強化變式訓練 開拓學生思維

余煥庭

【摘要】在數學教學中,開拓學生思維是教師不可忽視的一個重要環節,它是學生學好數學的關鍵所在。只有充分利用現有教材,深入挖掘教材內在潛力,準確、有效地運用“一題多練、一題多變”的導學方法，強化變式訓練，培養學生的創新精神，才能全面提高學生的思維能力，克服學生學習數學的畏難心理，改變學生數學成績不理想的現狀。

【關鍵詞】變式訓練開拓思維能力

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2012）02-0072-02

目前，在普及九年義務教育后，有相當部分學生在初中數學學習中，成績嚴重低下，直接影響了數學科的整體質量，究其原因，學生的解（證）題的邏輯思維和探索能力差是其中一個重要因素。為有效地提高教學質量，圓滿完成初中數學的教學任務，讓全體學生都得到發展，在教學中，除了使學生掌握數學基礎知識和數學解（證）題的一般方法外，有效地運用“一題多練、一題多變”的導學方法，強化變式訓練，不斷開拓學生的思維，這對培養學生的創新意識和創新能力，培養數學思維品質，全面提高學生素質，具有十分重要的作用。本文就此談談自己的淺見。

變式一：不改變命題結構，只改變（或深化）命題結論，以培養思維的廣闊性和深刻性。

教師要經常對不同類型的習題或例題進行挖掘、引申、演變、推廣，適時地進行導學。如：不改變其條件，挖掘（或改變）結論。引導學生在熟知命題條件的基礎上，細心地觀察圖形，根據知識間的內在聯系，猜想一些新的結論，并運用所學的知識去證明這些新結論。這對于培養學生思維的廣闊性和深刻性，溝通各部分知識之間的聯系，舉一反三，觸類旁通，具有重要作用。

例1，已知：如圖1，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形，AN與CM相交于G，BM與CN相交于H，求證：AN=BM（人教版初中《幾何》第二冊P113頁13題）

分析：因為AN和BM分別在△CAN和△MCB中可考慮證明△ACN≌△MCB。由于這兩個三角形的兩組對應邊又分別是兩個等邊三角形的邊，且對應邊的夾角又與等邊三角形的角有關，易證∠ACN=∠MCB，所以命題可證。

下面將例1的的條件不變，引導學生觀察圖形，圖中還有相等的線段嗎？試證明之。于是得結論（1）：CG=CH。

再連結GH（如圖1①），則△CGH是什么三角形？于是得結論（2）：△CGH是等邊三角形。

引導學生觀察GH與AB的位置關系，于是可得如下結論：

結論（3）：GH//AB

結論（4）：NG/AN=GH/AC

結論（5）：NG·AC=MH·BC

此題仍可挖掘其它一些結論，此處不一一贅述。

例2，如圖2，⊙ O1和⊙O2 外切于點A，BC是⊙O1 和⊙O2 的公切線，B、C為切點，求證：AB⊥AC（人教版《幾何》第三冊P144頁例題）

在完成本例的教學后，可作如下延伸：

1.延長CA交⊙O1 于D，連結BD（如圖2①）。

則：①BD是⊙ 的直徑；

②∠DBC=90°；

③BC2=CA·CD；

④BD2=DA·DC；

⑤AB2=AC·AD。

2.過D作⊙O2的切線DE（如圖2②）。

則：①DE2=DA·DC；②DE=BD

3.設⊙O1 的半徑為3，⊙O2 的半徑為1，求：①外公切線BC的長；②梯形CBDE的面積和扇形 O1AB的面積，等等。

通過挖掘命題的結論和必要的引申深化，進一步開闊了學生審題和解題的視野，啟迪了學生的思維角度和深度，極大地激發了學生的學習興趣和創造精神，使學習進入了一個全新的境界。

變式二：改變命題結構，變原命題為逆命題（或否命題或逆否命題），以培養思維的逆向性和靈活性。

思維的逆向性和靈活性是思維能力的核心,創造性思維往往依賴于思維的逆向性和靈活性,靈機一動,計上心來,說的就是這個意思。

現行中學課本中的這種變式并不少見。如原定理和逆定理的證明,采用反證法證明某些命題,都是一種很好的變式訓練.它對于克服學生在解(證)題中的某種思維定勢,拓寬解題思路都是十分有利的。

例3,已知:如圖3, △ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點, ⊙O與腰AB相切于點D,求證:AC與⊙O相切(人教版《幾何》第三冊P111頁第2題)

在完成此題的練習之后，可對此命題作如下變式：

1.已知：如圖3，△ABC為等腰三角形,點O在BC上，⊙O與AB相切于點D，與AC相切于點E，求證：O是BC的中點（或OB=OC）。

2.已知：如圖3，點O是△ABC的BC邊上的中點，⊙O與AB相切于點D，與AC相切于點E，求證：△ABC是等腰三角形（或AB=AC）。

變式三：利用幾何圖形中的某些位置特點，不斷變化命題的條件和結論，組成一連串的新命題，以培養思維的嚴密性。

思維的嚴密性是指思考問題時能考慮到問題的方方面面，不疏漏各種情況和所有的細節，能全面、準確地解決問題，做到無懈可擊。因此，教師在教學中應適時地對學生進行訓練，以培養學生思維的嚴密性。

例4、在△ABC中，AB=AC，若過其中一個頂點的一條直線，將△ABC分成兩個等腰三角形，求△ABC各內角的度數。

分析：過等腰△ABC的一個頂點的直線把△ABC分成兩個等腰三角形的情形大致有如下幾種：

①過頂點A的直線與BC交于點D，且AD=BD=DC，如圖4①；

②過頂點A的直線與BC交于點D，且AB=BD，AD=DC，如圖4②；

③過頂點B的直線與AC交于點D，且AD=BD=BC，如圖4③；

④過頂點B的直線與AC交于點D，且AD=BD，CD=BC，如圖4④；

⑤過頂點C的直線與AB交于點D，且AD=CD=BC，情形與③類似（圖略）；

⑥過頂點C的直線與AB交于點D，且AD=CD，BD=BC，情形與④類似（圖略）；

經過教師的啟發和引導，師生共同分析以上六種情形，于是求三個內角的度數問題便迎刃而解，得出答案如下：

①90°，45°，45°；②108°，36°，36°；

③36°，72°，72°；④(225/7)° ,(771/7 )°,(77 1/7 )°。

變式四：不改變命題的條件和結論，只改變命題的表述形式，把同一問題進行擴展，增長學生的視野，以培養思維的廣闊性，提高學生解決問題的能力。

例5、已知一次函數y=kx+b,x=0時，y=3；當x=2時，y=0。求這個一次函數的解析式。

為了使學生加深對“待定系數法”求一次函數解析式的理解,熟練掌握“待定系數法”的解題方法,可以對例5的表述形式作如下不同表述:

表述一:已知一個一次函數當自變量x=0時,函數值y=3;這個函數的圖象經過點A(2,0),求這個一次函數的解析式。

表述二:已知一次函數y=kx+b的圖象經過點(0,3)與點(2,0),求這個一次函數的解析式。

表述三:已知直線y=kx+b經過點(0,3)與點(2,0),求此直線的解析式。

表述四：圖5是一次函數y=kx+b的圖象，根據圖象求這個一次函數的解析式。

……

通過這樣一系列的變式訓練，一方面可以使學生對同一類型的問題加深認識和理解，把書本知識讀厚；同時又能將同一類型的問題簡化，把書本讀薄，起到以一帶十的作用。這樣，對學生的思維更具廣闊性，解決問題的能力進一步得到增強。

還有其它一些變式，在此不一一細述。

以上只是粗略地介紹了我在多年的數學教學實踐中較為經常采用的幾種變式訓練。實踐使我深深地體會到：只要能充分利用好現有教材，深入挖掘教材內容的內在潛力，準確、有效地運用“一題多練、一題多變”的導學功能，強化訓練，不斷開拓學生的思維，培養學生創新精神，定能改變學生學習成績嚴重低下的現狀，從而不斷提高學生的數學素質和數學能力，數學科的教育教學質量就能不斷提高。

參考文獻

1.馬帥超：《要善于“借題發揮”》