代數(shù)雙曲Bézier曲線的擴(kuò)展

張錦秀， 檀結(jié)慶

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代數(shù)雙曲Bézier曲線的擴(kuò)展

張錦秀， 檀結(jié)慶

（合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，安徽合肥 230009）

提出了一類帶多形狀參數(shù)的雙曲Bézier曲線（簡稱H-Bézier曲線），這類曲線與Bézier曲線類似，它不僅具有Bézier曲線許多常見的性質(zhì)，而且利用形狀參數(shù)的不同取值能夠整體或局部調(diào)控曲線的形狀。當(dāng)形狀參數(shù)增大時，曲線能連續(xù)逼近控制多邊形。此外，它可以精確表示雙曲線和懸鏈線。最后給出了曲線在連續(xù)下的拼接及在實物造型中的應(yīng)用。

計算機(jī)應(yīng)用；幾何造型；雙曲Bézier曲線；多形狀參數(shù)；整體與局部調(diào)控

Bézier和NURBS模型是CAGD中曲線曲面設(shè)計和造型的基礎(chǔ)，但是它們也有一些不足之處，如不能精確地表示很多非代數(shù)曲線，尤其是不能精確地表示工程設(shè)計中很常用的一些超越曲線，如雙曲線、懸鏈線、指數(shù)曲線等。用于定義Bézier曲線和有理Bézier曲線的Bernstein基函數(shù)與定義B樣條曲線和NURBS曲線的B樣條基函數(shù)都是多項式空間上的函數(shù)。為此，人們試圖在非多項式函數(shù)空間尋求解決問題的方法，相繼出現(xiàn)了螺旋樣條、張力樣條、C曲線曲面等方法進(jìn)行曲線曲面造型。文獻(xiàn)[7-9]研究了代數(shù)雙曲混合空間上類似于Bernstein基的代數(shù)雙曲Bézier(H-Bézier)基，由這組基生成的代數(shù)雙曲(H-Bézier)曲線具有許多類似Bézier曲線的性質(zhì)，并且對相同的控制多邊形，能夠比Bézier曲線更好地保持曲線的形狀，由于空間的特殊性，由這組基生成的H-Bézier曲線曲面可以精確表示一些由NURBS和C-Bézier基只能逼近表示的曲線曲面如雙曲螺線、雙曲拋物面等。因此，H-Bézier方法可以在曲線曲面建模和表示中得到很好的應(yīng)用。

鄔弘毅等在多項式空間提出帶多個形狀參數(shù)的Bézier曲線與曲面，它既能整體又能局部地調(diào)控曲線與曲面的形狀，顯然在多項式空間中，即使增加參數(shù)仍無法精確地表示圓錐曲線、雙曲線或其他超越曲線，這只能在三角多項式空間、雙曲多項式空間或混合空間中去解決，因此在這些空間中引入多個形狀參數(shù)是件有意義的工作。本文在多項式與雙曲多項式混合空間中構(gòu)造了帶多個形狀參數(shù)的H-Bézier型曲線，既可以作整體又可以作局部調(diào)整，且當(dāng)所有形狀參數(shù)取值同為時，即為H-Bézier曲線，故稱之為H-Bézier曲線的擴(kuò)展。并以2次，3次等低次情況為例進(jìn)行了詳細(xì)討論。

1 帶多形狀參數(shù)的H-Bézier基及其性質(zhì)

定義 1 令初始函數(shù)

（1）

帶多形狀參數(shù)的H-Bézier基函數(shù)的性質(zhì)：

結(jié)合定義1，運用數(shù)學(xué)歸納法可證明性質(zhì)1，性質(zhì)2，性質(zhì)3。

性質(zhì) 6 線性無關(guān)性

性質(zhì)7 非負(fù)性

證明和H-Bézier基函數(shù)非負(fù)性證明相同，參見文獻(xiàn)[7]。

其中

圖1 n=2時的基函數(shù)

圖2 n=3時的基函數(shù)

2 帶多形狀參數(shù)的H-Bézier曲線

定義 2 稱

（4）

由基函數(shù)的正性和權(quán)性以及定義2可得。

性質(zhì)10 幾何不變性與仿射不變性：曲線僅依賴于控制頂點而與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)；曲線作仿射變換只需其控制多邊形作此仿射變換。

3 形狀參數(shù)對曲線的影響

3.1 形狀參數(shù)對二次H-Bézier曲線的影響

圖3 a1, a2取不同值曲線的形狀

3.2 形狀參數(shù)對三次H-Bézier曲線的影響

圖4給出了由四個控制頂點生成的單參數(shù)H-Bézier曲線由下到上取之分別為0.1, 2, 4, 8此圖表明隨著的增大曲線靠近控制多邊形。但是，曲線的局部調(diào)控能力不強(qiáng)，不能做局部調(diào)整。

圖4 單參數(shù)的H-Bézier曲線

圖5給出了由4個控制點生成的多形狀參數(shù)H-Bézier曲線。其中，各子圖中實線表示單形狀參數(shù)的H-Bézier曲線，取形狀參數(shù)為。

圖5 由4個控制點生成的多形狀參數(shù)H-Bézier曲線

4 帶多形狀參數(shù)的H-Bézier曲線的拼接

與Bézier曲線類似，在設(shè)計復(fù)雜的自由曲線時，應(yīng)采用分段技術(shù)，可以將帶多形狀參數(shù)的H-Bézier曲線段拼接成整條曲線。下面給出將帶多形狀參數(shù)的二次H-Bézier曲線段拼接成或連續(xù)曲線以及三次H-Bézier曲線段拼接成、或連續(xù)曲線的條件。

（1）帶多形狀參數(shù)的二次H-Bézier曲線段拼接

有

（5）

（2）帶多形狀參數(shù)的三次H-Bézier曲線段拼接

則有

（9）

（10）

證 明 由式(9)，仿照定理1的證明可得。

5 帶多形狀參數(shù)的H-Bézier曲面

利用張量積可以定義一張帶多形狀參數(shù)的H-Bézier曲面，方程如下

圖6給出了帶多形狀參數(shù)的雙三次H-Bézier曲面圖。

圖6(a)中所有形狀參數(shù)均取為0.2。

圖6(b)中所有形狀參數(shù)均取為5。

圖6(c)中兩組基函數(shù)的形狀參數(shù)均取為{5，0.2，0.2}。

圖6(d)中兩組基函數(shù)的形狀參數(shù)均取為{0.2, 5, 0.2}。

6 圖形實例

6.1 雙曲線，懸鏈線的構(gòu)造

圖6 帶多形狀參數(shù)的雙三次H-Bézier曲面

圖7 二次H-Bézier曲線精確表示雙曲線

此外，三次H-Bézier還可以精確表示懸鏈線，如圖8所示。

圖8 三次H-Bézier曲線精確表示懸鏈線

6.2 花瓶繪制

通過曲線間的拼接技術(shù)，可以方便地把多形狀參數(shù)的H-Bézier曲線應(yīng)用到一些曲面造型中去。圖9所示的是一個花瓶旋轉(zhuǎn)曲面，其母線是由三條多形狀參數(shù)的三次H-Bézier曲線拼接而成的，圖9(a)為花瓶曲面的光照模型，圖9(b)為花瓶旋轉(zhuǎn)曲面的母線。其中第一段曲線形狀參數(shù)，第二段曲線形狀參數(shù)都取1，第三段曲線形狀參數(shù)，通過修改形狀參數(shù)的值相應(yīng)的可以修改花瓶的形狀。

(a) 花瓶的光照模型

(b) 花瓶的母線

圖9 花瓶造型

7 結(jié) 論

本文在代數(shù)雙曲混合空間中構(gòu)造了帶多形狀參數(shù)的Bézier型曲線，既可以作整體又可作局部調(diào)整，且當(dāng)所有的形狀參數(shù)取值都為時，即為H-Bézier曲線。通過改變形狀參數(shù)的值，使得H-Bézier 曲線具有更強(qiáng)的表現(xiàn)力，故能進(jìn)一步補(bǔ)充應(yīng)用于CAD/CAM曲線與曲面的造型中。

[1] 施法中. 計算機(jī)輔助幾何設(shè)計與非均勻有理B樣條[M].北京: 高等教育出版社, 2001. 306-343.

[2] Mainar E. Shape preserving alternatives to the rational Bézier model [J]. Computer Aided Geometric Design, 2001,18(1):37-60.

[3] Pottmann H. The geometry of tchebycheffian spline [J]. Computer Aided Geometric Design, 1993, 10(2): 181-210.

[4] Mazure M L. Chebyshev-bernstein bases [J]. Computer Aided Geometric Design, 1999, 16(7): 649-669.

[5] Zhang Jiwen. C-curves: an extension of cubic curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 1996, 13(3): 199-217.

[6] Zhang Jiwen. C-Bèzier curves and surfaces [J]. Graphical Models and Image Processing, 1999, 61: 2-15.

[7] Li Yajuan, Wang Guozhao. Two kinds of B-basis of the algebraic hyperbolic space [J]. Journal of Zhejiang University Science, 2005, 6A(7): 750-759.

[8] Wang Guozhao, Yang Qinmin. Planar cubic hybrid hyperbolic polynomial curve and its shape classification [J]. Progress in Natural Science, 2004, 14(1): 41-46.

[9] 王 媛, 康寶生. 代數(shù)雙曲混合H-Bézier函數(shù)及其性質(zhì)[J]. 西北大學(xué)學(xué)報, 2006, 36(5): 693-697.

[10] 鄔弘毅, 夏成林. 帶多個形狀參數(shù)的Bézier曲線曲面的擴(kuò)展[J]. 計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報, 2005, 17(12): 2607-2612.

Extensions of Hyperbolic Bézier Curves

ZHANG Jin-xiu, TAN Jie-qing

( Department of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China )

Hyperbolic Bézier curve (briefly H-Bézier curve) with multiple shape parameters is presented in this paper. The curve not only possesses most of the properties of the Bézier curve, but also can be adjusted totally or locally by taking the different values of shape parameters, with increasing of the shape parameters the curve can well approximate the control polygon. Moreover, the curve can represent hyperbolas and catenary exactly. At last, thecontinuous joint of curve pieces is discussed and some examples are provided to illustrate the application in geometric modeling.

computer application; geometric modeling; hyperbolic Bézier curve; multiple shape parameters; totally or locally adjust

TP 391.72

A

1003-0158(2011)01-0031-08

2009-06-01

國家自然科學(xué)基金資助項目（60773043；60473114）；教育部博士點基金資助項目（20070359014）；安徽省自然科學(xué)基金資助項目（070416273X）；安徽省教育廳科技創(chuàng)新團(tuán)隊基金資助項目（2005TD03）

張錦秀（1986-），女，安徽阜陽人，碩士研究生，主要研究方向為計算機(jī)輔助幾何設(shè)計。