切基線條件下雙交點曲線參數的計算方法

張 玥

(內蒙古科技大學 建筑與土木工程學院，內蒙古 包頭 014010)

在線路定線和平面設計中，當平曲線交點過遠、交點附近有障礙物(河流、建筑物或陡坡)，或為了改善同向斷背曲線而設置單曲線或復曲線時，采用雙交點曲線是常用的處理方式。對于雙交點單曲線而言，如果基線對曲線線位的控制不是特別嚴格，則曲線半徑和緩和曲線長度等基本參數的設置較為靈活，可根據雙交點的轉角和基線長度推算出虛交點的位置和轉角，按常規基本型單曲線處理即可，計算較為方便、簡單。本文主要討論以基線控制曲線線位的情況，此時需要按切基線法反算平曲線的半徑或緩和曲線長度等設計參數，常規的方法基于對稱型曲線進行計算，本文將非對稱型曲線的計算方法引入雙交點曲線的計算中，為雙交點曲線設計參數的擬定提供更多的選擇方式。

1 非對稱基本型曲線的曲線要素計算

非對稱基本型曲線是單曲線的通用形式，對稱型是其特例，計算方法在文獻[1-2]中已有詳細介紹，為便于應用，本文仍將其列出，曲線要素以函數形式表達，計算圖式見圖1。

緩和曲線終點坐標

緩和曲線終點處的回旋線角

內移值

圖1 非對稱基本型曲線計算圖式

切線增值

夾角

圓曲線內移后對應的切線長

切線長

曲線長

2 對稱型雙交點曲線計算方法

雙交點曲線的計算方法是基于對稱型曲線的，文獻[3-4]已有介紹，本文在此基礎上作了進一步整理。

2.1 雙交點單曲線

雙交點單曲線以對稱型曲線為基本模型，按切基線控制曲線參數時，其約束條件是

其中，AB為基線長度，交點位置確定后，其值是固定的、已知的。

基于對稱型曲線計算時，其兩端緩和曲線長度是一致的。實際計算時，通常先擬定緩和曲線長度LS，通過上述約束條件反算半徑R，計算圖式見圖2。

圖2 基于對稱型曲線的雙交點單曲線計算圖式

不計切線增值時，對稱曲線的切線長計算公式為

其中內移值函數 p(LS，R)為高次方程，可先通過計算內移值p的近似公式(13)簡化約束方程(11)，得到半徑R的近似公式，則

2.2 雙交點復曲線

雙交點復曲線以對稱型曲線為基本模型，按切基線控制曲線參數時，其約束條件除與式(11)相同外，還增加了

實質上，約束條件與單曲線的情況是完全相同的。計算圖式見圖3。

實際計算時，通常先擬定受地形、地物等條件限制較嚴格一側曲線的半徑和緩和曲線長度，反算另一側的半徑和緩和曲線長度。以先擬定R1，LS1為例

按式(17)計算的 TYA值精度較高，則 TYB值可知:TYB=AB －TYA，由式(16)有

圖3 基于對稱型曲線的雙交點復曲線計算圖式

由式(19)計算得到的R2是精確的。再由內移值的近似公式可得到LS2的近似值

3 非對稱型雙交點曲線計算方法

由上節內容可見，基于對稱型的計算方法使得曲線與基線之間仍有內移值，因此曲線并不是嚴格切基線的，為此，可采用非對稱曲線為基本模型。

3.1 雙交點單曲線

嚴格切基線的雙交點單曲線可看作前后兩個非對稱基本型曲線在GQ點處首尾相接，而兩個曲線的半徑相同，用RT表示，計算圖式見圖4。

圖4 基于非對稱型曲線的雙交點單曲線計算圖式

計算時，通常先擬定兩端的緩和曲線長度LSA1和LSB2，它們可以相等，也可以不相等，視地形、地物約束以及前后接線情況而定。對于 JDA而言，其第2緩和曲線 LSA2=0，相應地，qA2=0，pA2=0;同理，JDB的第 1緩和曲線 LSB1=0，qB1=0，pB1=0。

反算RT的約束條件為

TA2，TB1分別是JDA曲線的第2切線長和JDB曲線的第1切線長，由式(6)至式(9)可得

與式(13)、(14)思路相同，可得

3.2 雙交點復曲線

計算圖式見圖5，其約束條件和計算思路與3.1節所述完全相同。

圖5 基于非對稱型曲線的雙交點復曲線計算圖式

具體計算時，通常先擬定兩端緩和曲線長，然后擬定兩半徑之一，反算另一個，其實質是由切線長控制半徑。假定已擬定 LSA1、RA、LSB2，則

由式(21)，TB1可知，則

4 關于計算精度的討論及算例

式(1)，(2)實際上是近似公式，但在工程應用中已可滿足精度要求。

式(14)，(20)，(23)，(27)均為近似公式，主要原因是內移值采用了近似公式，其計算精度與半徑大小與緩和曲線長度有關。如需得到較為精確的結果，內移值需按式(4)計算，并采用數值方法編程求解。具體應用時，利用Excel軟件中的“單變量求解”功能進行計算也是較好的選擇，無須復雜的編程，計算精度滿足工程需要。

圖6為雙交點單曲線的Excel計算表界面。圖中目標值即為約束條件要求的期望值，計算時先選中目標值對應的單元格，點擊“工具”下拉菜單選擇“單變量求解”選項，在彈出對話框的“目標值”欄中輸入0，在“可變單元格”中選擇計算對象所在單元格，即可得到計算結果。

圖6 雙交點單曲線參數計算表界面

5 結語

本文主要討論了雙交點單曲線和復曲線在切基線條件下確定曲線參數的幾種計算方法，關于雙交點卵形曲線的計算，在有關文獻已有介紹。

當曲線半徑、緩和曲線長度等設計參數確定后，根據不同的計算模型，各曲線要素及其幾何關系已明確，主點樁號、逐樁坐標計算及曲線細部測設按常規方法進行即可，無需贅述。

對于雙交點復曲線，本文推薦采用基于非對稱曲線的計算方法，不僅可以嚴格切基線、便于控制線位，而且可將其按兩個基本型曲線分別計算、測設，應用較簡單、方便。需要特別注意的是，在兩曲線交接處，超高、加寬應單向過渡。

[1]王身高.公路卵形曲線設計新方法研究[J].公路，1998(8):17-22.

[2]賈全民，馬彥濤，關學生.淺議用坐標法計算既有線曲線[J].鐵道建筑，2010(2):102-105.

[3]交通部第一公路勘察設計院.公路設計手冊(路線)[M].北京:人民交通出版社，1979.

[4]楊少偉.道路勘測設計(3版)[M].北京:人民交通出版社，2009.