非理想運放增益誤差的MathCAD定量分析

楊文璐

（華中科技大學 光電信息工程學院，湖北 武漢 430074）

運算放大器是重要的電子器件之一，理想的運算放大器具有開環增益Ao無窮大，差模輸入電阻Ri無窮大，輸出電阻Ro為零的特點。而實際的運算放大器Ao和Ri有限，Ro常為幾十歐姆，加之存在失調和溫漂等的影響，其實際增益會偏離目標增益。在應用中，常常將實際運放等效為理想運放處理，而對這種等效是否合理、誤差到底有多大及如何盡可能減少誤差，沒有定量的認識。本文希望在分析討論運放的非理想參數影響的基礎上解決這一問題。

實際運放較理想運放的偏離程度在一些資料中有所介紹，其中戴維德給出了一定反饋網絡下，考慮Ao、Ri、Ro非理想運算放大器增益的表達式和相關運算放大電路的設計步驟，強調了使運放增益誤差最小的最佳反饋電阻Rf的選取原則[1]；2001年，張學文等分析了運算放大器的誤差，介紹了外圍參數的選取[2]，其中也談到了最佳反饋電阻的選取。但物理試驗和工程應用中，由于失調電流、運放負載能力、頻率響應、單位增益帶寬、噪聲和電阻標準系列值等的限制，反饋網絡電阻的選取并非總能取得使增益誤差最小的理論最佳值，為此需要分析非理想參數對增益誤差影響的定量規律，從而方便對影響電路性能的重要因素給予優先考慮。

1 非理想運算放大器的增益及誤差的理論推導

以反相放大電路的分析為例。實際運放模型的反相放大電路如圖1所示，反饋電阻為Rf，閉環輸入電阻為R1，差模輸入電阻為 Ri，開環放大倍數為 Ao，輸出電阻為 Ro，輸入信號為 Vin，輸出為 Vout。 WILLIAM J，HAYT H等給出了其增益的推導[3]，方法簡述如下：

根據基爾霍夫電流定理對輸入輸出兩節點列寫節點方程：

圖1 實際運放模型的反相放大器

聯立上述兩方程，消去vid，得增益：

設目標增益為 Go，則得：

將式(4)代入式(3)消去R1得：

故增益百分誤差為：

2 非理想運算放大器的增益及誤差的討論

運放的增益理論上由反饋網路決定，以反相放大器為例，其增益為Go=-Rf/R1，反饋電阻受增益的約束。因此，研究增益誤差隨反饋電阻Rf的變化有重要意義?，F采用MathCAD[4]作圖的方法，以較有代表性的低成本通用運放μA741和目前廣泛使用的低噪聲精密運放Op27為例，著重分析增益誤差在目標增益Go和運放參數Ao、Ri、Ro的影響下，隨反饋電阻 Rf變化的規律，從而得出各因素對增益誤差影響的結論。

2.1 增益誤差與目標增益、反饋電阻的關系

對 μA741 Ao=2×105，Ri=2×106Ω，Ro=75 Ω，由式(5)、式(6)，用MathCAD作出增益百分誤差γ隨目標增益Go、反饋電阻Rf連續變化的關系曲面圖，如圖2所示。

由圖2可以看出，曲面中部有很大的平坦區，其對應增益百分誤差近似為零，這就意味著在此反饋電阻和目標增益范圍內μA741非常接近理想運放；而在平坦區兩側，曲面逐漸升高，對應的增益誤差值增大。大約在Rf小于 1 kΩ 且增益大于500，或 Rf大于 100 MΩ(工程上推薦10 MΩ以內，是因為偏置電流等其他因素的影響)時誤差才開始變得明顯，而并非一定要取一個確定的“最佳反饋電阻”[1,2]。為驗證本文觀點的合理性，將最小增益誤差與平坦區其他值所對應的增益誤差作比較。由參考文獻[1]，[2]，得增益誤差最小的反饋電阻的最佳取值公式為：以 Go分別為-10、-100、-500、-2000為例計算出的反饋電阻Rf最佳取值如表1所示。

圖2 μA741增益誤差與反饋電阻和目標增益的關系

表1 增益及對應最佳反饋電阻

增益百分誤差γ在數個典型目標增益Go下隨反饋電阻Rf變化的關系曲線，如圖3所示。

圖3 μA741在不同目標增益倍數下增益誤差與反饋電阻的關系

由圖3可見，表1所示的最佳反饋電阻落在平坦區域中部，而整個平坦區域的增益誤差幾乎沒有差別，即：對于已選定的運放，若目標增益已定，其理想增益誤差已基本確定，且反饋電阻可以在很大范圍內取值。

由圖3還可以看出，增益誤差對應的平坦區域范圍，以及增益誤差的大小受目標增益的影響。隨著目標增益的增大，增益誤差明顯變大，平坦區域相應減小。由此可以得到結論：對于反相運算放大電路，若所要求的增益較小，則反饋電阻可在更大范圍內取值，且誤差更小。

2.2 增益誤差與運放參數、反饋電阻的關系

為研究增益誤差與運放參數的關系，需取目標增益為定值，由于目標增益大時增益誤差大，為凸顯誤差，便于觀察，不妨假設目標增益值為5 000。以μA741為例，由式（5）、式（6），作出開環增益 Ao、輸入電阻 Ri、輸出電阻Ro取值不同時，增益百分誤差γ隨反饋電阻變化的曲線，如圖4所示。

由曲線 1、2、3可知，影響增益誤差的最主要因素是 Ao，Ao越大，增益誤差越小，反饋電阻取值的范圍越大。

由曲線 1、4、5、6可知輸入輸出電阻對增益誤差值影響很小，而對反饋電阻取值范圍有一定影響。輸入電阻的影響主要體現在反饋電阻很大時，輸入電阻越大，平坦區域越寬，誤差越小；輸出電阻的影響主要體現在反饋電阻很小時，輸出電阻越小，平坦區域越寬，誤差越小。

2.3 不同運放非理想參數對增益誤差影響的比較

以上分析了典型低成本運放μA741的情況，下面以目前普遍使用的低噪聲精密運放Op27為例進行分析。與μA741相比，由于是精密運放，其參數有明顯改進，Op27的Ao=1.5×106，Ri=4×106Ω，Ro=70 Ω。 采用同樣的分析方法，分別作出與圖2對應的圖5，圖3對應的圖6。

圖4 μA741增益誤差在不同運放參數作用下隨反饋電阻的變化

比較可知，Op27的性能較 μA741有明顯的改進，由于其 Ao及 Ri較大、Ro較小，根據前面的分析，較大的 Ao使Op27較μA741有更大的平坦區域以及更小的增益誤差。用MathCAD可以計算出Rf在一定范圍內取值時Op27與相應的增益誤差，如表2所示。

表2表明Op27較μA741有更大的平坦區域以及更小的增益誤差。

圖5 Op27增益誤差與反饋電阻和目標增益的關系

圖6 Op27在不同目標增益下增益誤差與反饋電阻的關系

表2 Op27與μA741在Rf在一定范圍內取值時的增益誤差對比

圖6可知，目標增益100以內，Rf在很大的平坦區取值時非理想參數導致的誤差已小于0.01%?？梢酝茢?，隨著運放性能的不斷提高，在增益不是很大的情況下，只要反饋電阻的值取在平坦區，誤差已優于0.01級精密電阻（其制造已十分困難）的誤差，也小于接觸電阻、熱電勢、溫漂等因素的影響，此時在工程上不必再考慮運放的非理想性，可將其直接視為理想運放考慮。

本文采用MathCAD作圖方法將繁瑣的表達式化為簡潔的曲線，闡釋了相關因素對增益誤差的影響：運放的差模輸入電阻和輸出電阻對增益的影響較小，而開環增益是主要影響因素。開環增益越大誤差越?。荒繕嗽鲆孑^小，增益誤差也較?。粚ΜF代運放而言，反饋電阻可以有很大的取值范圍，基本不受運放非理想參數的限制，無需取特定值就可將誤差減小至最小程度。這些規律為設計滿足特殊要求的運放電路提供了方便，實際應用中可以優先考慮影響設計目標的主要因素，這就大大提高了參數選取的靈活性和可操作性。

[1]戴維德.運算放大器電路設計手冊[M].北京：人民郵電出版社，1983：119-131.

[2]張學文，鄒梅.集成運算放大電路的誤差分析及外圍元件參數的選擇[J].湖北師范學院學報，2001，21（2）：53-56.

[3]HAYT H，WILLIAM J，JACK E K，et al.工程電路分析[M].北京：電子工業出版社，2002：140-142.

[4]思索.Mathcad 7.0實用教材[M].北京：人民郵電出版社，1998.