玻爾氫原子模型中德布羅意波的最概然解釋

雷 勇

(南京信息工程大學(xué)物理與光電工程學(xué)院大學(xué)物理部，江蘇 南京 210044)

1 提出問(wèn)題

玻爾氫原子模型在量子理論發(fā)展史上有著非常重要的地位，在模型中玻爾根據(jù)對(duì)應(yīng)原理思想得出了氫原子軌道穩(wěn)定性的量子化條件：只有電子角動(dòng)量為(即約化普朗克常量)整數(shù)倍的那些軌道才是穩(wěn)定的[1, 2]。根據(jù)對(duì)應(yīng)原理確定某個(gè)體系的量子化能級(jí)需要知道系統(tǒng)軌道運(yùn)動(dòng)的頻率對(duì)能量的依賴關(guān)系，這通常比較麻煩，但是如果反過(guò)來(lái)，把角動(dòng)量量子化條件作為出發(fā)點(diǎn)，往往可以比較容易求出體系的量子化能級(jí)。此外，量子化條件與經(jīng)典力學(xué)并不相容，帶有一定的人為假設(shè)性質(zhì)，并未從根本上解決不連續(xù)的本質(zhì)[3]，因此當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家希望能對(duì)量子化條件給予更深刻的物理解釋。英國(guó)物理學(xué)家布里淵曾設(shè)想原子核周圍存在以太波，這種波是由電子運(yùn)動(dòng)激發(fā)的。該波相互干涉，只有在特定合適的軌道半徑時(shí)才能形成繞原子核的駐波，因?yàn)檐壍腊霃绞橇孔踊腫4]。

λn=2nπa0

(1)

其中a0是玻爾半徑。

盡管德布羅意利用相位波理論解釋了量子化條件，但是從后來(lái)建立的量子力學(xué)角度看，其解釋有明顯的局限性。薛定諤于1926年發(fā)表在《物理學(xué)年鑒》的第一篇論文[6]中從經(jīng)典的雅可比-哈密頓方程出發(fā)，并引入作用量函數(shù)S=Klogψ(K是一常量)，利用變分法得到描述氫原子的方程：

(2)

式中，E為電子能量；e為電子電量絕對(duì)值；r為電子相對(duì)原子核的距離。在考慮函數(shù)ψ的單值性和有限性后，當(dāng)E為負(fù)值時(shí)，方程(2)中E的解為

(3)

得到和玻爾氫原子模型一樣的能級(jí)。薛定諤進(jìn)一步寫(xiě)到：“我……最終……以上述更為中性的數(shù)學(xué)形式給出了它們，因?yàn)樗沂境隽苏嬲举|(zhì)的東西。在我看來(lái)，真正本質(zhì)性的東西，在于‘整數(shù)’假設(shè)無(wú)須再神秘地引入量子化規(guī)則，而是通過(guò)進(jìn)一步回溯問(wèn)題，從而發(fā)現(xiàn)‘整數(shù)性’根植于某個(gè)空間函數(shù)的有限性和單值性?！盵6]薛定諤的解釋顯然不同于德布羅意。不僅如此，氫原子本征態(tài)波函數(shù)ψnlm也不是動(dòng)量的本征函數(shù)，所以ψnlm的德布羅意波長(zhǎng)沒(méi)有確定的值，而呈現(xiàn)一定的分布，這顯然與德布羅意的解釋不同。此外，玻爾模型中氫原子能級(jí)不存在簡(jiǎn)并問(wèn)題，而量子力學(xué)解存在簡(jiǎn)并問(wèn)題，如下文所述不同的簡(jiǎn)并態(tài)對(duì)應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)分布并不一樣。

盡管德布羅意的解釋有明顯的局限性，但是我們不應(yīng)該簡(jiǎn)單地認(rèn)為德布羅意的解釋是錯(cuò)誤的或者純屬巧合，應(yīng)該進(jìn)一步探究其內(nèi)在原因。量子力學(xué)的計(jì)算結(jié)果顯示玻爾氫原子模型中的半徑其實(shí)是由|Rn(n-1)r2|2得到的最概然半徑[3]，其中Rnl為徑向函數(shù)，可以看出最概然半徑僅僅取決于氫原子波函數(shù)ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,φ)中的徑向函數(shù)Rnl(r)部分。我們可以據(jù)此推測(cè)，玻爾氫原子模型的德布羅意波長(zhǎng)λn=2πna0是否具有類似的最概然解釋呢？本文基于上述推測(cè)，研究了氫原子不同量子態(tài)下的徑向函數(shù)對(duì)應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)概率分布，發(fā)現(xiàn)λn有類似的最概然解釋。

2 計(jì)算、分析和討論

徑向函數(shù)Rnl(r)由坐標(biāo)表象到動(dòng)量表象的變換關(guān)系為[7]

(4)

其中jl是球貝塞爾函數(shù)。參考文獻(xiàn)資料的一般做法，下面只列出n=1、2、3的計(jì)算結(jié)果，相應(yīng)徑向函數(shù)有6個(gè)：R10、R20、R21、R30R31、R32。計(jì)算結(jié)果顯示上述徑向函數(shù)對(duì)應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)概率分布的極值個(gè)數(shù)并不相同，據(jù)此可將這6個(gè)態(tài)分為兩類：第一類是R20、R30、R31，在λ∈(0,∞)范圍內(nèi)，德布羅意波長(zhǎng)概率分布有多個(gè)極大值，這類情況與我們要討論的問(wèn)題無(wú)關(guān)，所以不再列出它們的具體計(jì)算結(jié)果；第二類是R10、R21、R32，在λ∈(0,∞)范圍內(nèi)，德布羅意波長(zhǎng)概率分布只有一個(gè)極大值，這類情況與我們要討論的問(wèn)題密切相關(guān)。為什么它們只有一個(gè)極大值呢？這源于氫原子徑向函數(shù)的自身特點(diǎn)。氫原子的徑向函數(shù)可以寫(xiě)為[3]

(5)

其中u(r)滿足方程

(6)

函數(shù)u(r)，進(jìn)而徑向函數(shù)Rnl(r)的行為由徑向量子數(shù)nr決定[3]。由于nr=n-l-1，所以第二類徑向函數(shù)有nr=0，此時(shí)的徑向函數(shù)可表示為

(7)

徑向函數(shù)R10、R21、R32表示如下：

(8)

相應(yīng)的球貝塞爾函數(shù)表示如下：

(9)

根據(jù)公式(4)，徑向函數(shù)R10在動(dòng)量空間的表示，即動(dòng)量概率振幅為

(10)

動(dòng)量的大小在p～p+dp范圍內(nèi)的概率為

(11)

(12)

在λ∈(0，∞)范圍內(nèi)，當(dāng)λ=2πa0時(shí)w10(λ)有最大值，即R10的最概然德布羅意波長(zhǎng)λp1=2πa0，等于公式(1)所示的玻爾模型基態(tài)(n=1)時(shí)的德布羅意波長(zhǎng)λ1。

同理可得R21的動(dòng)量概率振幅：

(13)

則動(dòng)量大小在p～p+dp范圍內(nèi)的概率為

(14)

可得德布羅意波長(zhǎng)分布的概率密度為

(15)

在λ∈(0，∞)范圍內(nèi)，R21態(tài)的最概然德布羅意波長(zhǎng)λp2=4πa0，等于玻爾模型第一激態(tài)(n=2)的德布羅意波長(zhǎng)λ2。

最后，R32態(tài)的動(dòng)量概率振幅：

(16)

動(dòng)量大小在p～p+dp范圍內(nèi)的概率為

(17)

可得德布羅意波長(zhǎng)分布的概率密度為

(18)

在λ∈(0，∞)范圍內(nèi)，R32態(tài)的最概然德布羅意波長(zhǎng)λp3=6πa0，它等于玻爾模型第一激態(tài)(n=3)中電子的德布羅意波長(zhǎng)λ3。

3 結(jié)論

綜上所述，可得出結(jié)論，德布羅意對(duì)玻爾氫原子模型解釋中的德布羅意波長(zhǎng)在物理實(shí)質(zhì)上對(duì)應(yīng)于氫原子量子態(tài)中徑向函數(shù)Rn(n-1)(即徑向量子數(shù)nr=0)的最概然德布羅意波長(zhǎng)。