勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的教學(xué)研究

何述平

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所,甘肅蘭州 730070)

1 引言

現(xiàn)行普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理2通過(guò)“做一做:探究向心加速度大小的表達(dá)式”[1]、“多學(xué)一點(diǎn):推導(dǎo)向心加速度公式”[2],運(yùn)用速度矢量方法以拓展形式推得勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的表達(dá)式;另外也有運(yùn)用運(yùn)動(dòng)合成與分解方法[3][4]推得的.此外,還能想到怎樣的推導(dǎo)方法?這些方法有何物理學(xué)方法論的特色?又有什么物理教學(xué)特點(diǎn)?能否引入位置矢量從而更好地理解勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度并體現(xiàn)物理科學(xué)探究要素的教學(xué)?本文就此作探討,并期望對(duì)可能的疑惑進(jìn)行解釋,為普通高中物理關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的開放探究式教學(xué)設(shè)計(jì)奠定必要的理論基礎(chǔ).

2 探討

2.1 向心加速度推導(dǎo)方法的概括

將見到、想到的勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度表達(dá)式的推導(dǎo)方法概括如下.

2.1.1 速度矢量法

如圖1,質(zhì)點(diǎn)繞圓心O做半徑r、速率 v的勻速圓周運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt,沿圓周由 A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),半徑相應(yīng)掃過(guò)圓心角Δθ,速度 vA、vB分別與半徑rA、rB垂直,且沿圓周切向.如圖2,速度 vA、vB和改變量Δv=vB-vA構(gòu)成速度矢量三角形.由速度矢量三角形與圓周三角形的相似關(guān)系或夾角關(guān)系可推得勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的表達(dá)式.

(1)相似關(guān)系方式[1][2]

由圖1、2的幾何關(guān)系知,速度矢量三角形與圓周三角形 AOB相似,有

當(dāng)Δt足夠短或趨于零時(shí),有

由式(1)～(3)式得

式(4)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度大小的表達(dá)式.

由圖1、2知Δt趨于零時(shí),Δθ趨于零,Δv垂直于vA,即勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度 an的方向沿圓周半徑指向圓心,且與速度 vA垂直.

圖1

圖2

(2)夾角關(guān)系方式

對(duì)圖1、2,當(dāng)Δt足夠短或趨于零時(shí),有

再結(jié)合式(2)、(3)式,得 an表達(dá)式,結(jié)果同式(4);同理推知an的方向.

2.1.2 運(yùn)動(dòng)合成法

圖3

如圖3,質(zhì)點(diǎn)繞圓心O做半徑r、速率v的勻速圓周運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt,沿圓周由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn).按照運(yùn)動(dòng)合成與分解的方法,可以將勻速圓周運(yùn)動(dòng)看作沿著速度方向 A→C的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿半徑指向圓心A→D的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).

(1)運(yùn)動(dòng)合成法的方式Ⅰ[3]

或AB2=AD?AE.當(dāng)Δt足夠短或趨于零時(shí),有

解得 an表達(dá)式,結(jié)果同式(4).

(2)運(yùn)動(dòng)合成法的方式Ⅱ

由圖3的幾何關(guān)系知:△ADB∽△BDE,有 AD/DB=DB/DE 或DB2=AD?DE,即

Δt有唯一解,得 an表達(dá)式,結(jié)果同(4)式.

2.1.3 運(yùn)動(dòng)分解法[4]

圖4

如圖4,質(zhì)點(diǎn)繞圓心 O做半徑r、速率 v的勻速圓周運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)時(shí)間 Δt,沿圓周由 A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn).按照運(yùn)動(dòng)分解與合成的方法,可以將勻速圓周運(yùn)動(dòng)分解為沿著速度方向 A→P的勻速直線運(yùn)動(dòng)和指向圓心P→B的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).依據(jù)平面幾何的切割線定理(圓外一點(diǎn)P引圓的切線PA、過(guò)圓或圓心的割線 PBC)有 PA2=PB?PC,即

與(8)式同理,得 an的表達(dá)式,結(jié)果同(4)式.

2.2 向心加速度推導(dǎo)方法的比較

從物理學(xué)方法論看,速度矢量法、運(yùn)動(dòng)合成法、運(yùn)動(dòng)分解法均是推導(dǎo)向心加速度的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法.具體為:速度矢量法是物理概念(速度概念、加速度概念)方法、數(shù)學(xué)方法(幾何相似法或弧度夾角法、極限方法)的結(jié)合;運(yùn)動(dòng)合成法的方式Ⅰ是物理概念(勻速圓周運(yùn)動(dòng)線速度概念)方法、物理規(guī)律(勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律)方法、數(shù)學(xué)方法(幾何相似法、極限方法、代數(shù)方程法)的結(jié)合;運(yùn)動(dòng)合成法的方式Ⅱ是物理規(guī)律(勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律、勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律)方法、數(shù)學(xué)方法(幾何相似法、代數(shù)方程法)的結(jié)合;運(yùn)動(dòng)分解法是物理規(guī)律(勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律、勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律)方法、數(shù)學(xué)方法(幾何切割線定理法、代數(shù)方程法)的結(jié)合.

從物理教學(xué)方法看,僅僅因速度矢量方向變化引起向心加速度(這是直線運(yùn)動(dòng)中所沒有的情形)是教學(xué)難點(diǎn)(為了降低教學(xué)難度,先從未稱謂的向心力與向心加速度的關(guān)系即從動(dòng)力學(xué)推出向心加速度的方向,再?gòu)倪\(yùn)動(dòng)學(xué)推得向心加速度大小的表達(dá)式[1][2]).因此,速度矢量法是直接依據(jù)物理概念的基本方法,是教學(xué)難度最大的方法.運(yùn)動(dòng)合成法的方式Ⅰ是直接運(yùn)用物理概念、規(guī)律的方法,是教學(xué)難度適中的方法;運(yùn)動(dòng)合成法的方式Ⅱ是直接運(yùn)用物理規(guī)律的方法,是教學(xué)難度最小的方法;然而為什么是那樣的運(yùn)動(dòng)合成似乎欠明確.運(yùn)動(dòng)分解法是直接運(yùn)用物理規(guī)律的方法,也是教學(xué)難度最小的方法;然而為什么是那樣的運(yùn)動(dòng)分解似乎欠明確.

2.3 向心加速度的釋疑解惑

勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的教學(xué)中,可能存在以下一些疑惑;而疑惑的解決有益于提高中學(xué)物理教學(xué)設(shè)計(jì)的效率和水平.

2.3.1 對(duì)于速度矢量法,推導(dǎo)向心加速度表達(dá)式過(guò)程中的關(guān)系式是近似式還是準(zhǔn)確式?表示的是平均物理量還是瞬時(shí)物理量?

Δt一定或有限時(shí),式(5)、(6)是近似式;式(2)、(3)表示的是平均物理量;式(4)表示的是平均物理量(但等于瞬時(shí)物理量).Δt足夠短或趨于零時(shí),式(5)、(6)是準(zhǔn)確式;式(2)、(3)表示的是瞬時(shí)物理量;式(4)表示的是瞬時(shí)物理量.

另外,無(wú)論Δt是一定還是趨于零,式(1)均是準(zhǔn)確式.2.3.2 對(duì)于運(yùn)動(dòng)合成法、運(yùn)動(dòng)分解法,為什么是那樣的運(yùn)動(dòng)合成、分解?

圖4中,將A→B的勻速圓周運(yùn)動(dòng)想象或理解為:A→P的慣性運(yùn)動(dòng)即勻速直線運(yùn)動(dòng)和P→B的向心力(大小恒定)作用下的自由落體運(yùn)動(dòng)即指向圓心的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)[5].運(yùn)動(dòng)合成法意味著同時(shí)進(jìn)行這兩種運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)分解法意味著依次進(jìn)行這兩種運(yùn)動(dòng).

2.3.3 為什么不將勻速圓周運(yùn)動(dòng)像平拋運(yùn)動(dòng)那樣進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分解來(lái)研究?

將勻速圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)對(duì)比,以明確異同點(diǎn),或許有助于此疑惑的解決.

(1)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn).

(2)受力特點(diǎn).

勻速圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)分別是變力(大小恒定、方向變化,即向心力;向心力是等效力)和恒力(大小、方向均恒定,即重力)的作用.

(3)能量特點(diǎn)

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力、平拋運(yùn)動(dòng)的重力分別不做功和做功,但機(jī)械能卻都守恒,勻速圓周運(yùn)動(dòng)的能量形式(即動(dòng)能)不變,平拋運(yùn)動(dòng)的能量形式(即動(dòng)能和勢(shì)能)轉(zhuǎn)化.

基于上述特點(diǎn)的對(duì)比,并慮及選擇坐標(biāo)系應(yīng)使問題研究簡(jiǎn)化的原則,研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)不宜選取像研究平拋運(yùn)動(dòng)那樣的平面直角坐標(biāo)系即恒定坐標(biāo)系,而應(yīng)選取切-法向坐標(biāo)系即變動(dòng)坐標(biāo)系(選擇平面直角坐標(biāo)系也未嘗不可,只是繁瑣而已或超出現(xiàn)行普通高中物理范圍;不妨一試,或許認(rèn)識(shí)深些[6]).因此,一般不宜將勻速圓周運(yùn)動(dòng)像平拋運(yùn)動(dòng)那樣進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分解來(lái)研究.

2.4 向心加速度的教學(xué)建議

2.4.1 基本建議

依據(jù)2.2.2和2.3.2,雖然速度矢量法、運(yùn)動(dòng)合成法的方式Ⅰ、運(yùn)動(dòng)合成法的方式Ⅱ、運(yùn)動(dòng)分解法等勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的推導(dǎo)方法各有側(cè)重,但是其教學(xué)難度則依次遞減.這樣可根據(jù)教師、學(xué)生的水平和具體教學(xué)目標(biāo),靈活選擇有效的推導(dǎo)方法,進(jìn)而再設(shè)計(jì)可行的教學(xué)方式(如探究式、討論式,等等).

2.4.2 提高建議

依據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡特點(diǎn),引入位置矢量[7]或許對(duì)理解線速度、角速度、向心加速度以及相互關(guān)系更有益,且含有利于教學(xué)的類比、猜測(cè)、論證等物理科學(xué)探究的要素.

質(zhì)點(diǎn)繞圓心O做半徑r、速率 v的勻速圓周運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt,沿圓周由 A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn);相應(yīng)位置矢量rA、rB,位移Δr=rB-rA,位置矢量掃過(guò)角Δθ,速度矢量 vA、vB(分別與相應(yīng)位置矢量垂直)和改變量Δv=vB-vA,如圖5.

圖5

Δt足夠短或趨于零時(shí),有

由式(12)～(14)得

式(16)是線速度 v、角速度 ω、位置矢量 r的大小關(guān)系.

圖5中的位置矢量和式(12)表明:速度矢量v是位置矢量r僅因方向變化而引起,是位置矢量的時(shí)間變化率;且v與r垂直.圖5中的速度矢量和式(15)表明:加速度矢量an是速度矢量v僅因方向變化而引起,是速度矢量的時(shí)間變化率.類比兩者(注意:方向變化皆因旋轉(zhuǎn)),猜測(cè)與式(16)類似的關(guān)系,有

且 an與 v垂直.由式(16)、(17)得

然后,再依據(jù)速度矢量三角形與位置矢量三角形的相似,按照2.1.1的速度矢量法進(jìn)行論證.

3 問題分析

作為方法的運(yùn)用,分析以下平面曲線運(yùn)動(dòng)的加速度問題并關(guān)注分析方法.

3.1 問題[8]

有一只狐貍以不變的速度v1沿直線 AB逃跑,一只獵犬以不變的速率 v2追擊,其運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍.某時(shí)刻狐貍在 D處,獵犬在 C處,且 CD⊥AB,CD=L,如圖6.試求此時(shí)獵犬的加速度大小.

圖6

3.2 分析方法

3.2.1 中學(xué)物理方法

圖7

狐貍視作質(zhì)點(diǎn),做勻速直線運(yùn)動(dòng);獵犬視作質(zhì)點(diǎn),做變速曲線運(yùn)動(dòng).始終對(duì)準(zhǔn)意味著 v2方向始終指向狐貍.經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt,狐貍沿直線 AB的位移是v1Δt;獵犬速度 v2方向改變角Δφ,速度矢量三角形與位置三角形如圖7.

Δt足夠短或趨于零時(shí),由圖7有

由式(19)～(21)得

圖8

方向沿水平向右.這樣運(yùn)用速度矢量法解決了變速平面曲線運(yùn)動(dòng)的加速度問題.

3.2.2 普通物理方法

分析同前,建立直角坐標(biāo)系,如圖 8.t=0時(shí),x1=0,y1=L;v2x=0,v2y=v2.

經(jīng)過(guò)時(shí)間 t,速度v2方向改變角 φ,此時(shí)由圖8分別對(duì)獵犬和狐貍有

對(duì)時(shí)間 t求導(dǎo),由式(23)～(25)得

t=0時(shí),加速度大小為

方向沿x軸正向.這樣運(yùn)用普通物理方法(加速度概念法、三角函數(shù)法和導(dǎo)數(shù)法)解決了變速平面曲線運(yùn)動(dòng)的加速度問題.

4 結(jié)語(yǔ)

本文的勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度推導(dǎo)方法的概括、比較,突出了物理學(xué)方法論的特色、物理發(fā)散思維的特征,分析得出了物理教學(xué)的特點(diǎn),奠定了勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度教學(xué)設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ),并為物理科學(xué)方法教育提供了較詳細(xì)的要素;釋疑解惑加深了對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度推導(dǎo)方法的認(rèn)識(shí);教學(xué)建議提供了教學(xué)基本選擇依據(jù)和教學(xué)提高拓展空間,可作為勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度教學(xué)深入和開放的實(shí)例;變速平面曲線運(yùn)動(dòng)加速度問題的分析表明了不同層次方法的運(yùn)用,是加速度分析方法的活化.

1 人民教育出版社課程教材研究所,物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理2.北京:人民教育出版社,2006(第2版).18

2 束炳如,何潤(rùn)偉.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理2.上海:上海科技教育出版社,2007(第2版).27

3 陳剛,舒信隆.新編物理教學(xué)論.上海:華東師范大學(xué)出版社,2006.258-259

4 廖伯琴.物理教學(xué)研究與案例.北京:高等教育出版社,2006.62

5 Art Hobson.物理學(xué):基本概念及其與方方面面的聯(lián)系.秦克誠(chéng)等譯.上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,2001.109-111

6 Kleppner D,Kolenkow R J.力學(xué)引論.寧遠(yuǎn)源等譯.北京:人民教育出版社,1980.23-24,32-34

7 Zitzewitz PW.科學(xué)發(fā)現(xiàn)者:物理原理與問題(上冊(cè)).錢振華等譯.杭州:浙江教育出版社,2008.167-168

8 閻金鐸,田世昆.中學(xué)物理教學(xué)概論.北京:高等教育出版社,1991.299-300