基于MATLAB的夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)仿真

張志峰 蘇玉玲 蔣逢春 楊 坤 李俊豐 楊紅軍

（鄭州輕工業(yè)學(xué)院，河南 鄭州 450002）

1.引言

光的衍射現(xiàn)象是光的波動(dòng)性的一種表現(xiàn)，討論光波衍射采用的基本原理是以惠更斯-菲涅爾原理為基礎(chǔ)。波動(dòng)在傳播過程中，只要其波面受到某種限制，就必然伴隨著衍射的發(fā)生，當(dāng)這種限制的空間幾何線度波長(zhǎng)大小可比擬時(shí)，其衍射現(xiàn)象才顯著表現(xiàn)出來。在計(jì)算衍射光波場(chǎng)的光振動(dòng)和光強(qiáng)度分布時(shí)，常常利用菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式。通過對(duì)光的各種衍射現(xiàn)象的研究，可以深入具體地了解光的波動(dòng)性[1-3]。

在大學(xué)物理關(guān)于光的衍射教學(xué)過程中，光學(xué)實(shí)驗(yàn)比較抽象，學(xué)生經(jīng)常很難理解光學(xué)理論、實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象、實(shí)驗(yàn)原理及過程。而且教材中多數(shù)只對(duì)單縫的夫瑯和費(fèi)衍射和圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射進(jìn)行討論，而不提及其它形狀衍射屏的衍射情況，為此，本文用MATLAB強(qiáng)大函數(shù)作圖功能，模擬討論了五種常用元件（單縫、光柵、單矩孔、雙矩孔及圓孔）的夫瑯和費(fèi)衍射圖。利用計(jì)算機(jī)模擬光衍射，不但可以不受實(shí)驗(yàn)儀器和實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地的限制，而且在大學(xué)物理課堂教學(xué)中可以更形象、更直觀，有利于學(xué)生的理解。同時(shí)通過多種元件的夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算機(jī)仿真，能夠動(dòng)態(tài)直觀地呈現(xiàn)光學(xué)衍射中各種物理量之間的關(guān)系，有利于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中光學(xué)部分教學(xué)的開展。因此，我們應(yīng)當(dāng)充分利用計(jì)算機(jī)軟件功能為教學(xué)增添活力，為學(xué)生理解復(fù)雜的理論和實(shí)驗(yàn)做好鋪墊。可以用MATLAB、VC++、VB++及LABVIEW等軟件為平臺(tái)，實(shí)時(shí)計(jì)算和模擬，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、深入探索，研究一些更多關(guān)于光學(xué)的問題[4-7]。

2.夫瑯禾費(fèi)衍射理論

由基礎(chǔ)光學(xué)可知，衍射是光的波粒二象性中波動(dòng)性的表現(xiàn)，是光的基本屬性之一。其主要表現(xiàn)在光波在遇到一定尺寸障礙物時(shí)不沿直線傳播。夫瑯和費(fèi)衍射的原理如圖1所示，一束平行光照射到衍射屏上，按照平面波理論，衍射屏開口處AB的波前向各個(gè)方向發(fā)出次波，方向彼此相同的衍射次波經(jīng)透鏡L1匯聚到其像方焦平面的同一點(diǎn)Q上。滿足相長(zhǎng)干涉條件的位置為亮條紋，滿足相消干涉條件的位置為暗條紋，明暗條紋構(gòu)成了該衍射屏或元件的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。根據(jù)Babinet原理，透明的衍射屏和不透明元件可看成一對(duì)互補(bǔ)屏。

3.單矩孔、單縫、光柵及雙矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射仿真

圖1 夫瑯和費(fèi)衍射原理圖

3.1 單矩孔夫瑯和費(fèi)衍射仿真

假設(shè)矩形孔沿x、y方向的邊長(zhǎng)分別為a、b，衍射光波的方向用二維衍射角α、β來表示，則衍射光波在透鏡L1的后焦平面上會(huì)聚點(diǎn)Q（x,y）的和振動(dòng)的相對(duì)強(qiáng)度為：

此時(shí)Q點(diǎn)的強(qiáng)度分布為：

上式表明，矩形孔衍射的相對(duì)強(qiáng)度是兩個(gè)單縫衍射因子的乘積。若b＞＞a，矩形孔就變成了平行于y軸的狹縫，夫瑯和費(fèi)衍射圖樣將集中在x軸上，衍射光僅沿垂直于狹縫方向擴(kuò)展，此時(shí)變成單縫夫瑯和費(fèi)衍射，只需進(jìn)行一維計(jì)算，則此時(shí)Q點(diǎn)強(qiáng)度分布為（在傍軸近似條件下）：

模擬時(shí)令 f=1m，a=0.0015m，b=0.0005m，λ=600nm ，根據(jù)公式利用Matlab編程，得到的矩形孔三維光強(qiáng)分布圖和平面上二維光強(qiáng)分布如圖2所示，與教材上的理論結(jié)果相符。在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)中可以改變參數(shù)來得到不同的結(jié)果，為實(shí)驗(yàn)操作提供理論上的指導(dǎo)，節(jié)省精力和時(shí)間，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的效率和興趣。

圖2 矩形孔夫瑯和費(fèi)衍射仿真結(jié)果

3.2 單縫夫瑯和費(fèi)衍射仿真

單縫夫瑯和費(fèi)衍射的程序與矩形孔夫瑯和費(fèi)衍射程序相似，設(shè)線陣探測(cè)器長(zhǎng)度為4000um，透鏡焦距100mm，入射光波長(zhǎng)0.633um，探測(cè)器像元間距8um，則根據(jù)公式利用Matlab編程，仿真結(jié)果如圖3所示。由于夫瑯和費(fèi)衍射圖樣中高級(jí)次區(qū)域的強(qiáng)度很小，所顯示的該區(qū)域圖樣很暗，以至于探測(cè)器探測(cè)的夫瑯和費(fèi)衍射條紋經(jīng)常被零級(jí)明條紋干擾，所以對(duì)所生成的衍射圖樣進(jìn)行灰度比例尺變換預(yù)處理，以改善高級(jí)次衍射條紋的視覺效果，經(jīng)過預(yù)處理的衍射圖樣，可以顯現(xiàn)出多級(jí)衍射條紋的灰度。

圖3 單縫夫瑯禾費(fèi)衍射仿真結(jié)果

3.3 光柵夫瑯和費(fèi)衍射仿真

對(duì)于光柵夫瑯禾費(fèi)衍射，設(shè)每個(gè)狹縫的寬度均為a，相鄰兩狹縫間不透明部分的寬度為b，則縫間距（光柵常量）為d=a+b。同樣取α為衍射角，f為透鏡焦距，衍射屏上透光的總狹縫數(shù)為N，則當(dāng)平面光波垂直照射衍射屏?xí)r，沿α方向的衍射光波在Q處的合振動(dòng)的相對(duì)強(qiáng)度為：

圖4 光柵夫瑯禾費(fèi)衍射仿真結(jié)果

3.4 雙矩孔夫瑯和費(fèi)衍射仿真

當(dāng)衍射孔為雙矩孔時(shí)，其相當(dāng)于有長(zhǎng)和寬的雙縫干涉，雙矩孔夫瑯和費(fèi)衍射光強(qiáng)公式為：

模擬時(shí)令f=1m，a=0.002m，b=0.001m，根據(jù)公式利用Matlab編程，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 雙矩形孔夫瑯禾費(fèi)衍射仿真結(jié)果

4.圓孔夫瑯和費(fèi)衍射仿真

圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射系統(tǒng)如圖6所示，圓孔的復(fù)振幅透過率可以表示為：

圖6 圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射示意圖

式中，a為圓孔半徑；r0為孔徑平面的徑向坐標(biāo)。采用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，觀察平面上的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣也是圓對(duì)稱的。任意徑向坐標(biāo)r處的強(qiáng)度分布為：

式中J1(x)是一階貝塞爾函數(shù)，模擬時(shí)令f=1m，λ=600nm，a=0.001m，利用MATLAB編程，程序運(yùn)行完畢后，依次得到以下圖形7。圓孔衍射和矩孔衍射的三維圖形基本相同，二維圖形形狀不同。如果把矩形孔看成一個(gè)正n邊形，并且邊長(zhǎng)極其小的時(shí)候，正n邊形相當(dāng)于一個(gè)圓孔。因此，圓孔和矩形孔雖然形狀不同，但是整體上都是單孔的夫瑯和費(fèi)衍射，其光強(qiáng)分布在一定程度上的分布時(shí)相同的。

圖7 圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射仿真結(jié)果

5.結(jié)論

利用計(jì)算機(jī)模擬光衍射，不但可以不受實(shí)驗(yàn)儀器和實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地的限制，而且在大學(xué)物理實(shí)際教學(xué)中可以更形象、更直觀，有利于學(xué)生的理解。同時(shí)通過多種元件的夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算機(jī)仿真，能夠動(dòng)態(tài)直觀地呈現(xiàn)光學(xué)衍射中各種物理量之間的關(guān)系，有利于光學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的開展。

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