基于最小二乘法的LabVIEW擬合橋梁撓曲線研究

朱定國

(上海市水利工程設計研究院，上海市 200061)

0 引言

橋梁在外荷載作用下的變形、結構材料的變異等都能夠通過撓度的變化表現出來，撓度是橋梁健康狀態最直觀、有效的參數之一，所以橋梁撓度及線形測量的精度、準確性及測試效率一直是業界所關注的熱點問題。

目前橋梁撓度測量一般采用如下方法[1-5]：（1）利用百分表和千分表測量撓度。此法固定底座安裝不易，數據采集困難，效率較低。（2）GPS撓度觀測。此法系統價格昂貴，測量精度低，測點少，受干擾大。（3）利用水準儀進行撓度觀測。此法誤差因素多，測量速度慢耗時長，儀器操作復雜，而且需要封橋，時間長，效率較低。（4）用加速度計測量橋梁加速度，通過兩次積分得撓度。此法難以選擇合適的加速度計，存在較大的幅值誤差，安裝布線困難，難以進行實時監測。（5）采用傾角儀測量撓度。此法精度不夠，反算結構撓度較慢，使用范圍較窄。（6）利用連通管方法測量撓度。此法測量環境有限制，液面易揮發和污染。

綜上所述，我們可以看到橋梁撓度測量的方法有很多，但是每種方法都有其缺點，要么操作復雜耗時長，要么精度效率低，要么價格昂貴，所以為了橋梁健康監測與檢測的需要，有必要設計一種基于光纖光柵傳感器的撓度測量方法，達到實時長期監測橋梁撓曲線的目的。本文介紹了基于平均曲率采用最小二乘法分跨擬合橋梁撓曲線測試方法的原理、算法，推導了相應的公式，介紹并應用LabVIEW編寫了相應的專業軟件，并通過數值模擬驗證了其具有很高的精度。可以為同類橋梁的分析研究、監測評估提供參考依據。

1 橋梁的應變、曲率和撓度的關系

曲率是度量梁彎曲變形的程度，用k表示。由材料力學的知識，曲率等于曲率半徑的倒數即：

由材料力學還知某點線應變：

其中y為該點到中性軸的距離。

由上面兩式可得：

對于同一橫截面曲率是常數，由式（3）可知曲率k與線應變ε成線性關系，知道某點的線應變ε以及該點到中性軸的距離y就能得到該點的曲率，進而由很多個點的曲率可以得到曲率函數，且曲率函數積分兩次后就是撓曲線，這樣就可以利用曲率建立起應變與撓度的關系。

2 平均曲率

由式（3）可知要想求出傳感器所在截面的曲率必需先測出傳感器到中性軸的距離y。而這一距離是很難精確測量的，所以本文擬采用平均曲率的方法加以解決。即將兩個FBG傳感器安裝在與中性軸平行的位置。下面給出了3種情況：圖1(a)為FBG傳感器都位于梁的中性軸下面，圖1(b)為分別位于上下方，圖1(c)為都位于上方。

如圖1(a)所示，測點1、2的單元曲率為：

由上兩式可得此單元的平均曲率為：

如圖1（b）所示，測點1、2的單元曲率為：

圖1 單元中FBG安裝示意圖

由上兩式可得此單元的平均曲率為：

如圖1（c）所示，測點1、2的單元曲率為：

由上兩式可得此單元的平均曲率為：

由式（4）、（5）、（6）可知單元的平均曲率與梁的中性軸的位置無關，只要將兩個傳感器平行于中性軸安裝，此單元的平均曲率可統一表示為：

3 最小二乘法曲線擬合原理

最常見的最小二乘法擬合曲線模式是多項式：

由式(7)可知，通過將兩個FBG傳感器平行于中性軸安裝就可以測得此單元的曲率ki，然后沿橋梁的縱向安裝若干組這樣的傳感器就可以得到一組測量數據（xi，ki），然后通過最小二乘法就可以擬合出曲率曲線了。

4 分跨擬合撓曲線原理

假設待測橋梁有n跨，基函數取為：

則第k（1≤k≤n）跨的曲率函數為：

k跨內各單元曲率由式（7）得到。

將式（9）積分兩次即可得到撓曲線：

C1、C2為積分常數，可由左右兩端支座沉降求得，如左端沉降為Δ左，右端沉降為Δ右，設跨長為l，則：

求得每跨撓曲線后，疊加即可得到整個待測橋梁的撓曲線：

5 數值模擬驗證

本文采用LabVIEW軟件作為工具編寫了根據測得的曲率用最小二乘法擬合橋梁撓曲線的軟件。為了證明此方法的可行性與準確性，這里對簡支梁在多種不同荷載作用下的撓曲線進行了數值模擬。模擬中根據各截面處的平均曲率，運用根據最小二乘法所編寫的LabVIEW程序擬合了撓曲線，并且將擬合值與理論值進行了比較，得到了相對誤差。

通過模擬發現精度對跨度不敏感，但是精度對傳感器安裝截面個數較敏感，為了達到良好的精度，截面個數取多為宜，本次模擬假設簡支梁跨度為50 m，每隔5 m安裝一組傳感器，即以9個截面安裝傳感器。

5.1 受跨中集中荷載

跨度l=50 m的簡支梁受跨中集中荷載作用，P=300 kN，截面特性 EI=3.5×1010N·m2，如圖 2所示：

圖2 簡支梁受跨中集中荷載

根據理論計算，圖2所示結構撓曲線和曲率表達式為：

由式(16)求得結構的理論曲率值，然后根據LabVIEW編寫的橋梁撓曲線擬合軟件擬合出結構的撓曲線（如圖3），圖中還列出了擬合值與式(15)計算的理論值的相對誤差。

圖3 跨中集中荷載擬合撓曲線及與理論撓度值的比較

從圖3中可以看出本文方法擬合得到的撓度值與理論撓度值誤差很小，最大誤差為1.21667%，能滿足工程需要。

5.2 受3/4跨集中荷載

跨度l=50m的簡支梁受3/4跨集中荷載作用，P=300 kN，EI=3.5×1010N·m2截面特性，如圖4所示：

圖4 簡支梁受3/4跨集中荷載

根據理論計算，圖4所示結構撓曲線和曲率表達式為：

由式(19)、(20)求得結構的理論曲率值，然后根據LabVIEW編寫的橋梁撓曲線擬合軟件擬合出結構的撓曲線（如圖5），圖中還列出了擬合值與式(17)、(18)計算的理論值的相對誤差。

圖5 3/4跨集中荷載擬合撓曲線及與理論撓度值的比較

從圖5中可以看出本文方法擬合得到的撓度值與理論撓度值誤差很小，最大誤差為1.372 7%，能滿足工程需要。

5.3 受均布荷載

跨度l=50m的簡支梁受均布荷載作用，q=10 kN，截面特性EI=3.5×1010N·m2，如圖 6所示。

圖6 簡支梁受均布荷載

根據理論計算，圖6所示結構撓曲線和曲率表達式為：

由式（22）求得結構的理論曲率值，然后根據LabVIEW編寫的橋梁撓曲線擬合軟件擬合出結構的撓曲線（如圖7），圖7中還列出了擬合值與式（21）計算的理論值的相對誤差。

圖7 均布荷載擬合撓曲線及與理論撓度值的比較

從圖7中可以看出當所受荷載為均布荷載時，精度非常高，幾乎沒有誤差（如圖7），最大誤差僅為0.005 757%。我們知道，實際橋梁主要受車輛荷載，經橋面板分配后，主要承受的就是均布荷載或三角荷載，這樣采用此方法來擬合橋梁撓曲線就具有更好的效果。

6 結論

目前已有的基于光纖Bragg光柵的各種傳感器基本上都是直接或間接地利用應變或溫度改變光柵中心波長，達到測試被測物理量的目的。FBG的測試基本物理量是應變，無法直接測試撓度。而撓度又是橋梁健康狀態最直觀、有效的表現形式之一。本文基于該現象，采用最小二乘法由截面的平均曲率分跨擬合橋梁的撓曲線，達到由FBG測試橋梁撓曲線的目的。并通過使用LabVIEW軟件編制由曲率擬合撓曲線的專業程序，可以得到任意荷載作用、跨長、支座沉降情況下的撓曲線方程。

通過簡支梁受跨中集中荷載、3/4跨集中荷載以及均布荷載3種工況，用所編制的程序擬合得到的撓度值與理論撓度值進行比較。比較發現用最小二乘法擬合橋梁撓曲線的方法具有很高的精度。比較3種結果，發現程序精度與荷載的作用方式有關，當所受荷載為均布荷載時，精度非常高，幾乎沒有誤差（如圖7）。我們知道，實際橋梁主要受車輛荷載，經橋面板分配后，主要承受的就是均布荷載或三角荷載，這樣采用此方法來擬合橋梁撓曲線就具有更好的效果，此方法用于實時監測橋梁的撓度變化曲線是可行的。

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