基于艦船振動信號激勵下壓電智能梁振動主動控制

宋媚婷 洪 明 崔洪宇

大連理工大學 運載工程與力學學部 船舶工程學院，遼寧 大連116024

基于艦船振動信號激勵下壓電智能梁振動主動控制

宋媚婷 洪 明 崔洪宇

大連理工大學 運載工程與力學學部 船舶工程學院，遼寧 大連116024

為研究艦船結構振動主動控制有效方法，采用線性二次型獨立模態空間控制法設計控制器，對艦船振動信號激勵下壓電智能梁的振動進行主動控制。基于Hamilton原理建立壓電智能結構的有限元模型，并利用精細積分法計算前3階模態的位移響應。編制了相應的計算機程序，對艦船振動信號激勵下梁結構的振動進行主動控制數值仿真。由仿真結果可見，控制可以有效地實現，為艦船結構振動主動控制提供理論基礎。

智能結構；振動控制；精細積分

1 引言

艦船主要受到螺旋槳、主機、波浪和風等激勵源的作用，激勵源的頻譜表現為強線譜和寬頻譜的疊加。艦船的實際激勵信號很難確定，但通過實測得到的實船振動響應信號具有寬頻和強線譜疊加的特征，為此本文應用實測得到的振動響應信號代替艦船的激勵信號，探討艦船振動信號激勵下柔性結構振動主動控制有效方法，為實現艦船結構振動主動控制提供理論基礎。

壓電智能材料已經被廣泛應用到結構振動主動控制中，Stavroulakis 等人［1］基于 Hamilton 原理建立上下表面分別粘貼壓電片的細長梁有限元模型，分別采用最優控制和H2魯棒控制方法抑制細長梁在風載荷下的振動。 Kumar和 Narayanan［2］基于Euler－Bernoulli梁理論建立梁有限元模型，采用線性二次型調節器方法設計控制器，并針對3種不同邊界條件的梁，根據遺傳算法優化了壓電片的位置。Kapuria和Yasin［3］采用獨立模態空間控制和線性二次型最優控制相結合的方法，對復合材料梁振動進行了控制，這種方法近年來也被研究與應用，它可實現對所需控制的模態進行獨立的控制，不影響其他未控的模態。

基于壓電作動方式，本文以壓電陶瓷作為傳感器和作動器，基于壓電層合單元有限元模型，模擬壓電層合結構機電耦合行為。艦船振動主動控制技術主要研究如何有效抑制低頻振動，提高艦船隱蔽性和安全性。由于螺旋槳和主機激勵引起艦船結構的有害振動主要是低頻振動，且低階模態對艦船振動系統的影響較大，因此，采用線性二次型獨立模態空間控制方法應該有很大的優越性。本文編制了相應的計算機程序，對艦船振動信號激勵下梁結構進行振動主動控制數值仿真，證明該方法的有效性。

2 線性二次型獨立模態空間控制

線性二次型獨立模態空間控制法就是將獨立模態空間控制（IMSC）與線性二次型（LQR）最優控制相結合的新的控制方法。它的主要思想是對振動系統中影響較大的1階或幾階振動模態進行控制，從而使整個系統振動響應得到抑制。由于它可實現對所需控制的模態進行獨立控制而不影響其他模態，設計簡單，在一定程度上能抑制控制溢出，因此，目前已成為一種在模態控制領域中被廣泛應用的方法。

2.1 壓電層合結構有限元模型的建立

壓電層合結構是在結構表面粘貼或內部嵌入壓電片形成的層合結構，它已經被廣泛的應用到結構振動主動控制中。由于壓電層對結構固有特性有很大影響，因此有必要采用壓電層合結構有限元模型，分析其機電耦合行為。

本文采用4節點四邊形殼單元，每個節點有5個廣義位移自由度，每個單元另外加上2個電勢自由度，分別為壓電驅動器的電勢自由度和壓電傳感器的電勢自由度。單元模型如圖1所示。

圖1 壓電層合單元模型Fig.1 Model of piezoelectric composite element

對于壓電薄層，Tiersten［4］給出其本構方程的形式為：

式中，σ和ε分別為壓電層的應力和應變矢量；Q為壓電層彈性矩陣；e為壓電應力常數矩陣；E為電場矢量；D為電位移矢量；P為介電常數矩陣。

將上式改寫為如下形式：

記作：

由于壓電層沿厚度方向極化，所以：

式中，Ez＝－φ／t；φ為壓電層上下表面的電勢差。

采用雙線性4節點四邊形等參單元，形函數為 Ni＝ （1 ＋ ξξi）（1＋ ηηi）／4，i＝1，2，3，4。 單元內任意點位移為：

含有n個壓電層的層合板／殼單元的位移與應變關系可以寫為：

記作：

根據Hamilton原理，可以得到壓電層合單元的剛度陣和質量陣分別為：

將壓電電勢分為傳感部分 φ（S）和作動部分 φ（A），且傳感層外加電勢為零，系統運動方程可寫為［5-12］：

式中，Fext（t）為外部激勵力；Q（A）為作動器作用電勢的等效力。

將上式展開整理，并加上阻尼項，得系統有阻尼運動方程：

2.2 線性二次型獨立模態空間控制法

本文采用線性二次型獨立模態空間控制方法進行研究。首先，將式（7）轉化到模態空間，即將物理坐標結點位移｛q｝用前n階低頻模態對應的模態坐標｛ξ｝表示：

式中，［Φ］是正則振型矩陣。

將式（8）代入式（7）中，左乘［Φ］T則有：

可將式（1）在模態空間解耦，得相應的運動方程：

從解耦的式（9）可以看出，對于獨立模態空間控制，可得到各階模態振動控制方程，本文只取前3階模態。對應每階模態，采用精細積分法由式（9）可求出各階模態的響應。

其次，將式（9）轉化到狀態空間中，得

解狀態空間式（10）即可得到前3階模態響應。

最后，由線性二次型最優控制律，得反饋控制電勢應滿足：

式中，GAi是模態控制增益；ηi為模態坐標向量，同式（10）。

目標函數選為傳感器輸出以及作動器控制電勢的二次加權和：

式中，Q權系數矩陣為半正定對稱陣。通常R為單位陣，調整Q即可。γ同式（10）。

優化控制增益為：

式中，Pi滿足Riccati方程：

將式（11）和式（13）代入式（10），即可得到利用線性二次型獨立模態空間控制方法進行控制的狀態空間方程為：

3 數值算例

基于以上的理論，本文采用FORTRAN語言編程，采用精細積分法的HPD－L格式計算結構在艦船振動信號激勵下前3階模態振動響應。采用精細積分法求解 Riccati方程式（14），再由式（13）求得控制增益。最后求解式（15），即得控制后的模態響應。

本文以某一懸臂梁為例，如圖2所示。梁的尺寸為600 mm×50 mm×10 mm，上下由性質相同的壓電層全部覆蓋，壓電層厚度為2 mm，壓電層和中間層的材料特性如表1所示。將壓電層合懸臂梁劃分為12個單元，其單元編號及節點編號如圖3所示。

圖2 壓電層合懸臂梁Fig.2 Finite element model of piezoelectric laminated cantilever

圖3 單元編號及節點編號Fig.3 Node serial numbers and element serial numbers

表1 材料特性Tab.1 Material properties

在懸臂梁自由端施加激勵，此激勵來源于某船航行時實測的振動響應時域信號，激勵如圖4所示。由于艦船的激勵信號很難確定，為此本文通過計算此激勵作用下梁的振動響應，來模擬艦船振動響應，以此來研究艦船結構振動主動控制有效方法。

圖4 激勵時域曲線Fig.4 Curve of exciting force in time domain

本文選用 Rayleigh 阻尼比 α＝3 和 β＝1×10－4。初始狀態為靜止，積分步長為0.005 s。在控制過程中，取權系數Q＝1×1014。由式（13）所得的前3階模態控制增益分別為：

由精細積分方法的HPD＿L格式求出的懸臂梁自由端控制前后前3階模態位移響應曲線分別如圖5、圖7和圖9所示。由于固定端應變比較大，所需的控制電勢較大，因此輸出一號單元前3階模態的控制電勢（由式（11）求得）如圖6、圖8和圖10所示。

圖6 1號單元作動層1階模態控制電勢Fig.6 Voltages of actuator in the first element with the first modal controlling

圖7 懸臂梁自由端控制前后第2階模態位移響應Fig.7 Tip second modal displacement response of the cantilever before and after control

圖8 1號單元作動層2階模態控制電勢Fig.8 Voltages of actuator in the first element with the second modal controlling

圖10 1號單元作動層3階模態控制電勢Fig.10 Voltages of actuator in the first element with the third modal controlling

從圖5～圖10可以看出，經過控制后，各階模態位移響應得到了有效地控制。為分析控制效果，分別計算前3階模態控制前后位移響應的功率譜密度，采用Welch法估算的單邊功率譜密度結果分別如圖11、圖12和圖13所示。

從圖中可以看出，控制后，前3階模態在0～100 Hz的區間對應的功率譜密度明顯減小，在此區域中的頻率對應的能量明顯降低，控制得以實現。

圖11 1階模態位移響應自功率譜密度Fig.11 Auto power spectral density of the first modal displacement response before and after control

圖12 2階模態位移響應自功率譜密度Fig.12 Auto power spectral density of the second modal displacement response before and after control

圖13 3階模態位移響應自功率譜密度Fig.13 Auto power spectral density of the third modal

4 結束語

本文采用線性二次型獨立模態空間控制方法對艦船振動信號激勵下壓電層合梁結構的振動進行主動控制；應用基于Hamilton原理得出的壓電層合單元模型模擬壓電層合結構的機電耦合行為；采用精細積分法計算艦船振動信號激勵下梁結構的振動響應。從數值算例仿真結果可以看出，應用本文的控制方法控制后，梁結構各階模態位移響應的自功率譜密度減小，控制得以實現。本文的控制方法能有效地控制艦船振動信號激勵下梁結構振動響應，此方法為進行艦船結構振動主動控制提供理論基礎。

［1］STAVROULAKIS G E，FOUTSITZI G，HADJIGEORGIOU E.Design and robust optimal control of smart beams with application on vibrations suppression［J］.Advances in Engineering Software， 2005， 36 （11/12）： 806-813.

［2］KUMAR K R，NARAYANAN S.Active vibration control of beams with optimal placement of piezoelectric sensor／actuator pairs ［J］.Smart Materials and Structures，2008，17（5）：1-15.

［3］KAPURIA S，YASIN M Y.Active vibration control of piezoelectric laminated beams with electroded actuators and sensors using an efficient finite element involving an electric node［J］.Smart Materials and Structures，2010，19（4）：19-33.

［4］TIERSTEN H F.Linear piezoelectric plate vibrations［M］.New York：Plenum Press，1969.

［5］SIMOES M.Active control of adaptive laminated structures with bonded piezoelectric sensors and actuators［J］.Computers and Structures，2004，82（17-19）：1349-1358.

［6］SONG G，GU H.Active vibration suppression of a smart flexible beam using a sliding mode based controller［J］.Journal of Vibration and Control，2007，13（8）：1095-1107.

［7］WANG W Y，WEI Y J，WANG C.Modeling and optimal vibration control of conical shell with piezoelectric actutors［J］.High Technology Letters，2008，14（4）：418-422.

［8］SONG G，QIAO P Z，BINIENDA W K，et al.Active vibration damping of composite beam using smart sensors and actuators［J］.Journal of Aerospace Engineering，2002，15（3）：97-103.

［9］QIU Z C，ZHANG X M，WU H X， et al.Optimal placement and active vibration control for piezoelectric smart flexible cantilever plate［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，301（3/5）：521-543.

［10］SIM?ES R C，VALDER S，JOHAN D H， et al.Modal active vibration control of a rotor using piezoelectric stack actuators［J］.Journal of Vibration and Control，2007，13（1）：45-64.

［11］HARARI S，RICHARD C，GAUDILLER L.New semiactive multi-modal vibration control using piezoceramic components ［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，2009，20（13）：1603-1613.

［12］SHARMA M，SINGH S P，SACHDEVA B L.Modal control of a plate using a fuzzy logic controller［J］.Smart Materials and Structures，2007，16（4）：1331-1341.

Active Vibration Control of a Piezoelectric Smart Beam Excited by the Vibration Signal of Vessel

Song Mei－ting Hong Ming Cui Hong-yu

School of Naval Architecture Engineering，Faculty of Vehicle Engineering and Mechanics，Dalian University of Technology， Dalian 116024， China

To research the effective method for active vibration control of vessel structure， an Independent Modal Space Control （IMSC）technique based on Linear Quadratic Regulator （LQR）method was adopted to design the controller， taking an active vibration control of a piezoelectric smart beam， which is under the vessel＇s vibration signal excitation.The finite element model of the piezoelectric composite structure was developed based on the Hamilton＇s principle.Furthermore the high precise direct integration method was used to calculate the displacements of first three order modes.A numerical simulation of active vibration control was performed.The results show that the control can be implemented effectively and it provides a theoretical basis for active vibration control of vessel structure.

smart structure； vibration control； high precise direct integration method

TB53

A

1673－3185（2011）06－28－06

10.3969/j.issn.1673-3185.2011.06.006

2011-05-13

國家自然科學基金項目（51079027）

宋媚婷（1987－），女，碩士研究生。研究方向：結構失效、振動和噪聲機理、預報及控制。E-mail：smt19870105＠163.com

洪 明（1959－），男，教授。研究方向：結構失效、振動和噪聲機理、預報及控制研究。E-mail：mhong@dlut.edu.cn