基于小波降噪的鐵路邊坡測斜監測分析

劉 偉，朱玉婷，付平勇

(華東交通大學道路與鐵道工程重點實驗室，江西南昌330013)

鐵路邊坡的深部水平側移曲線時常鋸齒狀波動，一方面反映降雨、地震等自然環境因素或爆破、鉆孔等人為施工因素作用使邊坡內部位移產生突變，另一方面，反映監測信號由于電壓不穩、電磁干擾等不良因素產生了噪聲。為了提高鐵路邊坡穩定性監測與評價的準確性，有必要對采集的監測信號進行降噪處理[1，2]。小波分析作為一種有力的數學工具，具有多分辨分析的特點，在時頻和頻域都具有表征信號局部特征的能力，時間窗和頻率窗都可以根據信號的具體形態動態調整，基于這些特征，小波分析可以廣泛應用于監測信號降噪[3、4]。

1 小波降噪基本原理

利用小波分析降噪[5]－[7]，即在不同尺度下作小波變換，其實質是用不同中心頻率的帶通濾波器對信號進行濾波，以取得較好質量的信號。在實際的工程中，有用信號通常表現為比較平穩的信號或低頻信號，而噪聲信號通常表現為高頻信號。

設f(x)是觀測點觀測序列，采用Mallat算法，將信號分解成不同頻率成分:

其中，信號在低頻空間Vj上的投影為:

在高頻空間Wj上的投影為:

Ajf(x)是信號f(x)的頻率不超過2－j的成分，Djf(x)是頻率介于 2－j與 2－j+1之間的成分。

上述小波分解式實際可以寫成如下矩陣形式:

式中:j=1，2，…J;H=(hk－2n)，H 為尺度函數對應的低通濾波器;G=(gk－2n)，G為小波函數對應的帶通濾波器;Cj為在2－j分辨率下的離散逼近;Dj為在2－j分辨率下的離散細節;{hk}k∈Z與{gk}k∈Z是一對離散正交鏡像濾波器(低通和高通)，(4)式即為Mallat塔式分解算法。

Mallat重構算法:

其中，j=J，J－1，…，1，H*和 G*，分別為 H 和 G 的共軛。

小波分解與重構降噪法就是根據Mallat分解式(1)至式(3)，將含噪聲的信號分解在不同的頻帶內，然后，在信號重構時，將與噪聲相應的高頻細節信號有關部分Dj置零，重構信號便可達到降噪的目的。是f(x)經過濾波后的平滑信號表達式，即為提取的

?真實信號，這便是小波降噪的基本原理。因此信號降噪可分三步處理:首先對原始信號進行小波分解，則噪聲通常含在高頻系數中;然后對小波分解的高頻系數以閾值等形式進行量化處理;最后再對信號重構即可達到降噪的目的。小波降噪的方法很多，如Mallat算法、小波變換模極大值法、非線性小波變換閾值法和平移不變量小波降噪法等，而小波變換模極大值法降噪和非線性小波變換閾值法降噪最為常用。

1.1 小波變換模極大值法

由于信號和噪聲的小波變換系數在不同尺度上具有不同的傳播特性，即隨著尺度的增大，噪聲所對應的模極大值迅速衰減。而信號的模極大值有三情形:若為緩變信號，則模極大值逐漸增大;若為階越信號，則模極大值保持不變;若為脈沖信號，正、負極值組成的脈沖對的幅值將同時變小。于是，連續進行若干次小波分解后，綜合各個尺度上模極大值的位置和幅值，可斷定哪些模極大值是由噪聲引起，哪些是由信號產生。去除噪聲引起的模極大值，再重構剩余的模極大值，便可實現降噪。

1.2 非線性小波變換閾值法

非線性小波變換閾值法也稱小波收縮。當信號的Lipschitz指數為正時，其小波變換極大值的幅度將隨著尺度而增加;但噪聲的Lipschitz指數為負時，則噪聲所對應的小波變換模極大值將隨尺度的增加而減少。利用這個特性，在不同的分解尺度上設置一定的閾值，將小于該閾值的模極大值點認為是噪聲的小波變換引起的，將其置為零;大于該閾值的模極大值點則認為是信號小波變換引起的而予以保留。常見的閾值規則有sqtwolog規則、rigrsure規則、heursure規則和minimaxi規則。工程中常用的簡單閾值處理法有非線性小波變換軟閾值處理法、非線性小波變換硬閾值處理法等。

1.3 小波降噪的實現與性能評價

(1)為了選擇較優的小波降噪方案，將涉及到小波函數、閾值的選擇。實際工程中可根據自相似原則選取小波基函數，若選擇的小波基函數與待處理信號有相似性，小波變換后，利于信號能量集中和減少計算量。土木工程[7]中關于測斜監測曲線，用Symlet、Coflet、Daubechies小波系均可實現曲線的降噪平滑，但以Daubechies小波系效果最優。對于閾值的選擇，其實現十分簡單，一個簡單的方法就是用每個小波分解系數的幅值減去閾值，若差為負值則將系數設置為0;若差是正值則保持系數不變。在小波降噪方案實施過程中，同時也可以采用Matlab中的小波工具實現。Matlab中獲取閾值的函數有:ddencmp、thselect、wbmpen、wdcbm;實現信號閾值去噪的函數有:wden、wdencmp、wthresh、wthcoef、wpthcoef、wpdencmp。

(2)為了對各種降噪方法進行比選，可用小波降噪的性能評價標準來評判，工程中常用的小波降噪的性能評價標準有信噪比(SNR)、信噪比增益(A)和均方根誤差(RSME)，這三種評價標準是等價的[8]。其中信噪比是測量信號中噪聲量度的傳統方法，常被用來作為評價降噪效果的指標，信噪比越高則濾波效果越好，則降噪性能越好。信噪比單位是分貝，其定義為:

2 工程實例

以峰福鐵路K294+680～K294+900段邊坡CX－6測斜孔，從2010年12月至2011年3月(測量間隔為1周，共間隔16周)的水平位移監測數據作為小波降噪處理的對象，監測數據均通過某高科技實業有限公司CX－806B型數字顯示滑動式鉆孔測斜儀采集獲得，并使用小波變換模極大值法、非線性小波變換軟閾值法和非線性小波變換硬閾值法對所采集數據進行降噪處理，小波函數選擇Db3，尺度選取3，閾值選取常用的hersure閾值，并用信噪比對降噪效果作對比，提取鐵路邊坡體內部水平變形的信息，進行鐵路邊坡測斜監測分析。

(1)邊坡測斜布置

該測區屬剝蝕低丘，邊坡為土質邊坡，山體自然坡度20°～30°，植被發育，線路沿水口庫區北岸行走，整個病害長度約為300 m，包括一段路塹及其兩端各一段路堤。根據路段地形地貌及地質情況，布置2排共6個測斜孔，其中一排布置在左側路塹坡頂以上的山坡上，且位于已有縱向裂縫的下方，測孔間距50 m，布置有 CX－2、CX－6、CX－13 與 CX－7四個測孔;另一排布置在路塹右側水溝外側，布置有CX－1和CX－9兩個測孔，布置見圖1所示。

圖1 測斜孔位布置示意圖

(2)數據采集與分析

待測斜管安裝完，使用測斜儀進行預通并采集初讀數，再按時進行其他測斜監測。下面列出峰福鐵路K294邊坡CX－6測斜孔采集的部分水平位移監測數據，并用小波變換模極大值法、非線性小波變換軟閾值法與非線性小波變換硬閾值法三種方法對所采集數據進行降噪處理，降噪結果見表1。

表1 CX－6測斜監測降噪處理結果

續表1

CX－6孔在第3、4、8、10與12周采集的原始數據有明顯的波動，其中第4、10與12周表現較劇烈。通過降噪前后的數據結果對比，小波變換模極大值法、非線性小波變換軟閾值法與非線性小波變換硬閾值法三種方法降噪效果都較明顯，降噪后的數據穿行在原始數據之間。第4與12周時，小波變換模極大值法與非線性小波變換軟閾值法降噪后的曲線，較非線性小波變換硬閾值法更好地保留了突變波動。

(3)邊坡測斜降噪評價

由表1可見，非線性小波變換閾值法降噪的信噪比大于小波變換模極大值法;而在非線性小波變換閾值法中，又以非線性小波變換軟閾值法的信噪比最高。由此可見，由于非線性小波變換軟閾值法和小波變換模極大值法都建立在奇異性分析基礎上，故降噪后的曲線對原始曲線中的尖峰和突變進行了有效地保持。但從曲線的平滑程度上看，小波變換模極大值法的平滑性優于非線性小波變換閾值法。同理，可對K294處邊坡其他測斜孔的監測數據進行降噪。通過對其他各測孔采集得較多數據降噪處理效果對比驗證，基于hersure閾值的非線性小波變換軟閾值法更合理有效，能夠敏感識別監測數據噪聲和有用水平位移信息，更適合鐵路邊坡測斜監測分析。

3 結論

(1)小波變換模極大值法、非線性小波變換軟閾值法與非線性小波變換硬閾值法三種方法降噪效果都較明顯，利于測斜監測數據反映鐵路邊坡的位移變化趨勢。

(2)基于hersure閾值的非線性小波變換軟閾值法，降噪后的曲線有更高的信噪比，有較好的光滑性，且有效地保留了測斜水平位移監測值的原有真實特性，故可以直觀地獲取產生水平位移突變所在深度，有利于鐵路邊坡變形的判定和穩定性的評價，更適合鐵路邊坡測斜監測分析。

(3)利用小波降噪理論，結合Matlab處理工具箱，在工程中處理深層水平位移測斜監測可節約測量人員內業處理分析時間，也使降噪后的數據更具科學性與說服性，值得在相關領域推廣。

[1]閆振，陸陽，田斌鵬.小波分析在邊坡深部水平位移監測數據降噪中的應用[J].中南公路工程，2007，32(2):41－44

[2]黃飛瀾，肖紅.測斜儀在高填方地基側向水平位移監測中的應用[J].公路工程，2010，35(5):112－120

[3]馮毅，王香華.小波變換降噪處理及其Matlab實現[J].數據采集與處理，2006，21(12):37－39

[4]張鵬，李獻勇，陳建平.基于小波降噪的隧道圍巖監測數據分析[J].吉林大學學報(地球科學版)，2008，38(6):1010－1014

[5]張鵬.基于小波理論的白鶴隧道圍巖穩定性非線性研究[D].長春:吉林大學，2009

[6]田勝利，周擁軍，葛修潤，等.基于小波分解的建筑物變形監測數據處理[J].巖石力學與工程學報，2004，23(15):2639－2642

[7]Mallt S，Hwang W L.Singularity Detection and Processing with Wavelets[J].IEEE Trans Information Theory，1992，38(2):617－643

[8]Donoho DL.De－ noising by Soft－ thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theroy，1995，41(3):613－627