基于粒子群優化的灰色預測方法

王晶郭劍

(1.江蘇省郵電規劃設計院有限責任公司，江蘇 南京 210006；2.南京郵電大學 計算機學院, 江蘇 南京 210003)

1.引言

灰色預測法是一種對含有不確定因素的系統進行預測的方法，它屬于時間序列分析方法的一種?；疑A測法的基本思想是：系統的時間序列數據中蘊含著系統演化的信息，所以對已有的數據進行研究，可以找出其蘊含的規律，并進而推知系統未來的發展動態。由于計算簡單，所需先驗知識不多，因此自誕生以來，灰色預測法在網絡流量規劃、電信話務量預測、災害預警等領域均得到了廣泛的應用，并發揮出越來越大的影響力。

灰色預測法的研究對象是灰色系統，所謂灰色系統是指同時包含已知信息和未知信息的系統。灰色預測法通過對灰色系統進行建模工作，能夠有效地挖掘出系統輸出數據的內在規律，從而為理解和預測系統的狀態提供幫助。在灰色預測法中，GM(1,1)模型是目前應用最多的灰色模型[1]。

但是，隨著GM(1,1)模型的應用推廣，其缺陷也逐漸顯露出來?；疑A測算法的精度不高，結果相對粗糙。很多學者對其進行了研究，并提出了不少改進的方案。劉樹等人[2]對灰色預測GM(1,1)模型和GM(1,1)殘差模型問題進行了較多的分析。徐華鋒等人[3]對灰色作用量進行了研究和優化。Li等人[4]提出了GM(1,1)模型的參數估計方法，以提高預測的精度。Tsaur等人[5]針對有限時間序列提出了模糊灰色回歸模型。Xie等人[6]針對離散系統提出了一種離散灰色優化預測模型。Xie[7]等學者則提出了將神經網絡與灰色預測方法相結合的方法，并取得了一定的效果。

本文也對此進行了研究。我們認為，GM(1,1)模型中發展系數與灰色作用量的值較為關鍵，對預測的結果會有較大的影響。傳統方法一般使用最小二乘法來求解，誤差較大，不夠精確。本文對其進行了改進，使用粒子群優化[8,9]（Particle Swarm Optimization，PSO）算法來求解GM(1,1)的參數，并在此基礎之上提出了基于PSO的灰色預測算法（a PSO based Grey Prediction algorithm，PSOGP）。仿真試驗表明，PSOGP的預測精度比GM(1,1)模型要高。

2.GM(1,1)模型

GM(1,1)是使用最為廣泛的一種灰色模型。其主要過程是，首先對原始數據進行累加，得到具有一定規律性的新序列，對該序列使用一些曲線來逼近，得到了逼近曲線之后，將其作為預測模型，對系統進行預測。

假定系統的原始時間序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n)}，對其進行一次累加生成操作后，得到序列X(1)={x(1)(1),x(1)(2),...,x(1)(n)}。累加生成操作的過程如式（1）所示。

一般認為，經過累加操作之后，數據的隨機性會弱化很多，規律性更加明顯，此時可以用指數曲線來逼近。

對 X(1)建立微分方程，得到式（2）。

其滿足的臨界條件是：x(1)(1)=x(0)(1)。

在式（2）中，a稱為發展系數，u稱為灰色作用量，均是未知變量，可記成一個列向量d，如式（3）所示。

通常用最小二乘法來求解d，可求得

其中，

將a、u代入（2），可求得方程式的解為

3.基于PSO的灰色預測算法

3.1 PSO算法

PSO屬于群智能算法，它是Russell與James受鳥群覓食啟發所提出的一種演化算法。PSO算法的主要思路是將待求解問題轉化為一個在多維空間中尋找最優位置的問題，其求解過程就是使用一群微粒在這個空間中尋找代表最優解的最佳位置。在求解過程中，粒子之間可以相互交流信息，從而調整自己的搜索方向與前進速度。

假設算法一共使用了N個微粒。對于一個微粒i，1≤i≤N，假設其位置為xi，運行速度為vi。PSO算法規定，粒子i的運動由（8）決定。

在式（8）中，Pi是粒子i的歷史最優位置；Pg是整個群體的歷史最優位置；ωvi表示粒子當前飛行速度的慣性作用，其中ω為慣性因子；c1、c2為加速度因子；r1、r2是兩個隨機數，取值范圍[0-1]。

在GM(1,1)模型中，求解參數a與u通常使用的是最小二乘法，不僅計算量大，結果的精度也不夠高。因此，本文使用了PSO算法來求解這兩個參數，取得了較好的效果。

3.2 基于PSO的灰色預測算法

（1）粒子位置編碼

在PSOGP算法中，每個粒子的位置是一個二維向量，分別代表帶求解的參數a和u。其編碼方式如圖1所示。

圖1 PSOGP算法的粒子位置編碼

（2）適應度函數

適應度函數是評價粒子位置好壞的依據。在PSOGP算法中，使用了式（9）所示的評價函數。

（3）PSOGP算法的流程

PSOGP算法主要包括如下三個步驟：

①讀取初始數據序列；

②使用PSO算法來求解發展系數a和灰色作用量u；

③根據參數a和u，分別計算出擬合數據與預測數據。

4.仿真及測試

我們用C++語言實現了一個PSOGP算法。為了驗證PSOGP的性能，我們另外實現了一個傳統的GM(1,1)算法（使用最小二乘法來求解參數），并進行了對比試驗。

仿真時，我們以文獻[10]中1992-2008年中國的城市化水平數據作為試驗對象。城市化水平是指一定地域內城市人口占總人口數的比例，又稱為城市化率，它是衡量城市化發展程度的重要指標。我們以1992-2002年的數據作為原始數據，分別使用兩種算法預測2003-2008年的數據，并與真實數據進行比較。

兩種方法的輸出結果如表1所示，其中灰色部分是預測年份的數據。

表1 兩種算法算出的擬合值與預測值（單位：%）

圖2 兩種算法的預測誤差比較

表2 兩種算法的平均預測誤差

兩種算法的預測誤差如圖2所示，其平均誤差如表2所示?？梢钥闯觯琍SOGP算法的準確度比GM(1,1)要高。另外還可以看出，隨著年數的增加，兩種預測算法的誤差都逐漸上升，超過五年的數據誤差就比較大了。這說明，灰色預測算法短期預測的效果較好，長期預測還需要結合其它技術手段進行。

5.結束語

針對傳統GM(1,1)模型的缺陷，本文使用了PSO算法來求解灰色模型的發展系數和灰色作用量，提高了GM(1,1)的性能，提升了預測的精度。此外，從試驗中可以發現，灰色模型對數據的長期預測存在較大的誤差，我們將繼續對此進行研究，以進一步提高灰色模型的預測效果。

[1]Liu SF.The current developing status on grey system theory[J].The Journal of Grey System,2007,2：111-123.

[2]劉樹,王燕,胡鳳閣.對灰色預測模型殘差問題的探討[J].統計與決策,2008,1：9-11.

[3]徐華鋒,劉思峰,方志耕.GM(1,1)模型灰色作用量的優化[J].數學的實踐與認識,2010,40(2)：26-32.

[4]Li XM,Dang YG,Zhao JJ.An optimization method of estimating parameters in GM(1,1)Model[A].Proceedings of IEEE International Conference on Grey Systems and Intelligent Services[C],2010,341-347.

[5]Tsaur,Ruey C.Forecasting analysis by using fuzzy grey regression model for solving limited timeseriesdata[J].Soft Computing,2008,12(11)：1105-1113.

[6]Xie NM,Liu SF.Discretegrey forecasting model and itsoptimization[J].Applied Mathematical Modeling,,2009,33(2)：1173-1186.

[7]Xie J,Han HL.The Water Productivity Forecasting Based on BP Neural Network and Gray Prediction Model[A].Proceedings of International Conferenceon Civil Engineering[C],2010,939-943.

[8]Rana S,Jasola S,Kumar R.A review on particle swarm optimization algorithms and their applications to data clustering [J].Artificial Intelligence Review,2011,35(3)：211-222.

[9]Kameyama K.Particle Swarm Optimization-A Survey[J].IEICE Transactionson Information and Systems,2009,E92D(7)：1354-1361.

[10]國家統計局.2009中國統計摘要 [M].北京：中國統計出版社,2009.