三維坐標轉換中高程誤差對轉換精度的影響

吳清波,向為,劉文祥,孫廣富

摘 要：以Bursa-Wolf坐標轉換模型和參數求解方法為基礎，根據誤差傳播理論，推導出測區內任意待轉換點三維坐標轉換精度數學公式。通過對該數學模型的分析可得：公共點所在測區內待測點的轉換精度隨高程變化呈拋物線分布。當高程在(-100 m,1 000 m)區間變化時，轉換精度在10-2量級浮動,對坐標轉換的影響很小。最后通過算例驗證了結論的正確性。

關鍵詞：七參數轉換； 坐標轉換； 高程誤差； 轉換精度； 坐標系

中圖分類號：TN911-34

文獻標識碼：A

文章編號：1004-373X(2011)09-0186-04

Effect of Elevation Error on Accuracy in 3-D Coordinate Transformation

WU Qing-bo,XIANG Wei,LIU Wen-xiang,SUN Guang-fu

(Electronic Science & Engineering College,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

Abstract： Based on Bursa-Wolf coordinate transformation model and parameter solving methods,a mathematical model for the 3-D accuracy of coordinate conversion for arbitrary measured point in the surveying area is derive with the theory of error propagation. According to the analysis of the mathematical model,it can be concluded that the variation of conversion accuracy of measured point presents a parabola distribution with the change of altitude. Meanwhile,when the variation of altitude is in the scope of -100~1 000 m,the conversion accuracy is about 10-2 m,which has a trivial effect on the coordinate transformation. The theoretical validity of the conclusions was proved by experiment.

Keywords： seven-parameter transformation; coordinate transformation; vertical error; transformation accuracy; geodetic coordinate system

0 引 言

目前，全球定位系統GPS在我國的應用日益廣泛，GPS采用的是以ITRF標準為框架的地心坐標系WGS84，是一種以地球整體擬合最佳為標準得到的橢球。我國地圖廣泛采用高斯-格呂克投影的北京54坐標系，參考橢球是克拉索夫斯基橢球，它是一種使得我國本土的擬合最佳的橢球標準［1］。因此，將GPS的定位結果轉化到我國實用坐標系的問題越來越明顯。

在國家或地方坐標系中,大地高程(H)通常為正常高(h)與高程異常(ζ)之和，目前在我國高程異常的精度一般為米級［2］。由于大地高并不直接已知,而利用正常高和高程異常求得的大地高程精度將由于高程異常誤差的影響而降低。以此作為待轉換點坐標必然會引起轉換后的坐標精度降低。

1 Bursa-Wolf坐標轉換模型［3-4］

假設兩個基準坐標系分別為OA-XAYAZA和OB-XBYBZB，它們之間的轉換涉及到七個參數ΔX,ΔY,ΔZ,`A,`B,`C，m。其中，ΔX,ΔY,ΔZ表示兩個坐標系原點之間的平移量;m為比例因子，表示兩個坐標系中單位長度的比例修正量；`A,`B,`C表示坐標軸之間的旋轉角度。`A具體意義為從XA正向看向原點OA，以OA點為固定旋轉點，將OA-XAYAZA繞XA軸逆時針旋轉`A角，使經過旋轉后的YA軸與OB-XBYB平面平行，由此產生的坐標變換的旋轉矩陣如下：

RA=100

0cos `Asin `A

0－sin `Acos `A

其余兩個旋轉參數可以類推產生。由上面七個參數可以得到轉換模型如下：

XBYBZB=ΔXΔYΔZ+(1+m)RARBRCXAYAZA

(1)

將RA,RB,RC代入，并注意到`A,`B,`C均為微小量,得到:

XBYBZB=ΔXΔYΔZ+(1+m)1`Z－`Y

－`Z1`X

`Y－`X1XAYAZA

(2)

進一步化簡為:

XBYBZB=XAYAZA+1000－ZAYAXA

010ZA0－XAYA

001－YAXA0ZAΔXΔYΔZ`X`Y`Zm

(3)

2 轉換參數求解方法［5-7］

令XAB=XA－XB,YAB=YA－YB,ZAB=ZA－ZB，認為XAB,YAB,ZAB是含有隨機誤差的觀測值，將轉換參數［ΔXΔYΔZ`X`Y`Zm］視為未知數，根據Bursa-Wolf模型方程得到誤差方程:

VXVYVZ=XABYABZAB+

1000－ZAYAXA

010ZA0－XAYA

001－YAXA0ZAΔX

ΔYΔZ`X`Y`Zm

(4)

將三個或三個以上公共點的誤差方程聯立，以最小二乘原則求解就可以得到七個參數。為描述方便，把轉換參數求解的方程改寫為：

VXVYVZ…=XABYABZAB…+

1000－ZAYAXA010ZA0－XAYA001－YAXA0ZA…………………ΔXΔYΔZ`X`Y`Zm

(5)

記為:l=HX+V。式中:

l=－XAB

YAB

ZAB

…，

H=

1000－ZAYAXA

010ZA0－XAYA

001－YAXA0ZA

…………………，

X=ΔX

ΔY

ΔZ

`X

`Y

`Z

m，

V=－VXVYVZ…

得到轉換參數的最小二乘解為:

X=(H琓MH)－1H琓Ml

(6)

式中:M為加權矩陣，為所有公共點坐標測量誤差的協方差矩陣的逆。若各公共點各軸向測量精度獨立，則:

M=1/σ21X1/σ21Y1/σ21Z

…

(7)

3 坐標轉換精度分析［8-10］

根據式(6)得出轉換參數協方差矩陣為:

C=(H琓MH)－1=

daadabdacdaddaedafdag

dbadbbdbcdbddbedbfdbg

dcadcbdccdcddcedcfdcg

ddaddbddcdddddeddfddg

deadebdecdeddeedefdeg

dfadfbdfcdfddfedffdfg

dgadgbdgcdgddgedgfdgg

(8)

對區域內待測點P的坐標轉換過程為:lP=HPX。利用轉換參數誤差和式(6)，推導出P點的坐標轉換協方差矩陣為:

WP=E(Δ lPΔ l琓P)=HPE(ΔXΔX琓)H琓P=HPCH琓P=HP(H琓MH)-1H琓P

=

1000-ZPYPXP

010ZP0-XPYP

001-YPXP0ZP

daadabdacdaddaedafdag

dbadbbdbcdbddbedbfdbg

dcadcbdccdcddcedcfdcg

ddaddbddcdddddeddfddg

deadebdecdeddeedefdeg

dfadfbdfcdfddfedffdfg

dgadgbdgcdgddgedgfdgg

100

010

001

0ZP-YP

-ZP0XP

YP-XP0

XPYPZP

=

S11S12S13

S21S22S23

S31S32S33

(9)

即：P點三維轉換誤差與公共點的測量精度及其分布的關系為:

ΔLP=S11+S22+S33

(10)

式中:S=HP(H琓MH)－1H琓P;Sii為矩陣S的第i行、第i列元素。公共點位置及其分布決定了矩陣H，公共點測量精度決定了矩陣M。待轉換點位置決定矩陣HP。

當P點經、緯度坐標固定時(即視其為常量)，轉換精度同高程的關系為：

ΔLP=［(ddd+dee+dgg)Z2P+2(dbd+dcg－dae－XPddf－YPdef)ZP+(dee+dff+dgg)X2P+

(ddddggdff)Y2P+2(dag－dbf+dee)XP+(daf+dbg－dcd)YP－2XPYPded+daa+dbb+dcc］1/2

(11)

進一步簡化為：

ΔLP=(aZ2P+bZP+c)1/2

(12)

由式(12)可見，P點轉換精度是關于高程變化的拋物線。

4 算例驗證

從Google Earth上選取湖南省長沙市市區任意三點作為公共點(假設其坐標值是精確的)，并在公共點所在測區建立密度為3.3 km×3.3 km的網格。利用公共點求得轉換參數，并對網格內的點進行坐標轉換，根據式(6),式(9)，式(10)求出各點轉換精度。公共點在WGS84坐標系下的坐標及其精度如表1所示。

表1 公共點數據

點號

WGS84坐標系下的公共點坐標坐標精度

X/mY/mZ/mmX/mmY/mmZ/m

G1-2 188 769.604 9285 183 546.215 0162 993 601.082 4081.631.631.63

G2-2 197 080.243 5555 176 951.981 6372 998 761.236 1791.371.371.37

G3-2 204 245.155 8895 177 131.713 0032 993 212.382 9241.561.561.56

高程變化區間為(-100 m，1 000 m)，待測點轉換精度的最大、最小值和變化幅度情況如表2所示。

其中，1,2,3,4號點的高程對轉換精度影響的仿真結果如圖1~圖4所示。由圖可知，轉換精度隨高程變化呈拋物線分布，同理論推導結果相符。

表2 待測點轉換精度結果

點號最大值/m最小值/m差值/m量級/m

11.029 7411.006 3450.023 9610-2

22.827 4912.819 3620.008 12310-3

32.635 2282.626 3040.008 92410-3

42.529 2332.519 7360.009 49710-3

52.435 4512.425 2760.010 17510-2

62.594 2832.584 5870.009 69610-3

72.791 6262.782 4870.009 13910-3

82.297 3482.287 4120.009 93610-3

92.015 2162.003 6380.011 57810-2

101.838 6401.825 6990.012 94110-2

根據表2結果可以看出，當待測點高程在(-100 m,1 000 m)區間變化時，轉換精度變化幅度為10-2量級，對待測點坐標轉換精度影響較小，即轉換后的坐標值可以認為基本不變。

圖1 1號點高程變化對轉換影響

圖2 2號點高程變化對轉換影響

圖3 3號點高程變化對轉換影響

5 結 語

本文根據誤差傳播模型，推導出轉換參數求解誤差同公共點的測量精度與分布的數學模型，及測區內任意點的三維坐標轉換精度公式。通過對該數學模型的分析可得：在公共點所在測區內待測點的轉換精度隨高程變化呈拋物線分布。當高程在(-100 m,1 000 m)區間變化時，轉換精度在10-2量級浮動，對坐標轉換的影響很小。在實際問題中,由于我國平面坐標系統與高程系統分離,大多數情況下,平面坐標的點上沒有精確的大地高,很多連水準高程都沒有,只有米級精度的近似高程,地方坐標系的精確大地高更是難以獲得。在這種情況下，只要保證公共點坐標的精度，待測點的高程即使存在一定的誤差也可以保證轉換結果具有較高的精度。在工程上，特別是從國家或地方坐標向WGS84坐標轉換時，該結論具有較大的實用意義。

圖4 4號點高程變化對轉換影響

參考文獻

［1］許其鳳.空間大地測量學：衛星導航與精密定位［M］.北京：解放軍出版社，2001.

［2］張勤，王利.GPS坐標轉換中高程異常誤差影響規律研究［J］.測繪通報，2001(6)：12-14.

［3］牛琳，陳建平，田毅.三維坐標轉換的公共點選擇方法［J］.北京測繪，2007(4)：9-11.

［4］譚清華,曾祥新,張任.BJS54測繪成果到CGCS2000的轉換方法應用［J］.全球定位系統,2010(2):36-38.

［5］李建文,郝金明,張建軍,等.PZ-90與WGS-84的坐標轉換參數［J］.全球定位系統,2002(7):8-15.

［6］卓力格圖,張愛華.GPS與GLONASS的坐標轉換［J］.地殼形變與地震,2000,20(2):24-29.

［7］卞和方,張書畢,李益斌，等.考慮公共點誤差的坐標系轉換方法研究［J］.海洋測繪,2009,29(2):39-41，48.

［8］KAPLAN Elliott,HEGARTY Christopher J. Understanding GPS principles and applications [M]. 2nd ed. 北京：電子工業出版社，2007.

［9］于先文,王慶.坐標轉換精度的分布規律研究［J］.地理信息世界,2009,7(4):44-46,50.

［10］武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎［M］.武漢：武漢大學出版社，2004.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文