大跨徑懸索橋幾何非線性分析綜述

孫藝利，蔣 欣

（長安大學，陜西西安，710064）

0 引言

懸索橋又稱吊橋，是一種古老的橋型。1816年，第一座用鋼絲做主纜索的人行懸索橋的建成，揭開了現代懸索橋發展的序幕[1]。日本從20世紀70年代開始發展懸索橋，在這方面做出了很大的努力并取得了可觀的成績。日本吊橋的發展主要通過本州-四國聯絡橋的修建，在本州四國聯絡橋的三條聯絡線中有22座大橋，其中有10座是大跨徑的懸索橋，1998年建成的明石海峽大橋，主跨1 990 m。

我國的現代懸索橋雖然起步較晚，但發展很快，且是在美、英、日等國懸索橋技術發展相對成熟的基礎上，通過學習借鑒，隨著中國國情發展起來的，而且已經初具特色。

在有限元線性分析中假設：節點位移為無限小量；材料為線彈性，即材料的應力、應變關系滿足廣義虎克定律；加載時邊界條件的性質保持不變。當這三條假設中任意一條不能滿足時，則必須考慮結構非線性。事實上，結構力學問題，從本質上講都是非線性的，線性假設只是對實際問題的一種簡化。

懸索橋是柔性懸掛結構，在正常設計荷載作用下，即使材料應力沒有超過彈性范圍，其荷載也呈現明顯的非線性關系[2]。所以在懸索橋設計計算中必須考慮非線性影響。

1 懸索橋幾何非線性影響因素

懸索橋是大跨度橋梁中最自然、美觀和經濟的橋型。到目前為止，它仍是主跨1 000 m以上的大跨度橋梁首選的橋型。現代懸索橋通常主要由主纜、主塔、錨墊和加勁梁四大主體結構，以及塔頂主鞍座、錨口散束鞍座或散束箍和懸吊系等重要附屬系統組成。其最大特點為恒載作用在主纜內形成的巨大拉力對后續活載作用下結構的變形有抵抗作用，結構具有不可忽略的幾何非線性[3]。懸索橋在施工和運營階段，纜索在自重作用下具有一定垂度，垂度大小與張力成反比；荷載作用下結構的大位移；結構的初始內力影響等諸多非線性問題。結構大位移的影響效應與恒載初始內力的影響效應相同，使加勁梁的撓度和彎矩減少，但其貢獻遠不及恒載初始內力，它只占精確值的18%左右。纜索自重垂度的非線性影響最小。這是因為懸索橋在成橋時纜索內就存在著巨大的初始張力，在活載作用下，纜索的垂度變化極小[2]。

由于結構的變位，在初始狀態下結構的內力與外力的平衡條件在新的狀態下已不再成立，這將產生不平衡力，如同荷載一樣作用于結構，使得外荷載對結構的作用表現出非線性。通常，初始狀態下結構處于穩態平衡，后續荷載要打破這種平衡而建立新的平衡必須消耗能量。因此，初始內力的影響總是抵消外力的作用，即初始內力的存在提高了結構的剛度，被稱之為結構的內力剛度。初始狀態的內力一般是由自重恒載引起的，所以，內力剛度通常又可稱為重力剛度。對于大跨度懸索橋，白重恒載引起的初始內力是很大的，因此，初始內力是懸索橋非線性的最主要影響因素。因此，大跨度懸索橋的分析必須計入內力與結構變形的影響，否則將引起較大的誤差。

2 懸索橋幾何非線性問題求解方法

與其它橋梁結構形式不同，懸索橋在主纜就位后就很難進行后期索力和標高的調整，故其施工架設參數的精確計算就顯得尤為重要。

關于懸索橋的分析理論，主要有不計幾何非線性影響的線彈性理論，計及恒載初內力和結構豎向位移影響的撓度理論和充分考慮各種非線性影響的有限位移理論。有限位移理論是目前懸索橋結構分析中，理論上最嚴密精確和適用性好的較為完善的理論。在采用有限位移理論對懸索橋進行空間分析時，一般將懸索橋結構離散為空間桿單元、索單元和梁單元，并常用能量法推導單元切線剛度矩陣。然而能量法在應變與位移的函數式中通常忽略位移二次以上的高階項，使精度受到一定影響[4]。

在懸索橋的設計分析中，有限元法已成為廣泛使用的精確數值計算方法。但由于橋梁結構的材料性能、尺寸等存在著不確定性，在懸索橋的設計分析中，應考慮材料、幾何尺寸等的隨機性，且對于懸索橋這種柔性結構，有必要計入結構幾何非線性[5]。主纜線形的精確計算直接關系到結構的受力狀態和安全性能，尤其是加勁梁直接承受主纜水平分力，實踐證明，加勁梁軸向剛度對主纜線形的影響不可忽略[6]。

結構分析的目的，就是要計算出結構在外荷載作用下處于平衡狀態時的位移和內力，這個平衡狀態是已經發生了變形的狀態而不是變形前的狀態。在結構分析中，如果結構所發生的位移遠遠小于結構自身的幾何尺寸，則結構在外荷載作用下的平衡狀態就可以和未受荷載時的位形不加區分，不必考慮結構位形的變化，以初始位形狀態代替變形后的位形狀態，也不會產生很大的誤差，這就是結果線性分析；而當結構發生大位移、大轉角時，與未受荷載時相比，結果位形已有了很大的變化，如果再用未受外荷載時的狀態來代替這個狀態，勢必造成很大的誤差(如懸索結構)。結構幾何非線性分析的實質就是要求出結構變形之后的平衡狀態，然后求出這個狀態下結構的內力。

2.1 基本計算方法

懸索橋幾何非線性的基本計算方法：增量法、迭代法、混合法。

2.1.1增量法

增量法是指荷載以增量的形式逐級加到結構上去，對每個荷載增量作用過程中假定結構的剛度是不變的，在任一荷載增量區間內節點位移和桿端力都是由區間起點處的結構剛度算出，然后利用求得的節點位移和桿端力求出相對于增量區間終點變形后的位置上的結構剛度，作為下一個荷載增量的起點剛度。增量法由于每一級荷載作用下都未得到精確的解答，隨著增量過程的繼續，將會產生“漂移”現象，誤差越來越大。這一“漂移”現象并不因荷載的細分而有明顯的改善。

2.1.2迭代法

迭代法是將整個外荷載一次性加到結構上，節點位移用結構變形前的切線剛度求得，然后根據變形后的結構計算結構剛度求得桿端力。由于變形前后的結構剛度不同，產生節點不平衡荷載，為了滿足節點平衡，將這些不平衡荷載作為節點荷載作用在節點上，計算出相對于變形后的節點位移量，反復這一迭代過程，直至不平衡荷載小于準許值為止。迭代法主要有Newton-Raphson法、擬N-R法、修正的N-R法。

2.1.3混合法

混合法是一種將增量法和迭代法相結合的方法。它在每個增量步長內都采用迭代法，使得每個步長內都達到精確解。這種方法要求迭代次數很多，因此計算量特別大。

2.2 非線性規劃法

非線性規劃的理論是在線性規劃的基礎上發展起來的。1951年，庫恩(H.W.Kuhn)和塔克(A.W.Tucker)等人提出了非線性規劃的最優條件，為它的發展奠定了基礎。

工程實際中大量的非線性問題，都可通過無約束非線性規劃的最優化方法解決。無約束非線性規劃的極值問題通常使用迭代法，主要分為解析法和直接法兩大類。解析法收斂速度較快，但要用到函數的一階或二階導數。當目標函數的解析表達式十分復雜，甚至寫不出具體的表達式時，其導數很難求得，或導數根本不存在，解析法就無能為力了，只能采用直接搜索法。該法收斂速度較慢，適合于較少的變量。直接搜索法中常用的一種——單純形法的迭代原理[7]、[8]。

非線性單純形法是最優化技術中求解無約束非線性問題的一種較為有效的方法之一。該方法利用單純形的頂點，計算其函數值，按一定的規則進行探測性搜索。通過對搜索區內單純形頂點的函數值進行直接比較，判斷目標函數的變化趨勢，確定有利的搜索方向和步長。

搜索中，將單純形頂點函數值誤差最大的點作為“壞點”拋棄，以新點代之，構成新的單純形，從而逐步逼近函數的極小點。以二維單純形為例，對單一目標函數F(x)，首先以初值點X0為基礎，構造二維單純形ABC，并假定目標函數值滿足FA＞FB＞FC，見圖 1。此時，最差點 A 的反對稱方向為目標函數的改進方向，以BC的中點D為中心，得到A點的反對稱點E，則EBC為ABC的反射單純形，XE=XD+(XD-XA)。對于點E，有以下幾種情況：

（1）若 FE＜FC，表明原反射方向有利，繼續大步前進，取 XF=XD+a(XD-XA)。其中，a＞1。對于新點 F，若FF＜FE，則表明向前擴展有利，得到新的單純形FBC；若FF＞FE，則表明向前擴展不利，仍取單純形EBC。

圖1 無約束非線性規劃的單純形法示意圖

（2）若 FE＞FB，表明原反射方向走得太遠，應回退一些，取 XG=XD+β（XD-XA）。其中，β＜1。形成新的單純形GBC。

（3）若 FE＞FC，也表明原反射方向走得太遠，且最小點應在原單純形ABC之內，也需回退，取XH=XD-β(XD-XA)。其中，β＜1。形成新的單純形HBC。

形成新的單純形后，重復上述步驟，對單純形進行翻滾與伸縮，直至滿足精度要求。

對懸索橋進行非線形分析，采用無約束非線性規劃的單純形法，可按上述過程進行，關鍵在于針對不同計算階段和計算內容，合理選取目標函數，必要時需將多目標函數歸并為單目標函數求解。

對于自錨式懸索橋主纜線形計算目前難以求解一階或二階導數的最優化問題，可以利用單純形直接搜索法并借助大型通用優化軟件（如matlab優化工具箱和LINDO/LINGO軟件等），實現問題的簡單、高效、精確求解[6]。

3 結語

懸索橋為大變形結構，在對其進行空間分析時，必須考慮其非線性影響。本文首先討論了懸索橋幾何非線性的影響因素，闡明了非線性計算的必要性，然后探討了懸索橋幾何非線性的計算方法，介紹了3種基本的計算方法，最后重點論述了無約束非線性規劃法的單純形法對非線性問題分析的過程。

單純形法的迭代次數較少，收斂速度快。但是單純形法的一個明顯缺點是其在搜索的開始階段效率較高，而當試驗點接近極小點時，會出現圍繞極小值點反復振蕩的現象。因此，單純形直接搜索法在懸索橋非線性計算中的廣泛應用還需更進一步的探討與改良，這將對解決懸索橋的設計計算問題非常有意義。

[1]周明，施耀忠.大跨徑懸索橋、斜拉橋的發展趨勢[J].中南公路工程，2000，25（3）：32-34.

[2]傅強.懸索橋幾何非線性影響因素分析[J].上海公路.

[3]林少恒，陳啟.懸索橋結構幾何非線性分析方法[J].山西建筑，2009，35（22）：331-332.

[4]傅強.懸索橋空間非線性分析[J].橋梁建設，1998，（1）：33-35.

[5]石磊，劉春城，張哲，杜蓬娟.大跨懸索橋非線性隨機靜力分析[J].大連理工大學學報，2004，44（3）：421-424.

[6]程斌，肖汝誠.自錨式懸索橋主纜線形計算非線性規劃方法[J].深圳大學學報理工版，2008，25（2）：140-146.

[7]檀永剛，張哲，黃才良.一種自錨式懸索橋主纜線形的解析法[J].公路交通科技，2007，24（2）：88-90.

[8]項海帆.高等橋梁結構理論[M].北京：人民交通出版社，2001：249-251，302-315.