t≤2時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大?最大面積是多少?

分析本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理及正方形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn).第(1)問的解決較為容易，第(2)問解決需考生用分類討論和運(yùn)動(dòng)變化的思想觀察并畫出相應(yīng)圖形，關(guān)鍵是寫出重疊部分圖形面積的表達(dá)式.第(3)問主要考查二次函數(shù)最值的掌握情況，在解決了前兩問的基礎(chǔ)上較易解決.解決此類問題的關(guān)鍵在于觀察重疊部分圖形的變化情況以及求出重疊部分圖形形狀變化的臨界時(shí)間.

(1)當(dāng)時(shí)t=1 時(shí)，可得，EP=1，PF=1，EF=2 即為正方形EFGH的邊長(zhǎng);

當(dāng)t=3 時(shí)，PE=1，PF=3，即EF=4;

(3)當(dāng)t=5時(shí)，面積最大.

圖9

解 (1)當(dāng)時(shí)t=1時(shí)，則PE=1，PF=1，

∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)是2;

當(dāng)t=3 時(shí)，PE=1，PF=3，

∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)是4;

S與t的函數(shù)關(guān)系式是y=2t×2t=4t2;

S與t的函數(shù)關(guān)系式是

S與t的函數(shù)關(guān)系式是

(3)當(dāng)t=5時(shí)，最大面積是

4 以三角形與直角梯形重疊面積為函數(shù)

圖10

例4 (2011年福建龍巖)如圖10，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，點(diǎn)E是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(E不與D重合)，過點(diǎn)E作EF∥AC，交AD于點(diǎn)F(當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，EF與AC重合).把△DEF沿EF對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，設(shè)DE=x，△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y.

(1)求CD的長(zhǎng)及∠1的度數(shù);

(2)若點(diǎn)G恰好在BC上，求此時(shí)x的值;

(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.并求x為何值時(shí)，y的值最大?最大值是多少?

分析第(1)問利用勾股定理及三角函數(shù)，容易求出線段CD的長(zhǎng)和∠1的度數(shù)，第(2)問是動(dòng)點(diǎn)E在線段CD上運(yùn)動(dòng)的特殊情況，考察學(xué)生對(duì)三角形全等及勾股定理知識(shí)的掌握情況，容易解決，第(3)主要考察學(xué)生的分類討論和運(yùn)動(dòng)變化思想及二次函數(shù)的最值知識(shí)的掌握情況.解決問題的關(guān)鍵在于正確畫出重疊部分的圖形并寫出其面積函數(shù)關(guān)系式.

解(1)CD=30°

(2)若點(diǎn)G恰好在BC上，

則有GE=DE=x，EC=

圖11

①(1)當(dāng)0≤x≤隨著x的增大，面積增大，此時(shí)△DEF的面積就是重疊部分的面積，當(dāng)x=時(shí)，達(dá)到最大值，為

圖12

②當(dāng)x＞2，△EFG就有一部分在梯形外，如圖12，

通過以上四例的分類解析不難看出，解決有關(guān)以兩多邊形(如三角形和特殊的四邊形)重疊面積為函數(shù)的題型的問題，關(guān)鍵是能運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想，在題設(shè)給定的幾何或代數(shù)背景下，根據(jù)其一幾何圖形運(yùn)動(dòng)或平移后與形狀和位置固定的幾何圖形在不同時(shí)刻下，正確畫出相應(yīng)的圖形，并用適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式表示出重疊圖形的面積，從而用函數(shù)思想建立重疊面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間或平移距離之間的函數(shù)關(guān)系式.教師在平時(shí)的教學(xué)和綜合復(fù)習(xí)時(shí)，要緊緊抓住此種題型的類型和解題特點(diǎn)及規(guī)律，教給學(xué)生解決此類問題的方法.唯有如此，學(xué)生在中考中遇到此類問題時(shí)才會(huì)有思路、有方法，在中考中立于不敗之地.