擁塞服務網絡上的寡頭競爭

胡一竑, 干宏程, 張建同

(1.同濟大學經濟與管理學院,上海 200092;2.上海理工大學超網絡研究中心,上海 200093)

擁塞服務網絡上的寡頭競爭

胡一竑1, 干宏程2, 張建同1

(1.同濟大學經濟與管理學院,上海 200092;2.上海理工大學超網絡研究中心,上海 200093)

研究擁塞服務網絡中寡頭快遞服務商關于價格競爭的均衡問題.描述了擁塞服務網絡并構建了寡頭服務商競爭的二層均衡EPEC模型.證明了寡頭服務商競爭的Nash均衡的性質以及存在性.給出簡單算例.研究結果對服務網絡環境下的寡頭服務商競爭有借鑒意義.

擁塞服務;變分不等式;Wardrop均衡;Nash均衡

考慮擁塞服務網絡上寡頭服務商的價格競爭均衡問題.很多現代服務業具有擁塞效應,如交通網絡、物流運輸網絡、電力網絡、計算機網絡等等,在這些服務網絡上由于擁塞效應的存在,使用者的選擇

具有負的網絡外部性,即使用者選擇某條服務路徑或服務產品將給其他使用者帶來成本增加.在服務網絡上的寡頭服務提供商具有服務路徑的控制權,對使用者收取服務費用,服務商之間互相以價格進行競爭,以求實現各自的利潤最大化.服務商的價格決策影響使用者的選擇,因此他們做決策時預先將使用者反應考慮在內.典型的例子如交通網絡中的收費道路[1]、無線接人網絡服務商[2]、電力網絡中的電力提供商[3]及物流網絡中的物流運輸公司[4]等等.地面交通是典型的擁塞性網絡,私家車出行會根據出行成本最小選擇相應的道路,收費道路在制定過路費的時候將考慮行人的選擇,以及和它平行競爭的其它收費道路的決策.又如無線網絡發展迅速,網絡商的競爭也日益激烈,接人網絡中某接人點的使用人數增加將降低接人速度,從而影響顧客選擇.所以無線網絡服務商的價格制定也將考慮顧客選擇和競爭對手的價格決策.本文將研究在這種具有擁塞特性的服務網絡中對服務路徑擁有控制權的寡頭服務商之間的價格競爭和均衡問題.

國外近年來有不少文獻研究擁塞服務業競爭. Acemoglu等[5]研究平行邊上以價格進行競爭的寡頭企業的均衡問題,顧客根據效用最大化進行路徑選擇,當效用為零時顧客選擇退出.而后他們[6]將其推廣到平行路徑上包含有序貫邊的網絡結構.Xiao等[1]針對私營收費道路這一典型的擁塞服務業,研究以過路費和道路容量投資進行競爭的寡頭企業的Nash均衡.他們以行人的Wardrop均衡為下層約束,以私人寡頭企業競爭為上層問題,研究得到隨著競爭者數量增多、寡頭競爭趨向完美競爭時,過路費和道路容量都趨向于社會最優的結論.Xiao并沒有給出寡頭競爭Nash均衡的存在性證明,這一問題在Johari等[7]中得到了解決.Johari等研究不同的投資回報率情況下服務商的服務能力投資決策和市場均衡結構,給出Nash均衡的存在性和唯一性證明,并擴展研究了服務商的市場進人決策.Cominetti等[4]以物流運輸網絡為背景,研究以價格和服務水平(即運送時間)競爭的寡頭物流公司之間的Nash均衡.這些現有文獻對于擁擠服務競爭都采用二層均衡的結構,即在考慮消費者均衡的前提下考慮服務商的競爭和均衡.國內據作者所知還未看到相關文獻.

本文旨在分析由平行邊組成的擁塞服務網絡上服務商競爭均衡模型.考慮擁塞服務業中由多家寡頭服務商為消費者提供具有擁塞特性的服務,面對的是固定需求的服務需求市場.整個過程是領導者-跟隨者兩階段博弈,領導者服務商之間互相以服務價格相互競爭,從利潤最大化出發做戰略性的定價決策.服務價格決定后,需求市場上的消費者根據自己成本最小化選擇服務產品,由于擁塞性的存在,消費者的決策相互影響,存在市場均衡.因此問題可以在數學上描述為二層均衡EPEC模型(equilibrium problems with equilibrium constraints),上層是服務商競爭的Nash均衡,下層是消費者的Wardrop均衡,如圖1所示.下層均衡用變分不等式來進行描述.關于EPEC模型的均衡求解和計算,目前學術界還處在起步階段,Su[8]和Andrew[9]提出了NCP算法、演化多目標優化算法等求解方法.本文只給出服務商競爭均衡的存在性證明,具體均衡的計算方法可參見這些文獻.

圖1 擁塞服務網絡中的寡頭服務商競爭示意圖Fig.1 Oligopolistic competition in service network with congestion

1 擁塞服務網絡均衡模型

首先描述擁塞服務網絡模型,在此基礎上建立服務商競爭的模型.假設服務市場由n個服務提供商構成,提供可替代的服務給顧客.顧客在不同的服務之間進行選擇以最小化其成本,由于擁塞性的存在,個人選擇彼此影響選擇結果聚集后構成市場均衡.

數學符號和決策變量：d為總市場需求;Xi為選擇服務i的顧客人數;pi為服務商i的服務價格;Fi(Xi)為服務i的延遲時間成本函數,是Xi的函數.

假設顧客是完全理性的,每一位顧客依循自己成本最小化原則選擇服務,而所有的選擇某服務的顧客人數就是該服務的市場份額.將消費者對服務的選擇問題轉化為出行者的道路選擇問題,見圖2 (見下頁).其中第i條道路的出行成本等于消費者選擇第i種產品的負效用.消費者選擇道路i,等同選擇服務i.假設有一群出行者要從O地到D地去,在選擇道路的時候,消費者會首先選擇成本最低的道路,隨著選擇人數逐漸增多,超過該道路正常服務能力而變得擁擠,提高了消費者感知到的服務成本.消費者將轉而選擇效用較高的道路,直至該道路又開始變得擁擠.消費者的成本最小化選擇受道路流量影響,消費者的選擇又影響了流量.如此經過一段時間,交通網絡達到一種均衡狀態,每條有行人走的道路上出行成本都相同,而無人走的道路出行成本必定高于有人走的道路,單個出行者不能通過單方面改變自己的選擇而降低出行成本,即達到了Wardrop均衡.均衡時,道路上的交通流量等同服務的市場份額.

圖2 由平行邊組成的擁塞服務網絡Fig.2 Service network composed of parallel links with congestion

首先給出關于服務的延遲時間函數的假設,再給出Wardrop均衡定義.

條件1延遲時間函數Fi(xi)是連續可微、嚴格遞增的凸函數.

定義1(Wardrop均衡)對于給定的價格p,如果xOE滿足下述的變分不等式(1),就稱xOE是Wardrop均衡解.記給定價格p下的Wardrop均衡解為W(p).

該變分不等式的經濟含義是：當服務需求市場中顧客的選擇達到均衡時,在其他顧客不改變選擇的請求下,單個顧客不能通過單獨改變選擇而使其成本降低.此時顧客的選擇是使其成本達到最大的選擇.

對于下層服務需求市場上顧客選擇的均衡存在性和唯一性,許多文獻已經做過深人討論,這里簡述如下,不做證明.

定理1 (WE均衡存在性和唯一性)當延遲時間成本函數Fi(xi)滿足條件1時,存在唯一的Wardrop均衡.

下層問題達到Wardrop均衡時,弧上的流量應該滿足條件

式中,λ為最低的服務成本.該式在后面的分析中較為方便,因此將用此均衡條件表示Wardrop均衡.

2 服務商競爭均衡

假設服務商對市場需求、消費者反應完全了解,具有完全信息,在消費者選擇之前決定他的服務能力,然后消費者再進行對服務的選擇,這樣構成一個有前后次序的博弈過程,本質上是兩階段Stackelberg博弈.服務商在決策過程中擁有較高的決策權,是主導者,消費者處于從屬地位,是博弈的從屬者.討論服務商價格競爭的Nash均衡的性質和存在性.首先給出關于寡頭Nash均衡的定義.

命題1純策略寡頭均衡時,記A為均衡流量大于零的弧的下標集合,則均衡價格和均衡流量之間滿足關系

證明不失一般性,假設1屬于A.則可以寫出其他服務商價格給定下服務商1的優化問題

容易驗證,此約束條件滿足約束規格,因此KKT條件是最優解的必要條件[10].若記μj和λ為相應約束條件的拉格朗日乘子,那么目標函數可以寫成定理2寡頭服務商的價格競爭存在純策略寡頭均衡(pOE,xOE).

證明 利用角谷靜夫不動點定理來證明.令BS()為給定其他所有服務商的價格情況下服務商s的最優價格反應映射.也就是說,對于某個服務商s來說,BS()是優化問題的解

3 算 例

考慮一個簡單的類似Pigou網絡的算例.假設市場上有2家寡頭服務商,總需求是1.如圖3,路徑的成本函數分別為1和k X,總流量為1.不考慮服務商收費的時候,可以通過Wardrop均衡得到路徑上的流量分配為((k-1)/k,1/k),社會總成本為1.此時所有的消費者都選擇下面的邊,兩條邊上的邊際成本相等,達到均衡狀態,任何消費者都不愿再改變自己的選擇.

圖3 算例圖示Fig.3 A simple example

系統最優(社會總成本最低)時,假設有個中央控制者以最小化社會成本為出發點做路徑選擇決策,可以得到最優流量為((2k-1)/2k,1/2k),社會總成本為(4k-1)/4k.現在考慮網絡上的邊由不同寡頭服務商控制并分別向消費者收取費用,以最大化各自利潤為出發點做價格決策.通過簡單的計算可以得到,服務商1的最優價格反應函數p1應為(p2+k-1)/2,服務商2的最優價格反應函數p2應為(p1+1)/2,則兩個服務商的Nash均衡價格應為((2k-1)/3,(k+1)/3),相應流量分配為((2k-1)/3k,(k+1)/3k).此時若不考慮服務商和消費者之間的支付轉移,則社會總成本為(k2+8k-2)/9k.將系統最優和寡頭競爭情況做對比,可以看到由于寡頭服務商追求自身利益最大化,不考慮自身設定價格的決策對其他服務商和消費者的影響,所以通過收費將流量從道路1推向道路2,提高了社會總成本,造成了效率損失.

4 結 論

研究擁塞服務網絡中的寡頭服務商之間的競爭均衡問題.將問題構建成數學上的二層均衡問題(EPEC問題).下層顧客根據自己成本最小原則進行服務選擇,由于擁塞特性的存在,顧客選擇彼此影響形成均衡.上層寡頭服務商基于價格進行競爭,利用角谷靜夫不動點定理證明了Nash均衡存在性,并給出均衡時的均衡價格的性質.最后給出簡單算例,并進行了討論.在本文建立了服務商競爭均衡的基礎上,可以進行更一步的深人分析,如寡頭競爭相對社會福利的效率損失、寡頭服務商的競爭策略設計等.

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Oligopoly competition in service networ ks with congestion

HUYi-hong1, GANHong-cheng2, ZHANGJian-tong1
(1.School of Economics and Management,Tongji University,Shanghai 200092,China; 2.Center for Supernetworks Research,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

The price equilibrium between oligopoly service providers in service networks with congestions was studied.The bi-level MPEC model of service competition in service networks was described.The lower level is Wardrop equilibrium between customers,while the upper level is the Nash equilibrium between service providers.The existence of the price oligopoly equilibrium was proved and its properties were analysed.The practice in the express service industry in China was discussed.A numerical example was given to show that service providers should take the customer preference into consideration when making decisions.

service with congestion;variational inequality;Wardrop equilibrium;Nash equilibrium

N 94

A

1007-6735(2011)03-0292-05

2011-05-11

國家自然科學基金資助項目(70832005,71090404/71090400);高校博士點新教師基金資助項目(20100072120045)

胡一竑(1978ˉ),女,講師,研究方向：物流供應鏈和服務科學.E-mail：yhhu@tongji.edu.cn.張建同(聯系人),女,教授.研究方向：服務科學、統計學.E-mail：jtzhang@163.com