沖擊載荷下豬后腿肌肉的橫向同性本構模型＊

王寶珍，胡時勝

（中國科學技術大學中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室，安徽 合肥 230026）

在汽車安全、軍事工程和醫(yī)療診斷中，都需要對人體受沖擊狀態(tài)進行分析，研究人體組織的沖擊力學性能，并發(fā)展能描述其動態(tài)性能的本構關系，以得到相關的參數，對于安全設計等方面有著重要的意義。肌肉是人體組織中一個重要的組成部分，按性質的不同通常分為3類：骨骼肌、平滑肌和心肌。骨骼肌在人體中占有很大的比重，軀體的各種運動和呼吸均離不開骨骼肌。骨骼肌由許多平行排列的肌纖維及纖維間的結締組織組成，其力學性能由肌纖維和結締組織共同決定。與其他工程材料有很大不同的是，它可以產生2種不同形式的力，即主動力和被動力。

研究骨骼肌在外部沖擊載荷作用下的被動承載能力，對人體安全設計有重要意義。但由于肌肉組織具有一定的活性，試樣獲取困難，且極其柔軟，給實驗特別是動態(tài)實驗帶來了很大的困難，因而相關研究很少。B.Song等［1］、C.Van Sligtenhorst等［2］曾利用SHPB裝置獲得了肌肉的動態(tài)壓縮應力應變曲線，但其動態(tài)拉伸性能還無相關報道。為彌補這一空白，王寶珍等［3－4］利用改進的SHPB裝置和套筒式SHTB裝置對豬后腿肌肉的動態(tài)壓縮和拉伸性能進行了研究，獲得了不同應變率下的應力應變曲線。然而，描述肌肉材料動態(tài)力學性能的本構模型還需要進一步討論。

關于骨骼肌的本構模型，以往的研究往往集中于描述肌纖維的主動收縮性能，如著名的Hill模型。而為了描述骨骼肌的被動力學性能，通常結合其特殊的纖維組織結構，將骨骼肌看作橫向同性體。M.Van Loocke等［5］曾借用橫向同性彈性理論，并引入應變相關楊氏模量，從而描述骨骼肌靜態(tài)壓縮下的非線性橫向同性性能。J.D.Humphrey等［6］則從另一種思路出發(fā)，將肌肉看作纖維增強復合材料，在參考構形中，引入一個纖維方向的單位矢量，由該方向矢量與右Cauchy－Green變形張量可表述出5個應變不變量，他們將應變能密度函數用這5個應變不變量來表示，從而發(fā)展了描述心肌被動力學性能的橫向同性超彈性本構模型，后被許多學者用于研究骨骼肌［7－8］的橫向同性超彈性。然而，由于一直以來缺乏肌肉動態(tài)性能研究的實驗結果，因而未能得到一個描述肌肉動態(tài)性能的率相關本構模型。

本文中，將結合已有的豬后腿肌肉動態(tài)壓縮和拉伸實驗結果，發(fā)展一個既能描述肌肉動態(tài)壓縮性能又能描述其動態(tài)拉伸性能的率相關本構模型。

1 纖維增強材料應變能函數表示方法

肌肉、韌帶等生物軟組織通常可看作是柔性基質中分布了一簇簇連續(xù)纖維的復合結構。對于纖維增強復合材料，A.T.M.Spencer［9］提出了由5個應變不變量表示橫向同性超彈性應變能函數的方法，該方法被一些研究者應用于生物軟組織材料的本構模型研究中，并發(fā)現行之有效［10］。

式中：N0＝n0?n0為對稱的二階張量，單位方向矢量n0（X）表示各向異性材料的對稱軸方向。其中I1、I2和I3表示材料的各向同性，在不可壓假定下，I3＝1。不變量I4和I5用來表示材料的各向異性。則不可壓纖維增強材料的應變能函數可表示為

通常可將式（2）進行解耦，以便與材料的結構特征相聯系，如

式中：W1代表各向同性基體組織的力學性能，W2用來代表具有纖維集合的增強作用，W3表示纖維和基體之間的相互作用。

2 粘彈性性能

粘彈性材料最大的特點就是力學性能受之前變形的影響，應力依賴應變和應變率歷史，對于不可壓各向同性材料的粘彈性本構模型通常用下式來表示

式中：σv、pv分別為表征粘彈性性能的Cauchy應力和靜水壓力；Ω是張量泛函，反映應變歷史對應力的影響，前人已經提出了多種形式的泛函的近似表達式，如BKZ模型、ZWT模型，這些模型通常采用積分形式來表示。

對于軟組織材料，Z.A.Taylor等［11］曾采用類似的積分形式來表示橫向同性粘彈性性能，即

3 肌肉的本構模型

按照前文的本構理論，將描述準靜態(tài)下的本構模型與描述粘彈性性能的本構模型進行簡單的相加，以表示肌肉的動態(tài)本構模型，那么總的Cauchy應力可分為2部分，一部分表征材料的準靜態(tài)超彈性，一部分表征材料的粘彈性，即

3.1 肌肉準靜態(tài)本構模型

取n0＝ （1 ，0 ，0） ，對于纖維向加載，假定纖維向伸長比為λ，則3個主伸長比為λ1＝λ，λ2＝λ3＝λ－1／2。 變形梯度F和右Cauchy－Green變形張量C可表示為

5個基本不變量可分別表示為

選用Yeoh模型［12］來描述基體的各向同性性能，即

假定肌纖維不能承受壓縮載荷而僅能承受拉伸載荷，選用這樣一個描述纖維伸長的應變能函數

式中：符號 〈x〉表示當x≤0時，〈x〉＝0，當x＞0時，〈x〉＝x。

對于纖維與基體的相互作用部分，參考J.C.Criscione等［13］提出的2個表示纖維向剪切和橫向剪切性能的新變形不變量，并將其改寫為

纖維與基體相互作用的那部分應變能函數表示為

將式（9）代入式（12），有

因此

則表征準靜態(tài)超彈性性能的Cauchy應力分量可以表示為

圖1 準靜態(tài)肌肉纖維方向壓縮和拉伸的應力應變曲線Fig.1Compressive and tensile stress－strain curves of muscle under quasi－static loading along the fiber direction

采用式（18）對纖維向單軸壓縮和單軸拉伸曲線進行擬合，如圖1所示。可得到參數C10＝821Pa，C20＝1.81kPa，C30＝－72.4Pa，a＝7.09kPa，b＝13.94。發(fā)現實驗曲線和擬合曲線有很好的一致性。

3.2 動態(tài)本構模型

對纖維向動態(tài)壓縮，仍假定肌纖維不承壓，式（6）表示為

這里取

由實驗得到的應力應變曲線，發(fā)現3 200s－1下的應力應變曲線與另2種應變率（1 100、2 000s－1）下的應力應變曲線間距較大，即在高應變率區(qū)，應變率增加時應變率敏感性增加，為描述這一現象，令

式中：為伸長速率，壓縮為負，拉伸為正；A1、A2和均為材料參數。由式（19）～（21）可得到

同樣，由σ22＝σ33＝0，可以得到

則動態(tài)單軸壓縮時沿纖維方向的工程應力σ（＝σ11／λ）為

圖2 高應變率下肌肉沿纖維方向壓縮的應力應變曲線Fig.2Compressive stress－strain curves at high strain rates along the fiber direction

式中：由式（18）給出，采用上式對高應變率下纖維方向的動態(tài)壓縮工程應力－伸長比曲線進行擬合，如圖2，參數A1＝12.1kPa，A2＝15.4kPa＝1 237s－1，θ＝67.11μs。結果發(fā)現，擬合曲線與實驗結果一致性較好。

為了描述纖維向動態(tài)拉伸的情況，需對式（25）進行修改，即在等號右側增加2項：一項考慮肌纖維在拉伸時對粘彈性性能的貢獻，另一項考慮動態(tài)拉伸應力應變曲線與動態(tài)壓縮曲線形狀的不同。動態(tài)拉伸曲線的初始階段不存在低應力幅值區(qū)，而是有一類似屈服點的轉折點，且動態(tài)實驗結果在小應變時也并不可靠，因此擬合曲線時并非從零點開始，而是僅考慮該點以后的情況。最終得到動態(tài)單軸拉伸沿纖維方向的工程應力－伸長比本構關系為

式中：f（I4）＝A3〈I4－1〉／2，那么

圖3 高應變率下肌肉沿纖維方向拉伸的應力應變曲線Fig.3Tensile stress－strain curves at high strain rates along the fiber direction

采用上式對高應變率下纖維方向的動態(tài)應力應變曲線進行擬合，如圖3所示，參數A3＝300kPa，A4＝3kPa，A5＝3.09，發(fā)現理論模型與實驗結果有很好的一致性。

4 結 論

肌肉軟組織可看作是一種纖維增強復合材料。應用相關本構理論，提出了一個既能描述動態(tài)壓縮力學性能又能描述動態(tài)拉伸力學性能的橫向同性率相關本構模型，該模型由描述準靜態(tài)響應的超彈性模型和描述高應變率響應的粘彈性模型組成，理論曲線與實驗得到的應力應變曲線有很好的一致性。說明提出的模型能夠很好地描述肌肉的力學性能，可為人體安全防護設計提供理論依據。

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