簡單樹的結構矩陣及應用

張景曉

(德州學院 數學系，山東德州 253023)

1 簡單樹及其結構矩陣

1.1 簡單樹的規范化形式及其結構矩陣

定義設G是滿足條件Δ(G)≤4的樹，則稱G是簡單樹，其中Δ(G)是G的最大度。設G是簡單樹，G中最長的鏈叫主鏈，連接主鏈兩側的鏈叫側鏈，把圖的主鏈橫寫在同一直線上，側鏈垂直地連接在主鏈的兩側，并且約定側鏈離主鏈端點最近的一端在左方，較遠的一端在右方;當圖的節點處只有1條側鏈時，將該側鏈連接在主鏈節點的上方;當圖的節點處接有2個側鏈時，較長的側鏈接在該節點的上方，較短的側鏈接在節點的下方，滿足以上條件的圖叫規范圖。

根據實際應用的需要，可給規范圖的頂點賦予權值，權值可以是任意實數，如取每個節點的度為其權值，得如圖1的賦權圖。

圖1 賦權圖

按照頂點賦權圖的原樣給出的矩陣(注意空白處用0填充)

叫做圖G的結構矩陣。

1.2 結構矩陣的一般化數學描述

為便于一般性理論研究和結果的推廣，下面對結構矩陣給出一般性描述。

設

是某一m行n列的簡單樹的結構矩陣，其中A的第0行對應于圖的主鏈，主鏈上方的行依次定義為第1，2，…，s行，主鏈下方的行依次定義為矩陣A的第－1，－2，…，－t行。用αi=(ai1，ai2，…，ain)表示矩陣 A 的第 i個(i= －t，－t+1，…，0，1，2，…，s)行向量，βj=(asj，as－1j，…，a0j，a－1j，a－2j，…，a－tj)T，表示A的第j(j=1，2，…，n)個列向量。分別表示矩陣A的行向量 αi和列向量 βj的1范數。

2 利用結構矩陣預測鏈狀化合物的理化性質

以鏈烷烴的色譜保留指數的預測為例。由于鏈烷烴的分子骨架圖就是滿足條件的簡單樹圖，因此可以根據系統命名原則，參照結構矩陣的書寫規則，給出相應的分子結構圖的結構矩陣，如2，4－二甲基戊烷，其隱氫圖為

為便于更廣泛和更深入地利用圖的結構矩陣來研究物質結構與性能的關系，考慮到不同原子對物性的影響，取分子骨架圖頂點原子的原子序數為其頂點的權值，根據分子拓撲學理論，不會影響結構與物性的研究，但能達到區分原子類型的目的。由于碳原子的原子序數是6，故化合物2，4－二甲基戊烷的賦權圖為

按照賦權圖的原樣給出結構矩陣:

根據以上討論，下面列出部分鏈烷烴的分子結構式及結構矩陣，見表1。

表1 部分鏈烷烴的規范化分子結構圖及其結構矩陣

鏈烷烴分子的結構矩陣是分子結構圖原樣的量化，它相當于分子結構圖的一張數碼照片，結構矩陣的行數、列數反映了物質分子的整體規模，是對分子大小的宏觀描述，結構矩陣的行向量列向量的1范數是對分子支化程度從縱橫不同方向的細化描述，同時由于組成矩陣的行列向量的元素不同，所以矩陣的行列向量也反映了構成物質的原子類型以及連接各支鏈的空間方位的信息量。因此完全有理由將分子結構矩陣的行數m、列數n以及行、列向量的1范數pi，qj作為分子的結構信息指數。

根據30種鏈烷烴的結構矩陣，計算了矩陣的行數列數，以及矩陣行列向量的1范數列入表2。然后借助于SPSS軟件剔除線性相關向量，由表2所列鏈烷烴的結構信息指數與其色譜保留指數實驗值RIexp關聯，進行多元線性回歸，得以下回歸方程:

其中:n=30是樣本點數;r=0.999是復相關系數;s是標準偏差;F=1 089.293為 Fischer檢驗值。利用式(1)計算了30種鏈烷烴的色譜保留指數(見表2 RIcal)，實驗值與預測值吻合的非常好。

由以上預測結果及預測統計量表明，本文所建立的簡單樹圖的結構矩陣簡單實用，可用于結構與物性的相關性研究，因此拓展了圖論應用的新思路。

表2 30種鏈烷烴的結構信息指數及其色譜保留指數

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