新型變螺旋角正弦斜齒輪的嚙合特性分析

黃道業，孟凡凈

（安徽國防科技職業學院 機械工程系，六安 237000）

0 引言

正弦變螺旋角斜齒輪傳動，是一種兩軸三自由度的應用正弦函數曲線構造齒輪基本齒廓的直、斜齒之間的共軛傳動，該齒輪傳動型式比較新穎，一方面該齒輪傳動探索性的應用了一種新型的齒廓型式-正弦函數曲線，另一方面它打破了常規的齒輪傳動規律的傳動方式，相共軛的一對齒輪的螺旋角不等，其主動齒輪為直齒掄，從動輪為變螺旋角斜齒輪（即螺旋角大小和方向均按一定的規律發生周期性的變化）。直、斜傳動技術是國外拋光磨頭的關鍵技術，并且該技術長期以來受到國外封鎖和保密。我國現階段對于該技術完全處于測繪和仿制階段，產品質量不高、拋光效果較差。因此對于正弦直、斜齒傳動嚙合原理進行研究，通過該研究總結出設計和制造經驗就顯得尤為重要。本文正是基于以上原因對該新型的齒輪傳動的齒面方程和實體模型做了以下研究[1～3]。

1 坐標系的建立[4]

根據齒輪的坐標建立方法，正弦齒廓直齒輪和斜齒輪嚙合過程中采用如下四個坐標系（如圖1所示），初始位置的兩個固定坐標系：SZOOZOxZOyZOzZO和SXO-OXOxXOyXOzXO；與正弦齒廓直齒輪和斜齒輪固連的兩個動坐標系SZ-OZxZyZzZ和SX-OXxXyXzX。初始時，zZO軸與zXO平行，yZO軸與yXO平行，xZO與xXO軸重合，OZOOXO＝a；坐標系SZ-OZxZyZzZ與SX-OXxXyXzX分別與坐標系SZO-OZOxZOyZOzZO與SXO-OXOxXOyXOzXO重合。嚙合時，正弦直齒輪僅僅以角速度1繞zZO軸轉動，OZOOZ＝0；正弦斜齒輪一方面繞zZ軸以角速度X轉動，同時以角速度XO繞xXO軸轉動，OXOOX＝0。

圖1 坐標變換關系

由（1）、（3）、（4）式可以得到由坐標系SZ0-OZ0xZ0yZ0zZ0到SX-OXxXyXzX的變換矩陣為[MZO,X]為：

2 基本正弦齒廓的建立

如圖3所示，以正弦函數曲線的坐標系零點作為該齒輪的分度圓；以正弦函數曲線的幅值H作為該齒輪的齒頂高和齒根高；以正弦函數曲線的一個周期作為該齒輪的齒距來構造該新型的齒輪齒廓方程。為了能夠建立好該齒輪的齒廓方程，特建立了圖2所示的旋轉坐標系S-OXY和圖3所示的直線坐標系S1-O1X1Y1，齒廓構造函數為Y1＝Hsin (BX1)，其中B 為正弦函數的周期系數。

則正弦齒輪的基本齒廓方程用極坐標可表示為：

極坐標方程轉化為直角坐標方程為：

圖2 旋轉坐標系S-OXY

圖3 直線坐標系S1-O1X1Y1

3 變螺旋角正弦斜齒輪的齒面方程[5]

3.1 法線矢量

正弦直齒的基本齒面由坐標系SZO-OZOxZOyZOzZO變換到坐標系SZ-OZxZyZzZ后的齒面方程為：

對于正弦直齒齒面上的任意點P (xZ, yZ, zZ)，設其在動坐標系SZ-OZxZyZzZ中的矢徑rZ為：

根據（9）式分別對 和H求導，化簡得法向量為：

3.2 接觸處的相對速度

如圖4所示，設空間有一點M在坐標系SZO-OZOxZOyZOzZO中 的 坐 標 為（xZO, yZO, zZO），令OXOOZO＝aiZO，則：

其中，1為直齒輪繞zZO旋轉的角速度模量。

因為斜齒輪繞zX軸轉動的角速度：且繞xXO轉動的角速度：由（4）可得斜齒輪在坐標系SZO-OZOxZOyZOzZO中的角速度為：

圖4 相對速度坐標圖

式中：

2——斜齒輪繞zX軸旋轉的角速度模量；XO——斜齒輪繞xXO旋轉的角速度模量。兩齒輪在接觸處的相對速度為：

其中， 為大小和方向均按一定的規律發生周期性的變化的螺旋角的函數：

式中：

z2——變螺旋角正弦斜齒輪的齒數；

——變螺旋角正弦斜齒輪螺旋角的變化幅度，如圖5所示。

3.3 變螺旋角正弦斜齒輪傳動的齒面方程

由齒輪嚙合原理可知，兩齒輪齒面的嚙合條件是：

圖5 螺旋角周期性變化圖

把（13）和（17）式代入后得到兩齒輪嚙合的嚙合方程為：

聯立（8）和（20）可以得到弧齒直齒輪和變螺旋角斜齒輪傳動在SZ-OZxZyZzZ中的齒面方程為：

由（3）、（4）式可以得到弧齒直齒輪和變螺旋角斜齒輪傳動在SX-OXxXyXzX中的齒面方程為：

4 嚙合軌跡的計算機仿真[6～8]

4.1 參數選擇和計算

根據新型正弦齒輪的參數特點對一對相嚙合的正弦直齒輪和變螺旋角的主要嚙合參數做了如下的選擇和計算。

基本參數：直齒輪的齒數Z1＝20，模數m＝5，變螺旋角斜齒數Z2＝60，＝5° 15°。

4.2 仿真分析

由于正弦直斜齒傳動的瞬時接觸線只是一種理想的情況，而在實際過程中為點接觸，對理想情況分析沒有實際意義，因此本文在分析過程中只對點接觸的情況進行分析。在仿真過程中，為了使仿真的結果易于分析和處理，特對仿真的步驟做了如下的規定：

1）固定 ＝15°，取H分別等于5mm和10mm時的仿真結果，如圖（6）所示。

2）固定H＝10mm，取 分別等于5°和10°時的仿真結果，如圖7所示。

圖6 仿真圖H

圖7 仿真圖

從圖6可以看出，接觸軌跡隨著H值的增大移向齒高的正向，齒寬的正向。從圖7可以看出，接觸軌跡隨著 角度的增大將移向齒高的負向，齒寬的負向。

5 結論

1）基于《齒輪嚙合原理》和《微分幾何》的知識推導了變螺旋角正弦斜齒輪的齒面方程。

2）應用仿真軟件MATLAB6.0對變螺旋角正弦直斜齒傳動的嚙合軌跡仿真分析。分析結果表明：接觸軌跡隨著H值的增大移向齒高的正向，齒寬的正向。接觸軌跡隨著 角度的增大將移向齒高的負向，齒寬的負向。

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