對(duì)非最小相位環(huán)節(jié)的一個(gè)誤解

冉晟伊，熊于菽

重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，重慶 400037

在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，由于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G（s）的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，因此系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)或?yàn)閷?shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)。函數(shù)的性質(zhì)由G（s）的零點(diǎn)和極點(diǎn)在s平面上分布的情況的不同所決定。根據(jù)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)可將分子和分母多項(xiàng)式分解成因式，再將因式分類，即得典型環(huán)節(jié)。典型環(huán)節(jié)可分為兩大類。一類為最小相位環(huán)節(jié)；一類為非最小相位環(huán)節(jié)。最小相位環(huán)節(jié)定義是：函數(shù)G（s）的全部極點(diǎn)均位于s平面的左半部，而沒(méi)有零點(diǎn)落在右半s平面上。非最小相位環(huán)節(jié)定義是：函數(shù)G（s）有一個(gè)或多個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)落在s平面的右半部。“最小相位”與“非最小相位”的概念來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)理論。它指出：在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當(dāng)ω從0變至∞時(shí)，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小，而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常要比前者大，故而得名。

除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對(duì)應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的位置。非最小相位環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)s右半平面的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)，而最小相位環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)s左半平面的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)。對(duì)于每一種非最小相位的典型環(huán)節(jié)，都有一種最小相位環(huán)節(jié)與之對(duì)應(yīng)，其特點(diǎn)是典型環(huán)節(jié)中的某個(gè)參數(shù)的符號(hào)相反。如最小相位慣性環(huán)節(jié)和非最小相位慣性環(huán)節(jié)、最小相位振蕩環(huán)節(jié)和非最小相位振蕩環(huán)節(jié)、最小相位一階微分環(huán)節(jié)和非最小相位一階微分環(huán)節(jié)、最小相位二階微分環(huán)節(jié)和非最小相位二階微分環(huán)節(jié)。其幅頻特性相同，相頻特性符號(hào)相反，幅相曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；對(duì)數(shù)幅頻曲線相同，對(duì)數(shù)相頻關(guān)于0°線對(duì)稱。

根據(jù)上述特性，列出最小相位環(huán)節(jié)：

1）比例環(huán)節(jié)K（K＞0）；

2）慣性環(huán)節(jié) 1/（Ts+1）（T ＞ 0）；

3）一階微分環(huán)節(jié)Ts+1（T＞0）；

非最小相位環(huán)節(jié)：

1）比例環(huán)節(jié)K（K＜0）；

2）慣性環(huán)節(jié)1/(Ts-1)（T＞0）；

3）一階微分環(huán)節(jié)Ts-1（T＞0）；

請(qǐng)注意，非最小相位慣性環(huán)節(jié)1/（Ts-1）（T＞0）存在問(wèn)題。首先，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G（s）=1/（Ts-1）（T＞0）對(duì)應(yīng)s右半平面存在開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，的確是非最小相位環(huán)節(jié)。但是推出其幅頻和相頻特性為

而對(duì)應(yīng)的最小相位慣性環(huán)節(jié)G（s）=1/（Ts+1）（T＞0）的幅頻和相頻特性為

可以看出，兩者幅頻特性曲線相同，但相頻特性曲線不存在符號(hào)相反的性質(zhì)。

上述結(jié)論產(chǎn)生的原因是對(duì)非最小相位慣性環(huán)節(jié)G（s）=1/（Ts-1）（T＞0）的不規(guī)范討論造成的。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G（s）=1/（Ts-1）（T＞0）的形式，是根軌跡法的討論形式。滿足

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解， s項(xiàng)前系數(shù)為1的要求。

而討論頻率特性，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)一定要是頻率法的形式

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解， 要求所有因子的常數(shù)項(xiàng)為1。所以，非最小相位慣性環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)該寫為

G（s）=1/（-Ts+1）（T ＞ 0）

推出其幅頻和相頻特性為

符合幅頻特性相同，相頻特性符號(hào)相反，幅相曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；對(duì)數(shù)幅頻曲線相同，對(duì)數(shù)相頻關(guān)于0°線對(duì)稱的性質(zhì)。

同理，討論非最小相位一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)改為

G（s）=-Ts+1（T ＞ 0）。

進(jìn)行討論。

另外，通過(guò)頻率法形式分析，最小相位典型環(huán)節(jié)中，積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)。其特性是對(duì)數(shù)幅頻曲線關(guān)于0dB對(duì)稱，對(duì)數(shù)相頻曲線關(guān)于線對(duì)稱。在非最小相位環(huán)節(jié)中，同樣存在傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)，其對(duì)數(shù)頻率特性曲線的對(duì)稱性亦成立。

[1]胡壽松.自動(dòng)控制原理[M].5版.科學(xué)出版社，2007.

[2]趙四化.自動(dòng)控制原理[M].2版.西安電子科技大學(xué)出版社，2009.

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[4]姜孟文.關(guān)于非最小相位系統(tǒng)的幾個(gè)結(jié)論[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1986.