數學進化中的知識發現方法

陳文偉，黃金才，陳晟

(1.海軍兵種指揮學院 三系，廣東 廣州 510431;2.國防科技大學 C4ISR技術國防科技重點實驗室，湖南 長沙 410073;3.東南融通系統工程有限公司測試業務線，北京 100013)

數學進化中的知識發現方法

陳文偉1，2，黃金才2，陳晟3

(1.海軍兵種指揮學院 三系，廣東 廣州 510431;2.國防科技大學 C4ISR技術國防科技重點實驗室，湖南 長沙 410073;3.東南融通系統工程有限公司測試業務線，北京 100013)

從數學歷史發展過程中去發現數學的進化規律，從創造數學符號和包容對立的概念中獲得了最早的數學知識.將數學符號組合而成的表達式和方程，使問題變換成了形式化表示，當表達式和方程通過推演和求證，判斷其正確性時，就形成了公式和定理，它們是數學中的基礎理論.推演和求證過程是采用了等價變換.數學進化中更重要的知識發現方法是利用進化變換(對變量、函數、方程、方法等的變換)來拓展數學的新概念和解決不能求解的問題(可拓變換)，從而建立了數學的理論體系.創造、包容、形式化變換、等價變換和進化變換都是數學進化中的知識發現方法.

數學進化;知識發現;創造法;包容法;形式化變換;等價變換;進化變換

數學的進化發展是一個不斷創新的過程.現已出版的各種關于數學發展史的書籍都是介紹各個時期所發現的新知識以及它的價值［1］，很少有人去研究數學發展中是否存在進化規律.本文試探研究數學進化中的知識發現方法，以便啟發人們去理解和思考這些方法，并進一步去尋找更多的知識發現方法［2］，這樣，人們能更清晰地掌握和促進數學的發展過程.這是一種新的嘗試，希望能引起大家的關注.

1 數學進化綜述

數學經過幾千年的進化發展，筆者從以下3個方面來分析數學的進化過程.

1.1 數學本質的進化

數學本質的進化過程可以簡單地表述為［1］:

數學概念→初等數學→變量數學→現代數學→計算數學.

數學概念時期主要是建立了自然數和簡單的計算;初等數學時期主要有算術、幾何、代數、三角等;變量數學時期主要有函數、微積分、概率論等;現代數學時期主要有非歐幾何、向量、群論、線性代數、集合論等.以上進化過程是建立在嚴格的邏輯推理基礎的解析求解，笛卡爾指出，唯有數學證明是最科學和最嚴密的.

計算數學時期主要是利用計算機對數學問題進行數值求解，它開始是用來解決不能進行解析求解的問題.隨著計算機的發展，所有的數學問題都可以進行數值求解，這極大地推動了數學在自然科學和社會科學的應用，使人類社會進入了信息化社會.

1.2 數學符號表示的進化

數學符號表示使數學問題簡化，它是數學進化的基礎，數學符號進化過程可以表述為

數字→算術→符號→表達式→方程式→圖形→程序.

數字是數學的原始表示，主要是印度－阿拉伯數字:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;數學符號包括:特定數字(e、π、∞)、變量(x、y、z)、運算(+、－、×、÷)、關系(=、＜、＞、∽、∧、∨)、結合({}、())、省略(∵ 、log、∑、！)等符號，它們極大地推動了數學的發展;公式和方程式是用數學符號組合而形成的，它是數學中最重要的表示形式;圖形是空間的表現形式，主要用于解析幾何和拓撲學中;程序是計算機解決數學問題的表示形式.

1.3 數學理論的形成

數學理論的形成過程可以概括為

形式化表示→推演求證→公式和定理→理論體系.

數學問題用表達式或方程式(數學符號的組合)進行表示，實質上完成了“從數學問題到形式化表示的轉換”.形式化表示是數學進化的最重要方法之一，它省去了問題的內容，形成了既直觀又簡單的有效表示方式［3］.它便于推演與求證，即利用等價變換，得到正確的公式或者證明了定理.這種抽去了內容的正確結論，具有通用性，形成了數學理論［4］.數學中各門類的理論集合，形成了數學的理論體系.

2 數學進化的知識發現方法

2.1 創造法

創造法使數學從無到有，包括人類創造的數字、符號、圖形、函數、微積分、方程等.

1)數字的創造.數字的創造有幾千年的歷史，阿拉伯、印度、中國等古老民族都創造出自己的數字，最后統一為印度－阿拉伯數字.

2)符號的創造與進化.表述為數字符號→ 運算符號→函數符號→微積分符號→方程表示.這些符號的創造形成了數學的形式化，極大地推動了數學的進化.

3)圖形的創造與進化.表述為坐標圖形→平面曲線→空間曲面→拓撲表示.這些圖形的創造使數學更形象化了，數學家把這些圖形用函數來表示，即把圖形變換成函數來研究，產生了數學的新分支.

2.2 包容法

數學的進化得益于采用了包容法，它把矛盾的雙方都包容共存下來，承認矛盾的雙方都合理，把它們合起來構成一個新領域.典型表現在于數的進化和幾何的進化，這是數學進化的重要特點.這種包容法稱為包容變換(特殊的可拓加變換)［5］，表示為

式中A和A－1是數學中相反的雙方.

2.2.1 數的進化

數的進化是在不斷創造新數［1］，它與原來的數又存在矛盾，但采用包容法，承認矛盾的雙方都合理，把雙方都包容共存起來形成一個更大范圍的新數.

數的進化過程表述為［1］

自然數→整數→有理數→無理數→實數→虛數→復數.

1)自然數與零(0)是矛盾的，正數與負數是矛盾的.自然數(正數)是有值的數，零(0)是無值的數，正好相反.正數與負數也是相反的.把它們都包容共存起來，構成新數即整數.用包容變換表示為

2)有理數與無理數的矛盾，用包容變換表示為

3)實數與虛數的矛盾，用包容變換表示為

以上包容變換完成了數的進化，使數成為了一個完整的整體.其中“0”本身是“一無所有”，但是它在記數中表示“空位”，它作為一個數可以參與運算，又是數軸上的起點和分界點，在數中發揮了重要的作用.還有虛數()最早是在方程式求根公式中出現，不被人看好，德國數學家高斯創立虛數的圖解法，虛數的意義才逐漸明確.復數可以表示力、位移、速度等向量，有了實際意義，才為人們廣泛承認.現在復變函數的理論在流體力學、熱力學等方面有了廣泛的應用.

2.2.2 幾何的進化

幾何的進化同樣是不斷地包容矛盾的雙方才得以進步的.最早建立的比較嚴格的幾何體系是歐幾里德的幾何.在歐氏幾何中第5公理，設“給定一條直線l和不在直線上的一點P時，過點P作和直線l平行的直線m有且只有一條”，該公理不直觀、難于驗證.

羅巴切夫斯基作出與歐幾里德幾何第5公理相反的斷言:通過直線外一點，可以引不止一條而至少是2條直線平行于已知直線，由此推導下去，他得到一系列前后一貫的命題，形成邏輯上沒有任何矛盾的與歐氏幾何完全不同的另外一種新幾何系統，稱羅巴切夫斯基非歐幾何.

非歐幾何與歐氏幾何是相矛盾的.當時受到嘲笑，非歐幾何在創立后的三四十年的時間內完全被學術界忽視.后來，黎曼建立了空間曲率概念，黎曼指出:如果設曲率為α，當α =0時，這個空間的模型便是歐氏平面幾何;當α＞0時，得到羅氏非歐幾何;而對于α＜0時，則是黎曼本人的創造，它對應于另一種非歐幾何學，即黎曼幾何.實際上，普通球面的幾何就是黎曼非歐幾何.并且，黎曼非歐幾何與羅氏非歐幾何在空間曲率上是相反的.

克萊因用“群”的觀點來研究幾何學，他認為，變換群的任何一種分類對應幾何學的一種分類.這樣，表面上互不相干的幾何學就被聯系在一起了，克萊因統一了幾何學，后人稱為克萊因幾何.

包容法把幾個矛盾的幾何都包容進來了，極大促進了幾何的進化.幾何的進化用包容變換(特殊的可拓加變換)表示為

愛因斯坦提交的《引力場方程》的論文，標志廣義相對論的誕生，文章提出的引力使光線彎曲的計算，正是引用了黎曼幾何的數學表述.

2.3 形式化變換

各種數學符號的組合形成了表達式和方程，它用來描述數學問題，既簡化了問題又便于推演.形式化表示［6］實質上實現了把問題的自然語言描述變換成了問題的形式化描述.這樣極大地推動了數學的進化，把這種變換稱為形式化變換.形式化變換表示為

形式化變換是數學進化的重要里程碑.我國古代數學的發展較遲緩的一個重要原因在于沒有把問題進行形式化變換，而西方數學的發展較快的原因正是得益于把數學問題進行了形式化變換.

2.4 等價變換

數學中一個重要的解題方法是用等價變換進行解析求解或者進行定理證明.等價變換不是相同變換，等價變換的前后會發生變化，要么是數學結構元素的變化，要么是數值的變化.

2.4.1 數學結構中元素變化的等價變換

數學中絕大多數的運算都是數學結構的元素發生變化的等價變換，即相等運算的元素前后都發生了變化.

例如，線代數方程組用矩陣表示為

線代數方程組利用消元法求解，通過對矩陣的元素進行選主元、主元歸一、消元等步驟反復推演，最后得到具有單位矩陣的線性方程組，其中每一步相等運算前后的元素都發生了變化，最后得到的具有單位矩陣的線性方程組，即

它和原始的線性方程組在數學結構的元素上發生巨大的變化，這時已經求出方程組的解.

2.4.2 數值變化的等價變換

數學中的迭代法的等價變換，其運算的前后都不發生數學結構元素的變化，但是發生數值的變化，經過成千上萬次迭代，最后得到方程的解.

例如，BP神經網絡中權值和閾值的求解的迭代算法.

1)網絡權值的變換Tw:

該變換的計算公式為

2)閾值的變換Tθ:

該變換的計算公式為

迭代公式每次迭代時公式形式不會發生變化，但每次迭代時元素的值在發生變化.

數學中的等價變換是解決“未知”與“已知”的問題.等價變換是在數學原理(定義、定理等)或數學方法(消去法、迭代法等)的指導下進行的，通過等價推演或相等計算來完成從“未知”到“已知”的轉變［7］.

2.5 進化變換

2.5.1 新概念的拓展

對變量的變換拓展出了函數的新概念，對函數的變換拓展出了導數和積分的新的概念等.這些拓展新概念的變換稱為進化變換.

1)函數的出現與進化.

函數的創造使常量數學進入了變量數學.笛卡爾的幾何學第一次涉及到變量，對變量的變換就形成了函數.函數是使變量x變換為變量y，變量y是隨著變量x按照函數的關系而改變的.

函數的數學表達式和進化變換的表示分別為

函數的進化過程表述為

函數→初等函數→復合函數→復變函數→函數方程→特殊函數.

函數的創造在數學中是具有重要意義的標志或里程碑.數學家克萊因說，函數是數學思考和科學思考的心臟和靈魂.

2)微積分的出現與進化.

微分學研究物體運動的瞬時速度、曲線的切線、函數的極值等問題，積分學解決計算曲線所圍成的面積、曲面所圍成的體積、曲線長、物體的中心等問題.

微積分實質上是對函數的變換，即把一個函數變換成了另一個函數(導數或原函數)，導數和積分的數學表達式和進化變換分別表示為:

微分和積分是數學的基礎，也是科學發展的基石，對于無限的征服，成為了微分和積分發展的原動力.牛頓和萊布尼茨分別獨立地建立了微積分學.

微積分的進化過程表述為

導數→微分→積分→常微分方程→偏微分方程→積分方程→變分方程.

導數表示當前變化的情況，積分表示長期積累的結果.微積分的創造是數學進化的重要里程碑.微積分的價值在于:用微分方程式表示自然現象和法則(多個變量變化時相互之間的關系)的內在本質.

2.5.2 解決不能求解的問題

把一個不能求解的問題通過變換，將原問題變成一個可求解的問題，在可拓學中稱為可拓變換.對于數學中一些不能求解的問題，采用對方程的變換或者對表達式的變換，使問題變成能夠求解［8］，這種變換仍稱為進化變換.

1)解析求解的拉普拉斯變換.

當微分方程求不出解析解時，可以利用拉普拉斯變換(Tl)把它變換成代數方程，對代數方程求解，就容易求出它的解，再利用拉普拉斯逆變換()，把代數方程的解變換成微分方程的解，從而解決原微分方程求不出解析解的矛盾.用進化變換表示為:

例如:求常微分方程y″+4y'+3y=e－t滿足初始條件y(0)=y'(0)=1的特解.

設拉普拉斯變換為Tl［y(t)］=Y(p)，對常微分方程的拉普拉斯變換為

對變換后的代數方程求解，得出解為

對此解進行拉普拉斯逆變換:［Y(p)］=y(t)，得到常微分方程的解為

2)微分方程的差分變換.

所有不能進行解析求解的微分方程或積分方程，在變換成差分方程以后，都可以在計算機中進行數值求解.微分方程要進行數值求解，就必須進行差分化，也就是把微分方程變換成差分方程.用進化變換表示為

例如，偏微分方程:

經過差分化后，得到差分方程為

差分方程經過整理后，就形成了線代數方程組，在計算機中就可以進行數值計算了，最后求得偏微分方程的數值計算結果.

3)數值計算的表達式變換.

表達式有2種，一種進行算術運算，另一種進行導數求解.這2種表達式計算，都對運算符有個優先順序的規定，算術運算的優先順序原則是“先乘除，后加減，括號優先”;函數表達式求導數時，對運算符的優先順序規定是，先對低級運算符號(+、－)求導數，再對高級運算符號(×、÷)求導數.這種人為規定，不適合在計算機中編程序完成，需要將表達式進行變換，把有優先順序規定的表達式變換成只有前后順序的表達式，這樣才能編制程序在計算機中完成表達式的算術運算或求導數.

a)算術運算的逆波蘭式變換.

這種變換實質上完成了表達式的中綴表達，變成了表達式的后綴表達，即逆波蘭式.用進化變換表示為

例如:

這樣，后綴表達式對符號的算術運算就變成了先后順序，既沒有了括符，又沒有了優先等級，編程序就很容易了.

b)求導數的波蘭式變換.

這種變換實質上完成了函數表達式的中綴表達，變成了函數表達式的前綴表達，即波蘭式.用進化變換表示為

這樣，對函數的前綴表達式求導數時，套用運算符號求導公式的順序就一目了然了.

還有很多解決各種矛盾問題的變換這里就不多說明了.

2.5.3 方法的變換

在數學上，有大量的非線性方程和復雜的偏微分方程中是很難求出它的解析解.但是，將它們變換成數值求解方程后，即非線性方程變換成迭代方程，偏微分方程變換成差分方程，完成了從解析求解到數值求解的變換，問題就可以求解了.從解析求解到數值求解的變換，實質上是求解方法的變換，它使現代數學的理論求解變換成計算數學的數值求解.這是數學史中最大規模的一次進化，這種進化變換是對方法的變換，具體表示為

計算機的發展推動了計算數學的發展，計算數學屬于數值計算，數值計算的發展又推動了非數值計算的發展(數據處理和知識推理)，使計算機進入了人類社會，從而又推動了社會信息化進程.

3 結束語

數學是在不斷提出新概念和解決矛盾中進化發展的，本文總結了數學進化中部分的知識發現方法，包括創造法、包容法、形式化變換、等價變換和進化變換(對變量、函數、方程、方法等的變換)來拓展數學的新概念和解決不能求解的問題(可拓變換).人們還需要進一步研究更多的知識發現新方法，既更深入了解數學進化規律，進一步促進數學的進化，數學的進化又將會推動社會的進步.

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陳文偉，男，1940年生，教授，博士生導師，中國人工智能學會機器學習專業委員會副主任，中國人工智能學會可拓工程專業委員會副主任.主要研究方向為決策支持系統、機器學習、可拓工程、數據倉庫與數據挖掘.曾獲國家科技進步獎二等獎1項，軍隊科技進步獎二、三等獎8項，發表學術論文120余篇，出版專著10部.

黃金才，男，1972年生，教授，博士，中國人工智能學會機器學習專業委員會副主任，湖南青年系統工程與管理研究會副會長.主要研究方向為決策支持、數據挖掘和作戰模擬，負責主持軍隊重點項目5項，獲部委級科技進步獎4項，發表學術論文23篇，其中被EI檢索13篇.

陳晟，男，1972年生，系統分析師，博士，主要研究方向為軟件測試、軟件工程、知識工程與知識管理，獲部委級科技進步獎3項，發表學術論文20余篇，合作出版教材1部.

A knowledge discovery approach in the evolution of mathematics

CHEN Wenwei1，2，HUANG Jincai2，CHEN Sheng3
(1.The 3rd Department，Naval Command College，Guangzhou 510431，China;2.C4ISR Technology National Defense Technology Key Laboratory，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China;3.Software Testing Department，Longtop System Engineering Corp.，Beijing 100013，China)

In this paper the mathematic evolution law is studied from the historical development of mathematics.The earliest knowledge of mathematics was acquired by creating mathematic symbols and the concepts of containment and contradiction.By combining mathematic symbols into expressions and equations，the problems are transformed into formalization descriptions.Expressions and equations become formulas and theorems when they are proven correct by simulations and proofs.Formulas and theorems are basic theories in mathematics.Simulations and proofs are equivalent transformations，while a more important knowledge discovery method in mathematic development is evolution transformation，such as transformation of variables，functions，formulas，and methods.These transformations extend new concepts and solve previously unsolvable problems.The theoretical system of mathematics is thereby constructed.Creation，containment，formalization transformation，equivalent transformation，and evolutional transformation are all knowledge discovery methods in the evolution progress of mathematics.

mathematic evolution;knowledge discovery;creation method;inclusion method;formalization transformation;equivalent transformation;evolutional transformation

TP311.13

A

1673－4785(2011)05－0391－05

10.3969/j.issn.1673－4785.2011.05.002

2010－12－18.

國家自然科學基金資助項目(70671031).

陳文偉.E－mail:chenww9@21cn.com.