端部球面艙壁應(yīng)力近似解

朱邦俊，王 丹，萬(wàn)正權(quán)

（中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無(wú)錫 214082）

端部球面艙壁應(yīng)力近似解

朱邦俊，王 丹，萬(wàn)正權(quán)

（中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無(wú)錫 214082）

端部球面艙壁是一種組合回轉(zhuǎn)殼結(jié)構(gòu)，文章采用與回轉(zhuǎn)殼相對(duì)應(yīng)的彈性基礎(chǔ)梁理論進(jìn)行近似求解,考慮了厚薄板中曲面不一致引起的附加力矩和鄰近肋骨的影響。該方法可應(yīng)用于潛艇實(shí)際結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)計(jì)算。

端部球面艙壁；彈性基礎(chǔ)梁；應(yīng)力；位移

1 引 言

端部球面艙壁利用了球殼受力的優(yōu)點(diǎn)，可以獲得重量較輕而承載能力較大的效益，球面艙壁應(yīng)是首選的結(jié)構(gòu)形式。

球面艙壁一般由半徑為R的球面殼、經(jīng)線半徑為r0的過(guò)渡短環(huán)殼及錐端半徑為rB的圓錐殼三個(gè)部分組成，稱之為三心球面艙壁或環(huán)球形艙壁，見(jiàn)圖1。錐殼部分不一定是正圓錐，但在理論計(jì)算時(shí)都近似假定為正圓錐。于是，端部球面艙壁被視為軸對(duì)稱回轉(zhuǎn)殼。過(guò)渡環(huán)殼兩側(cè)結(jié)構(gòu)主曲率發(fā)生突變而引起較大的經(jīng)向（經(jīng)線方向）彎曲，因此，過(guò)渡環(huán)殼的經(jīng)向彎曲是艙壁強(qiáng)度計(jì)算的關(guān)鍵。環(huán)殼兩端為光順連接時(shí)，其最大經(jīng)向彎曲一般在環(huán)殼中點(diǎn)；若環(huán)殼兩側(cè)不光順連接，也可能出現(xiàn)在環(huán)殼兩側(cè)，在工程中應(yīng)盡量采用光順連接。在本文的計(jì)算方法中考慮了艙壁鄰近肋骨以及環(huán)殼一側(cè)厚、薄板連接處由于中曲面不一致引起的附加力矩的影響，使理論方法更加全面和完整。

2 基本假定與力學(xué)模型

2.1 基本假定

（1）端部球面艙壁為軸對(duì)稱回轉(zhuǎn)殼，忽略經(jīng)向力引起的復(fù)雜彎曲；

式中：Fc為鄰近肋骨剖面積，mm2；rc為 c節(jié)點(diǎn)處的錐端半徑（見(jiàn)圖 2），mm；Δc為 c節(jié)點(diǎn)處的垂向位移，mm。

（3）環(huán)殼與錐殼連接處厚、薄板中曲面不一致引起的附加力矩為mB；

式中：p為靜水壓力，MPa，rB為B節(jié)點(diǎn)處的錐端半徑 （見(jiàn)圖2），mm；φ3B為B節(jié)點(diǎn)處錐端第二主曲率半徑ρθ3B與回轉(zhuǎn)軸夾角，見(jiàn)圖2；Δ為相鄰厚、薄板中曲面之間的距離，mm；ε為考慮經(jīng)向力偏心引起的力矩符號(hào)參數(shù)，當(dāng)外表面重合時(shí)ε=-1，當(dāng)中面重合時(shí)ε=0，當(dāng)內(nèi)表面重合時(shí)ε=1。

（4）以厚板削斜過(guò)渡的中心點(diǎn)作為厚、薄板連接的分界點(diǎn)。

2.2 力學(xué)模型

端部球面艙壁設(shè)定為由球面殼、過(guò)渡環(huán)殼和圓錐殼組合而成的軸對(duì)稱回轉(zhuǎn)殼體。在組合殼A、B、C三個(gè)節(jié)點(diǎn)處切開(kāi)，將結(jié)構(gòu)分解成四個(gè)部分，見(jiàn)圖2。

圖1 端部球面艙壁結(jié)構(gòu)Fig.1 The end spherical bulkhead

圖2 端部球面艙壁結(jié)構(gòu)分解及受力狀態(tài)Fig.2 The analytical model of end spherical bulkhead

每部分結(jié)構(gòu)除受均布水壓力p作用外，結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)邊界處承受邊界力Q和彎矩M。考慮到公式推導(dǎo)和使用的普遍性，A、B節(jié)點(diǎn)兩側(cè)結(jié)構(gòu)不作光順連接的假定，即兩側(cè)結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)處的緯向曲率半徑ρθ及其與回轉(zhuǎn)軸的夾角φ不相等。C節(jié)點(diǎn)兩側(cè)錐殼一般為同一錐殼，考慮到可能出現(xiàn)兩個(gè)不同的錐殼，也設(shè)定兩錐在C節(jié)點(diǎn)處的ρθ及φ不相等。

對(duì)于球面殼和C節(jié)點(diǎn)右側(cè)的長(zhǎng)錐殼，它們?cè)谑芫妓畨毫ψ饔玫耐瑫r(shí)，僅有一個(gè)邊界承受邊界載荷，應(yīng)用彈性力學(xué)中的回轉(zhuǎn)殼理論[2]，是容易求解的。對(duì)于A、B節(jié)點(diǎn)之間的過(guò)渡環(huán)殼，其第二主曲率半徑ρθ是變化的，因而殼體微分方程是變系數(shù)的，需應(yīng)用漸近積分方法求解。過(guò)渡環(huán)殼一般都很短，從工程應(yīng)用出發(fā)，根據(jù)環(huán)殼的力學(xué)特征，將環(huán)殼近似模擬成同時(shí)承受邊界載荷和均布載荷q2作用的剛度系數(shù)為 Et2的彈性基礎(chǔ)梁。載荷q2根據(jù)無(wú)矩狀態(tài)環(huán)殼的實(shí)際位移來(lái)確定。同樣，B、C節(jié)點(diǎn)之間的短錐殼模擬成同時(shí)承受邊界載荷和均布載荷q3作用的剛度系數(shù)為Et3/的彈性基礎(chǔ)梁，載荷q3根據(jù)無(wú)矩狀態(tài)錐殼的實(shí)際位移來(lái)確定。

設(shè)定三個(gè)節(jié)點(diǎn) A、B、C 的垂向位移和轉(zhuǎn)角分別為 ΔA、?A，ΔB、?B，ΔC和 ?C，共六個(gè)未知量；被分解的四部分結(jié)構(gòu)，應(yīng)用回轉(zhuǎn)殼和彈性基礎(chǔ)梁理論，可解得邊界上的力Q和力矩M與相應(yīng)位移Δ和轉(zhuǎn)角?的關(guān)系式；根據(jù)節(jié)點(diǎn)A、B、C處的力和力矩的平衡條件，可建立六個(gè)方程式；六個(gè)方程可求解六個(gè)未知量。

3 邊界力與位移關(guān)系式

3.1 球面殼

根據(jù)回轉(zhuǎn)殼理論，并對(duì)有關(guān)參數(shù)作適當(dāng)換算[1]，可解得

3.2 C節(jié)點(diǎn)右側(cè)長(zhǎng)錐殼

與球面殼一樣，根據(jù)回轉(zhuǎn)殼理論，并對(duì)有關(guān)參數(shù)作適當(dāng)換算[1]，可解得

3.3 A、B節(jié)點(diǎn)間的過(guò)渡環(huán)殼

根據(jù)有限長(zhǎng)彈性基礎(chǔ)梁理論可解得[1,3]

a.環(huán)殼左端

b.環(huán)殼右端

3.4 B、C節(jié)點(diǎn)間的短錐殼

與環(huán)殼類似，運(yùn)用有限長(zhǎng)彈性基礎(chǔ)梁理論可解得

a.錐殼左端

其余系數(shù)參照（8）式，只需替換式中相應(yīng)參變數(shù)。

b.錐殼右端

其余系數(shù)參照（10）式，只需替換式中相應(yīng)的參變數(shù)。

4 問(wèn)題求解

4.1 節(jié)點(diǎn)C的平衡條件

將（5）式、（12）式和（1）式相應(yīng)項(xiàng)表達(dá)式代入（13）式并注意

以及q3=q4，可以解得

4.2 節(jié)點(diǎn)B的平衡條件

將（9）式、（11）式及（2）式和（15）式相應(yīng)項(xiàng)表達(dá)式代入（18）式并注意

可以解得

4.3 節(jié)點(diǎn)A的平衡條件

將（3）式、（7）式相應(yīng)項(xiàng)代入（24）式并注意（20）式可解得

由（25）式求出 ΔA、?A以后，根據(jù)前面的相關(guān)公式，很容易求得 ΔB、?B，ΔC、?C；以及各部分結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)處的邊界力和力矩，即 QA1、QA2、MA1、MA2、QB2、QB3、MB2、MB3、QC3、QC4、MC3、MC4、QC3、QC4、MC3和 MC4。

4.4 環(huán)殼中點(diǎn)的位移和力矩

環(huán)殼中點(diǎn)的經(jīng)向總應(yīng)力一般被視為最大（接近最大）應(yīng)力，為了計(jì)算環(huán)殼中點(diǎn)的應(yīng)力，必須計(jì)算環(huán)殼中點(diǎn)的位移和經(jīng)向彎矩。

在環(huán)殼的求解中是將環(huán)殼簡(jiǎn)化為兩端邊緣承受邊界力和力矩并承受均布載荷q2作用的彈性基礎(chǔ)梁，具體求解詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1，3]。

（1）環(huán)殼中點(diǎn)位移

（2）環(huán)殼中點(diǎn)的經(jīng)向彎矩

5 端部球面艙壁應(yīng)力計(jì)算

在工程設(shè)計(jì)中，人們所關(guān)心的主要是球面殼的膜應(yīng)力；環(huán)殼中點(diǎn)的經(jīng)向總應(yīng)力；環(huán)殼與錐殼連接處（B節(jié)點(diǎn)）錐殼一側(cè)船體殼板的經(jīng)向總應(yīng)力；環(huán)殼與球面殼連接處（A節(jié)點(diǎn)）球面殼一側(cè)的經(jīng)向總應(yīng)力等。

5.1 球面殼膜應(yīng)力

在外水壓力作用下，球面殼的膜應(yīng)力為

5.2 環(huán)殼中點(diǎn)的應(yīng)力

（1）環(huán)殼中點(diǎn)的經(jīng)向總應(yīng)力

在環(huán)殼求解中，忽略了經(jīng)向膜力對(duì)彎曲的影響，但在計(jì)算經(jīng)向總應(yīng)力時(shí)，應(yīng)疊加由經(jīng)向膜力產(chǎn)生的經(jīng)向膜應(yīng)力，即

式中 M20由（28）式計(jì)算。

（2）環(huán)殼中點(diǎn)的緯向總應(yīng)力

環(huán)殼中點(diǎn)的緯向總應(yīng)力為

式中 w20由（26）式計(jì)算，σs0由（31）式計(jì)算所得。

5.3 環(huán)殼與錐殼連接處錐殼一側(cè)船體殼板應(yīng)力

（1）B節(jié)點(diǎn)錐殼一側(cè)船體殼板經(jīng)向總應(yīng)力為

其中：QB3、MB3由（11）式確定；t3*為建議取厚板削斜中心點(diǎn)厚度，無(wú)削斜時(shí)取 t3。

（2）B節(jié)點(diǎn)錐殼一側(cè)船體殼板緯向總應(yīng)力為

式中 ΔB由（19）式計(jì)算，σsB3由（33）式計(jì)算所得。

6 典型算例

本算例結(jié)構(gòu)尺寸取自文獻(xiàn)[1]并與文獻(xiàn)列出的兩種方法的計(jì)算結(jié)果列于表1。

表1 典型算例計(jì)算結(jié)果比較Tab.1 The comparison of calculation results for typical structure

分析表中數(shù)據(jù)可知，本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中列出的結(jié)果相當(dāng)一致，尤其與較為精確的漸近積分?jǐn)?shù)值解更吻合，可用于工程設(shè)計(jì)。

7 結(jié) 語(yǔ)

（1）本文計(jì)算方法考慮了艙壁鄰近肋骨以及環(huán)殼一側(cè)厚、薄板連接處由于中曲面不一致引起的附加力矩的影響，使其力學(xué)模型更接近實(shí)際結(jié)構(gòu)，完善了理論分析；

（2）文中對(duì)于過(guò)渡環(huán)殼選配適當(dāng)?shù)膭偠认禂?shù)、載荷和獨(dú)立變量，將變系數(shù)的原始方程化解為彈性基礎(chǔ)梁彎曲的常系數(shù)型微分方程，對(duì)于相對(duì)短的（沿經(jīng)線）環(huán)殼而言，這樣的轉(zhuǎn)化和漸近積分的相對(duì)誤差不大；

（3）環(huán)殼兩端為光順連接時(shí)，其最大經(jīng)向彎曲一般在環(huán)殼中點(diǎn)，由表中計(jì)算結(jié)果可知，環(huán)殼構(gòu)件最大應(yīng)力可以近似地用中點(diǎn)應(yīng)力來(lái)描述，較漸近積分而言更為方便、簡(jiǎn)捷；

綜上所述，本文采用彈性基礎(chǔ)梁理論對(duì)端部球面艙壁結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論分析的思路對(duì)于解決潛艇復(fù)雜結(jié)構(gòu)的工程實(shí)際問(wèn)題是適用的。

[1]朱邦俊,王永軍.潛艇端部球面艙壁應(yīng)力計(jì)算的一種近似方法[R].無(wú)錫:CSSRC科技報(bào)告(03577),2003.

[2]諾沃日洛夫 B B.薄殼理論[M].北京:科學(xué)出版社,1959.

[3]朱邦俊,等.潛艇橫向剛性構(gòu)架區(qū)域應(yīng)力計(jì)算解析方法[J].船舶力學(xué),2005,9(5):109-114.

An analytical solution for stresses of the end spherical bulkhead

ZHU Bang-jun,WANG Dan,WAN Zheng-quan

(China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

Based on the theory of elastic foundation beam,an analytical method for stresses of the end spherical bulkhead is developed.The effects of additional bending moment are accounted for in the present method due to the adjacent ring-stiffener of pressure hull and the mismatch of mid-section between the thick and thin plates.The numerical results show that this method can be used in the design and calculation of submersible pressure hull.

end spherical bulkhead;elastic foundation beam;stress;displacement

U661.43

A

1007-7294（2011）11-1255-09

2011-08-28

朱邦俊（1938-），男，中國(guó)船舶科學(xué)研究中心研究員。