考慮個(gè)體移動(dòng)和局域控制的SIR傳染模型

趙敬，方義，夏承遺

(1.天津理工大學(xué)天津市智能計(jì)算與軟件新技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384;2.天津理工大學(xué)教育部計(jì)算機(jī)視覺(jué)與系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384)

考慮個(gè)體移動(dòng)和局域控制的SIR傳染模型

趙敬1，2，方義1，2，夏承遺1，2

(1.天津理工大學(xué)天津市智能計(jì)算與軟件新技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384;2.天津理工大學(xué)教育部計(jì)算機(jī)視覺(jué)與系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384)

為了能夠有效地對(duì)疾病傳播進(jìn)行建模和分析，提出了帶有個(gè)體移動(dòng)性的考慮局部感染程度和局部控制程度的SIR模型，引入了感染半徑和控制半徑的概念.在二維平面空間的基礎(chǔ)上，首先介紹了帶有個(gè)體運(yùn)動(dòng)的模型，然后將此模型與改進(jìn)的SIR模型結(jié)合，通過(guò)大量的數(shù)值仿真分析感染半徑和控制半徑對(duì)疾病傳播的影響;同時(shí)，還利用數(shù)值仿真研究了移動(dòng)個(gè)體密度和個(gè)體運(yùn)動(dòng)方向?qū)膊鞑サ挠绊?此外，基于改進(jìn)的SIR模型提出了一些能夠抑制疾病傳播的直觀控制策略，如對(duì)感染個(gè)體進(jìn)行隔離、控制以及對(duì)人群進(jìn)行疏散等.

個(gè)體移動(dòng);SIR模型;感染半徑;控制半徑

縱觀人類(lèi)社會(huì)的發(fā)展，傳染病一直持續(xù)不斷地阻礙著社會(huì)發(fā)展的進(jìn)程，從早期的天花、麻疹，到近年來(lái)的艾滋病、非典型性肺炎(SARS)以及禽流感，每一次大爆發(fā)都給人們的生命財(cái)產(chǎn)帶來(lái)巨大的損失［1－3］.一方面，人類(lèi)社會(huì)的不斷發(fā)展和完善促進(jìn)了公共衛(wèi)生體系的不斷完善，從而降低了傳染病的威脅;另一方面，社會(huì)快速發(fā)展的需求使得人力、物力資源流動(dòng)日益頻繁，從而加快了傳染病的傳播速度，增大了傳染病的傳播風(fēng)險(xiǎn).在經(jīng)歷了一次次的考驗(yàn)之后，人們也不得不考慮:為什么在醫(yī)療水平如此發(fā)達(dá)的今天，傳染病還會(huì)迅速傳播?為什么在采取了病毒預(yù)防和控制措施后，計(jì)算機(jī)病毒還能在因特網(wǎng)上肆意地蔓延?經(jīng)典的流行病學(xué)的研究將系統(tǒng)中所有個(gè)體劃分成有限數(shù)目的倉(cāng)室(如易感個(gè)體Susceptible、感染個(gè)體 Infective、免疫個(gè)體 Removed 等)，提出所謂的倉(cāng)室模型(如SI、SIS和SIR模型等)，然后利用常微分方程組來(lái)建模和分析，雖然取得了驕人的成就，但仍然無(wú)法解決上述問(wèn)題和困惑［4］.近年來(lái)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的進(jìn)展為傳染病動(dòng)力學(xué)的分析和研究提供了新的理論、工具和手段，使得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的流行病傳播成為生命科學(xué)、系統(tǒng)生物學(xué)、數(shù)理科學(xué)、信息科學(xué)與技術(shù)等領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)研究問(wèn)題［5－7］.

基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播動(dòng)力學(xué)研究，假定每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，節(jié)點(diǎn)之間的連線既代表兩者之間有聯(lián)系(熟人)，也代表了疾病傳播的途徑，即兩者之間如果有一個(gè)感染者，那么和它有連線的另一個(gè)很可能會(huì)被感染.Pastor－Satorras等人［8］利用平均場(chǎng)理論研究了均勻網(wǎng)絡(luò)和非均勻網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播行為，基于SIS模型他們發(fā)現(xiàn)均勻網(wǎng)絡(luò)上疾病傳播行為與經(jīng)典傳染模型類(lèi)似，存在固定的與網(wǎng)絡(luò)規(guī)模無(wú)關(guān)的正臨界值(λc＞0);但是對(duì)于非均勻網(wǎng)絡(luò)，在網(wǎng)絡(luò)規(guī)模趨于無(wú)窮時(shí)(N→∞)感染臨界值趨于0(λc→0)，這一突破性的進(jìn)展改變了經(jīng)典傳染病動(dòng)力學(xué)研究中許多固有的結(jié)論，激發(fā)了大量相關(guān)的研究［6－7，9－14］.

但是，目前的大多數(shù)研究仍是基于熟人之間的聯(lián)系才可以傳播，即假定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)固定不變.而實(shí)際生活之中個(gè)體之間不管是有連接(熟人)，還是無(wú)連接(陌生人)都是不確定的，熟人在疾病傳播期間可能不相遇，陌生人在疾病傳播期間可能有接觸，例如商場(chǎng)、火車(chē)站等公共場(chǎng)所的服務(wù)人員每天可能接觸成千上百的陌生人，他們?cè)径际悄吧耍ハ鄾](méi)有聯(lián)系，但是在公共場(chǎng)所的某段時(shí)間內(nèi)他們之間就會(huì)建立起新的連接.熟人之間的固定聯(lián)系只能說(shuō)明二者之間有疾病傳染的可能性，疾病在人群中的傳播不能僅僅考慮個(gè)體之間原有固定的聯(lián)系，還應(yīng)該考慮個(gè)體在物理空間的運(yùn)動(dòng)范圍.因此，在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中，個(gè)體之間的連接模式不斷變化，研究復(fù)雜變化環(huán)境下的疾病傳播行為具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.文獻(xiàn)［15］基于二維規(guī)則晶格，引入長(zhǎng)程運(yùn)動(dòng)，允許個(gè)體以特定的概率pj在晶格上隨機(jī)移動(dòng)，建模個(gè)體在社會(huì)空間上的運(yùn)動(dòng)以及移動(dòng)終端設(shè)備在通信網(wǎng)絡(luò)中的移動(dòng)，使得疾病在系統(tǒng)中的傳播行為更加符合真實(shí)情況.文獻(xiàn)［16］考慮了更一般的二維平面空間，假定個(gè)體在一個(gè)圓形的鄰域范圍內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，并允許以特定的概率作長(zhǎng)程跳躍，已感染疾病的個(gè)體可以感染給定半徑內(nèi)的易感個(gè)體.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［17］考慮了個(gè)體運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)性.但是，上述研究也忽略了一些影響因素，例如在面臨傳染病爆發(fā)時(shí)，公共衛(wèi)生部門(mén)會(huì)進(jìn)行一定的干預(yù)和控制，會(huì)對(duì)感染個(gè)體周?chē)M(jìn)行適當(dāng)?shù)母綦x措施，從而抑制疾病的進(jìn)一步傳播.本文擬提出一個(gè)同時(shí)考慮個(gè)體運(yùn)動(dòng)和局域控制策略的SIR模型，通過(guò)大量的數(shù)值仿真分析感染范圍和接種疫苗范圍對(duì)感染個(gè)體密度的影響，以建模分析公共衛(wèi)生部門(mén)的控制策略的作用和影響.

1 個(gè)體運(yùn)動(dòng)模型

假定個(gè)體運(yùn)動(dòng)模型如圖1所示，黑色的圓圈代表已感染的個(gè)體，白色的代表其他狀態(tài)的個(gè)體，初始時(shí)，將N個(gè)智能體隨機(jī)分配到L×L的滿足周期邊界條件的二維平面空間中，此時(shí)平面空間中的個(gè)體密度是ρ=N/L2.令vi和 θi(－π≤θ≤π )為第i個(gè)(i=1，2，…，N)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)速度和方向，其中vi≈(vcos θi，vsin θi)即個(gè)體可以在二維平面空間上隨機(jī)游走，方向和速度都是隨機(jī)分配的.此外，個(gè)體還可以以一定的概率pj作(0≤pj≤1)長(zhǎng)程運(yùn)動(dòng).

圖1 個(gè)體運(yùn)動(dòng)模型Fig.1 Individual motion’s model

不同狀態(tài)的個(gè)體運(yùn)動(dòng)形式也會(huì)有差別:1)感染者因?yàn)橛袀魅拘远幌拗浦荒茏鼍植窟\(yùn)動(dòng)，不能做長(zhǎng)程運(yùn)動(dòng)，即pj=0;而其他狀態(tài)的個(gè)體既可以做局部運(yùn)動(dòng)也可以做長(zhǎng)程運(yùn)動(dòng).2)未感染者對(duì)感染者有“趨利避害”的自適應(yīng)性，若感染者在健康者的感染范圍內(nèi)，那么健康個(gè)體的運(yùn)動(dòng)方向θ不再是360°，本文假設(shè)未感染個(gè)體背離染病個(gè)體的方向在180°范圍內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，如圖2所示.

圖2 個(gè)體移動(dòng)方向示意Fig.2 Direction of individual motion

此外，考慮個(gè)體的“趨利避害”效應(yīng)，進(jìn)而會(huì)遠(yuǎn)離感染者，例如在圖2中給出了個(gè)體移動(dòng)方向的示意.當(dāng)在一個(gè)未感染者(S，R)的一定范圍內(nèi)(例如r1=2)有感染者I，那么這個(gè)未感染者會(huì)按照背離感染者的方向(α=180°)移動(dòng).

2 考慮局域控制的改進(jìn)SIR模型

在本文介紹的SIR模型中，假定個(gè)體可以處于5種狀態(tài)，那么就可以把人群分為5類(lèi)，如圖3所示，它們分別是:易感染人群(S)、潛伏個(gè)體(E)、染病人群(I)、康復(fù)人群(R)和接種人群(V).另外，假定疾病傳播過(guò)程中存在2個(gè)作用網(wǎng)絡(luò):傳播網(wǎng)絡(luò)和控制網(wǎng)絡(luò)，控制網(wǎng)絡(luò)是感染網(wǎng)絡(luò)的子集，分別用感染半徑(r1)和控制半徑(r2)來(lái)定量刻畫(huà)這2個(gè)網(wǎng)絡(luò)，然后從微觀上分析局部疾病傳播程度和疾病控制程度對(duì)整體疾病傳播的影響.

圖3 改進(jìn)的SIR狀態(tài)Fig.3 The status of the improved SIR model

在圖3所示模型中引入感染半徑r1和控制半徑r2的概念，如圖4所示.

圖4 感染半徑r1和控制半徑r2Fig.4 Infection radius r1and control radius r2

其中，黑色圓圈代表染病個(gè)體I，陰影圓圈代表接種個(gè)體V，白色圓圈代表其他狀態(tài)的個(gè)體.易感染人群S不能感染其他人，但是有可能會(huì)被感染;潛伏個(gè)體E是已經(jīng)染病且具有傳染其他個(gè)體能力的，但是沒(méi)有患病癥狀的人;染病人群I呈現(xiàn)患病癥狀且具有傳染性，以概率β把疾病傳染給以r1為半徑的圓形范圍內(nèi)的易感染人群S，以概率γ被治愈進(jìn)入康復(fù)狀態(tài)R;另外，染病的個(gè)體I觸發(fā)相應(yīng)的控制動(dòng)作，使其周?chē)詒2為半徑的圓形范圍內(nèi)的所有個(gè)體(不包括R狀態(tài)個(gè)體)以概率μ被接種.

3 數(shù)值仿真結(jié)果

本節(jié)利用Matlab對(duì)改進(jìn)的SIR模型進(jìn)行數(shù)值分析，給出了一些典型參數(shù)條件下的仿真結(jié)果，以定量分析模型參數(shù)對(duì)傳播行為的影響.在仿真實(shí)驗(yàn)中，模型參數(shù)設(shè)置如下:移動(dòng)個(gè)體總數(shù)為N=10 000，感染率 β=0.1，治愈率 γ=0.1，接種率 μ=0.1，移動(dòng)個(gè)體密度ρ=0.1，移動(dòng)個(gè)體的速度模v=0.1，個(gè)體長(zhǎng)程運(yùn)動(dòng)的概率pj=0.1.

圖5給出了感染半徑對(duì)系統(tǒng)中感染密度的影響，其中縱軸代表了感染個(gè)體的密度，橫軸代表了迭代時(shí)間步(可代表任意時(shí)間單位).從圖5中可以清楚地看出，感染的個(gè)體數(shù)最終趨于0，所有的個(gè)體都會(huì)進(jìn)入到無(wú)病的狀態(tài)(R，V)，但是在圖5(a)中可以看出，在控制半徑相同的情況下，當(dāng)感染半徑較小時(shí)(如r1=1或r1=2)，感染個(gè)體的密度從初始密度直接下降，而當(dāng)感染半徑r1=3時(shí)，隨著時(shí)間的推移，感染密度會(huì)先增加，然后逐漸緩慢下降，說(shuō)明疾病在人群中大規(guī)模流行開(kāi)來(lái).當(dāng)控制半徑r2越大即接種疫苗的范圍越大，則疾病會(huì)更快被抑制住，患病的人數(shù)也會(huì)更少.

圖5 感染半徑對(duì)感染密度的影響Fig.5 Influence of infection radius on infective density

圖6給出了控制半徑r2對(duì)感染密度的影響.在感染半徑(如r1分別為1和2時(shí))較小的情況下，即使控制半徑r2設(shè)為1時(shí)，感染密度也會(huì)從初始感染密度直接下降，代表疾病不會(huì)大規(guī)模流行開(kāi)來(lái).當(dāng)感染半徑(如r1分別為3時(shí))較大的情況下，即使控制半徑r2設(shè)為3時(shí)，感染密度也會(huì)從初始感染密度先增加，然后再緩慢下降到0，即疾病在人群中大規(guī)模流行開(kāi)來(lái).總之，從圖6(a)～(c)可以看出，感染半徑越大即疾病的傳染范圍越大則疾病在人群中的傳播時(shí)間越長(zhǎng)，患病的人數(shù)也會(huì)越大.此外，圖6(c)圖可以看出，當(dāng)感染半徑較大(即疾病的感染范圍比較大)時(shí)，即使大范圍的接種疫苗疫情也不會(huì)得到控制，這就提示人們?cè)诿媾R較高感染風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，對(duì)高傳染性個(gè)體進(jìn)行隔離和控制，限制其運(yùn)動(dòng)，減小其感染范圍(半徑)是降低其大規(guī)模傳播的一個(gè)有效手段.

圖6 控制半徑對(duì)感染密度的影響Fig.6 Influence of control radius on infective density

圖7表明了移動(dòng)個(gè)體密度對(duì)感染個(gè)體變化曲線的影響.在圖7中，模型參數(shù)與圖5和6中設(shè)置基本相同，只是感染半徑和接種半徑均都設(shè)為2，即r1=r2=2.‘o’、‘□’、‘+’、‘＊—’4 條曲線分別代表了移動(dòng)個(gè)體密度ρ為0.1、0.2、0.3、0.5的時(shí)候感染人群變化曲線，當(dāng)ρ=0.1時(shí)，感染密度從0.1開(kāi)始逐漸下降到0，疾病沒(méi)有流行開(kāi)來(lái);當(dāng)ρ=0.2，0.3，0.5時(shí)，隨著移動(dòng)個(gè)體密度不斷加大，感染密度從初值0.1開(kāi)始先是增加，到達(dá)一個(gè)峰值后逐漸減小，最終趨于0，代表了疾病在人群中大規(guī)模的擴(kuò)散.這也提示了在面臨傳染病爆發(fā)時(shí)，要對(duì)人群進(jìn)行疏散，降低人群密度，從而到達(dá)抑制疾病大規(guī)模的傳播.

在圖8中，給出了個(gè)體移動(dòng)方向?qū)Ω腥久芏鹊挠绊?同樣，個(gè)體總數(shù)N=10 000，感染半徑和接種半徑均為2，即r1=r2=2，其他參數(shù)設(shè)置與前面保持一致.只是未感染者(包括S和R狀態(tài)的個(gè)體)按照?qǐng)D2中所示的“趨利避害”性限制其運(yùn)動(dòng)方向，即當(dāng)一個(gè)未感染者(S，R)的一定范圍內(nèi)(例如r1=2)有感染者I，那么這個(gè)未感染者會(huì)背離感染者的方向(α=180°)移動(dòng).在圖8中，實(shí)線和虛線分別代表了沒(méi)有控制個(gè)體移動(dòng)方向(α=360°)和控制個(gè)體移動(dòng)方向(α=180°)2種情況下的感染個(gè)體密度的變化情況.從圖8中可以看到，虛線比實(shí)線更快地下降到0，是因?yàn)楫?dāng)未感染者背離感染者的時(shí)候，相當(dāng)于減小了個(gè)體被感染的風(fēng)險(xiǎn)，縮短了疾病傳播的時(shí)間，這與人們的基本認(rèn)識(shí)是一致的.

圖7 移動(dòng)個(gè)體密度對(duì)感染人群的影響Fig.7 Influence of the density of mobile individuals on infective population

圖8 個(gè)體移動(dòng)方向?qū)Ω腥救后w的影響Fig.8 Influence of the direction of individual motion on infective population

4 結(jié)束語(yǔ)

傳染病動(dòng)力學(xué)是對(duì)真實(shí)傳染病進(jìn)行建模、預(yù)測(cè)和控制的有效理論和方法，在傳染性疾病傳播規(guī)律和預(yù)防接種等方面有著成功的應(yīng)用，本文將個(gè)體運(yùn)動(dòng)和局部狀態(tài)與SIR模型結(jié)合，提出了改進(jìn)的SIR疾病傳播模型，研究了局域控制對(duì)流行疾病傳播的影響.每種疾病的感染范圍不同，在模型中體現(xiàn)為r1不同，選擇接種疫苗的人群范圍不同在模型中體現(xiàn)在r2不同，在一定的條件下討論了r1和r2分別對(duì)整體疾病傳播的影響.結(jié)果顯示當(dāng)疾病的感染范圍較小時(shí)，只要進(jìn)行小范圍的接種疫苗或控制其隨機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)，即可實(shí)現(xiàn)有效的控制;對(duì)于感染范圍較大即感染力強(qiáng)的疾病，必須采取大范圍的接種才能有效地抑制疾病的傳播，減少被感染的人數(shù).這就提示人們，在現(xiàn)實(shí)生活中，為了較快地抑制疾病的傳播，可以采取隔離具有高傳染性的個(gè)體，限制其運(yùn)動(dòng)范圍，減小其感染范圍的措施.在接種疫苗的時(shí)候可以根據(jù)疾病感染范圍的大小，權(quán)衡接種疫苗范圍和數(shù)量，減小控制疾病傳播的成本.

此外，還分析了個(gè)體在二維平面空間中只限制染病個(gè)體的運(yùn)動(dòng)，使其只做局部運(yùn)動(dòng)，而其他個(gè)體執(zhí)行完全隨機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)，和限制染病個(gè)體方向的時(shí)候疾病傳播程度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了限制個(gè)體移動(dòng)的方向可以更快抑制疾病的傳播.

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趙敬，女，1986年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)病毒傳播.

方義，男，1988年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)病毒傳播.

夏承遺，男，1976生，副教授，博士，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)建模分析、傳播動(dòng)力學(xué)等.目前主持國(guó)家自然科學(xué)基金1項(xiàng)，省部級(jí)科研項(xiàng)目1項(xiàng)，其他科技計(jì)劃項(xiàng)目1項(xiàng).獲天津市科技進(jìn)步三等獎(jiǎng)1項(xiàng)，發(fā)表學(xué)術(shù)論文近20篇，其中被SCI檢索7篇.

A susceptible-infected-removed model considering individual mobility and local control

ZHAO Jing1，2，F(xiàn)ANG Yi1，2，XIA Chengyi1，2
(1.Tianjin Key Laboratory of Intelligent Computing and Novel Software Technology，Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China;2.Key Laboratory of Computer Vision and Systems(Ministry of Education)，Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China)

In order to effectively analyze and model the spread of infectious diseases，this paper proposed a novel Susceptible－Infected－Removed(SIR)model considering mobile individuals and local control in which the concept of the infection radius and control radius were introduced.Based on the two－dimensional space，the individual motion model and improved SIR model were considered first，and then large－scale numerical simulation was used to explore the influence of the infection radius and control radius on the behavior of disease propagation.At the same time，the paper also investigated the impact of population density and the direction of mobile agents in relation to the spread of disease.Furthermore，some intuitive control strategies were presented to inhibit the diffusion of epidemics on the basis of the proposed novel SIR model;for instance，separating and controlling the infective individual and evacuating high－density populations.

individual motion;SIR model;infection radius;control radius

TP18;O231.5

A

1673－4785(2011)06－0515－05

10.3969/j.issn.1673－4785.2011.06.006

2011－09－01.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60904063);天津市應(yīng)用基礎(chǔ)及前沿技術(shù)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(11JCYBJC06600);天津市高等學(xué)校科技發(fā)展基金資助項(xiàng)目(20090813);國(guó)家大學(xué)生創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)計(jì)劃資助項(xiàng)目(101006019).

夏承遺.E－mail:xialooking@163.com.