不確定度分析方法在暖通空調實驗中的應用

李書明

(廣州大學,廣州510006)

1 引言

隨著能源形勢日益緊張,人民日益關注建筑和暖通空調節能,而其中的工作如政府決策的數據數據確定、建筑和設備效能測評標識、相關技術研發領域、室內環境測評、用戶冷熱計量、能源測評審計與計量等都離不開實驗分析來選擇測量方法以及分析測量值的可靠性。而不確定度分析作為實驗分析和實驗結果處理的重要手段,也受到重視。

國際上早在1980[1]就已開始研究用不確定度(uncertainty)來表示實驗結果,更自1993年[2,3]大力推廣采用測量不確定度的概念。我國的測量行業標準JJF1059-1999[4,5]即是對GUM1995[3]的等同采用,對科學研究、工程技術及商貿中大量存在的數據的處理和表示均具有適用性。測量不確定度的定義[3～5]是:與測量結果相關聯的一個參數,用以表征合理地賦予被測量之值的分散性。不確定度指導致測量結果偏離的程度,用分散性尺度來評價測量結果質量,綜合了全部誤差因素對實驗結果的影響。

而我國當前雖然也逐步的重視不確定度分析,如建筑節能檢測標準JGJ/T132-2009和JGJ/T177-2009均有涉及,但卻一直用誤差理論而非不確定度分析來指導暖通空調實驗[6]。

而誤差為測量值偏離真值的程度,以標準差來評價測量結果的質量,反應的是測量誤差對實驗結果的影響。若用誤差理論來表示被測量的值,即使對完全已知或猜測的誤差因素進行補償、修正后,所得結果依然只能是被測量的一個估計值。另外,誤差理論通常只考慮實驗數據處理階段的誤差或不確定度,而對實驗規劃及設計階段的誤差及不確定度分析沒有考慮或不夠重視。然而正是實驗規劃及設計階段的不確定分析才能從根本上控制實驗的方案精確度和減少系統不確定度,因此需要推廣不確定度分析。

不確定度分析是優化實驗的強大工具,可應用于實驗分析的所有階段 (見表1),尤其是實驗的規劃和設計階段。根據待測對象確定實驗方案和測量方法,選擇適當的測量儀器,搭建試驗臺,實施實驗,經過 “實驗—修改—再實驗”,正確得出并報告實驗結果。

表1 實驗不確定度分析

2 不確定度分析方法

根據要求不同,不確定度按有標準不確定度、合成不確定度、擴展不確定度三種表述方式。根據估計方法不同,其分為按統計分布估計的A類不確定度和按非統計分布估計的B類不確定度兩類。

2.1 A類標準不確定度

1)在相同測量條件下,對同一被測量進行連續多次測量的復制性條件下,采用貝塞爾公式計算得到:樣本均值即測量結果,樣本標準差即測量結果的標準不確定度。

2)如果被測量隨時間隨機變化,即為隨機過程,則應采用較差法 (阿倫方差法)求標準不確定度。

例如測定f實驗,且f=y(τ)。對被測量進行m+1次測量,每次測量取樣時間為τ,共有m個較差 [yi+1(τ)-yi(τ)];阿侖方差:則f的A 類標準不確定度:

3)當被測量X的估計值是由實驗數據用最小二乘法擬合的一條曲線上得到,則標準不確定度可由擬合函數和不確定度傳遞率確定。

如對Y=mX+c來說:

式中,s(m),s(c),s(X)分別為m,c,X的估計標準差;r(m,c)為m和c的相關系數。

2.2 B類標準不確定度

標準不確定度u(f)可用X的有關信息或資料來評定。信息來源可以是:以前測量的數據;經驗和對有關儀器性能或材料的資料;廠家技術說明書;鑒定證書、校準證書、測試報告或其他提供數據的文件等。

評定方法為:一般根據經驗或有關信息和資料,分析判斷被測量的可能值的區間(-α,α),并假設測量誤差的概率分布,則不確定度為:u(x)=α/k,式中 α為區間的半寬度,k為包含因子,由要求的置信水平估計。

2.3 合成不確定度

當測量結果為其他被測量求得時,按各被測量的方差和協方差來計算合成不確定度uc(y)。在實際工作中,當被測量接近高斯正態分布時,可采用測量結果y及其合成不確定度uc(y)表示,即Y=y±uc(y)

此式是基于y=f(x1,x2,…,xn)的泰勒級數的一階近似,稱為 “不確定度傳播率”。偏導數Ci=?f/?xi是在Xi=xi時評定的,稱為靈敏系數。式中:x,x是X,X的估計值,且u(x,x)=u(x,xi)是xi,xj的協方差的估計值。u(xi)可以由A類或B類得到;

協方差與相關系數r(xi,xj)的關系是:r的絕對值大于0.7時,一般稱為強相關,否則為弱相關。當在估計輸入量之值xi時,如果使用了同一個測量標準、測量儀器、參考數據或甚至具有相當大不確定度的測量方法即會產生明顯相關,就必須考慮其相關性。

2.4 擴展不確定度

擴展不確定度用U表示,指確定結果區間的量,被測量可望大部含于此區間。U由合成不確定度uc(y)乘包含因子k得到。

由于用合成不確定度表示測量結果僅有P=68%的置信概率,所以一般采用擴展不確定度來表示測量結果,即Y=y±U。

求擴展不確定度方法:

1)取擴展不確定度U=kuc,一般取置信概率為95%的包含因子k95=2,有時取置信概率為99%的k99=2.6(大樣本近似計算值,JJF1059取3);在多數的檢定/校準結果中,其合成標準不確定度均可用第一種簡單的方法進行計算。

2)如果uc(y)的自由度較小,并要求區間具有規定的置信水平時,取U=kPuc。式中k與P由各影響分量自由度Vi及合成標準不確定度的有效自由度Veff來確定。A類評定時,通常對每個Xi測量ni次,自由度為vi=ni-1;如果有n個數據點用最小二乘法擬合成曲線來估計m個參數,則每個參數的標準不確定度自由度為n-m。B類評定時,由相對標準不確定度 (由經驗定)帶入式確定。而當Veff足夠大時,兩法相同。

3 實驗用不確定度分析

3.1 總體不確定度分析

通過不確定度分析,實驗人員可以從規劃及設計階段綜合考慮系統精度、經濟性或簡便性等實驗的各個方面,即在達到實驗結果要求的精度下減少資源消耗;通常有不同的實驗方法或多種實驗方案,對于每一種方法,有不同的不確定度傳遞特性,需確定哪一種方法的測量結果最接近真值,并分析所用方法中哪個量的測量是最重要的。如對同一物理量的測量,應根據研究對象,列出各種可能的實驗方法,分析各種方法的適用條件,比較各種方法的局限性與可能達到的實驗精確度 (或不確定度)等因素,并考慮方案實施的可能性,最后選出最佳的實驗方法。

若不確定度傳遞方程如:

則實驗結果的不確定度表述為:

式中UMFi為不確定度放大系數 (正態敏感系數),表征變量對結果不確定度的影響;UPCi為不確定度貢獻百分比,包含有UMFi和變量i的不確定度量級的效果,因此在實驗設備和方法選擇完成后,便可估計出測量不確定度。

3.2 詳細不確定度分析

在進行詳細不確定度分析時,根據誤差源分別評定每個測量量的系統和隨機不確定度,然后再合成為整體不確定度。若測量方程為式(5),則系統不確定度和隨機不確定可以按下式(TSM方法)計算:

式中bX,sX為X變量的系統不確定度和隨機不確定度,分別指每兩個有相同系統誤差源變量的協方差和每兩個有相同隨機誤差源變量的協方差。而隨機不確定度相關項的協方差一般為0。

在穩態測試中,如果式 (5)中為單變量測量且有足夠多的樣本數,可采用貝塞爾公式計算隨機不確定度:

顯然,直接法考慮了各被測量之間的相關性,有著可能更精確的結果。但直接法需要通過多次測量獲得足夠的數據信息,測量的時間長度也是很重要的,所以在單次測量中一般不應使用直接法。

在實驗的調試階段,可用不確定度分析來發現實驗設備、操作運行、測試方法等方面的問題并加以改進。用1階復制水平進行運行逐步檢查,使用N階擴展不確定度評估對接受的結果和理論值的結果進行比較,如果在結果中隨機不確定度比預期值大得多,則表明某些隨機誤差源被低估了,需繼續調試。

在試驗的實施階段,可用不確定度分析來進行測試點的校正。1)校正測點范圍:因為高階回歸方程需要較多的測點,盡量選用適當的坐標系 (如對數坐標系)和盡量低階的關系式,可減少必要的測點數量。2)設定測試序列:一般情況下,隨機地分布測試點得到的測試結果更接近實際情況,因此我們設定測試點是隨機的而不是連續的。

3.3 實驗結果處理

通過回歸分析獲得數學表達式的方法大量應用于實驗數據處理上。實驗數據回歸方程Y=mX+c中Y、m、c的回歸標準差:

當不考慮X的隨機不確定度時,sY可近似為回歸隨機不確定度,可用來衡量所有隨機因素對Y影響的大小,sY愈小,回歸精度愈高。但sY僅僅表達了擬合曲線的隨機不確定度,并不包含參考標準、數據獲取、試驗臺搭建、概念模型引起的不確定度中的任何一項。

4 應用舉例

4.1 整體不確定度分析例子

為了測定某圓管外壁對流換熱系數,分析兩種實驗方案:

1)穩態方法:

根據能量守恒W=h(πDL)(T-Tα)得到:

式中電功率W、圓管外徑D、長度L和圓柱外壁溫T、來流溫度Tα均通過測量獲得;

2)非穩態方法:

式中圓柱體的質量M、直徑D和長度L,測試時間τ,圓柱比熱c通過測量或查資料獲得。

(1)試驗中,忽略輻射和熱傳導的影響,h和c為常數,忽略圓柱內部熱阻,即溫度均勻分布。若溫度是單獨測量的,應用不確定度傳遞方程(15)有:

表2 兩種方法各式中測量值的不確定度表

(2)用A類或B類方法評定各測量量的不確定度 (表2),并將數值帶入 (15～16)式得到 (17～18)式:

圖1 穩態測試圖 (左);非穩態測試圖 (右上);對比圖 (右下)

(3)結果分析

穩態測試總體不確定度分析:由相對不確定度傳遞公式看出,對結果不確定度影響,△T最大,而D相對于△T的來說可以忽略,W的影響在W值大時較小,即對總體不確定度影響較小,相反影響較大;從測試線圖可以看出,在h較大時,不同溫差條件下的測試均可滿足總體不確定度的要求,這是因為h較大時,W=0.2426亦較大,W相對不確定度較小。同樣原因,在h較小時,W為影響總體不確定度的關鍵因素,只有在低于0.5W的情況下才能得到h總體不確定度5%的結果。

非穩態測試總體不確定度分析:由相對不確定度傳遞公式看出,對結果不確定度影響,c較大,可以通過改善c值來改進實驗;由線圖可以看出,隨著h值的增大,τ逐漸成為總體不確定度的決定性因素。并在大h值的領域,要獲得5%的h總體不確定度,需要τ為7ms,8ms或更少時間。

對比分析:從不確定度傳遞方程線圖可以看出,穩態測試h的總體不確定度隨著h的增大而減小,非穩態測試h的總體不確定度隨著h的增大而增大;在h＜150時,宜采用非穩態測試;在h＞200時,宜采用穩態測試;而在150＜h＜200時,兩者基本相當 [h單位為W/(m2℃)]。

4.2 詳細不確定度分析例子

對某煤樣品的熱值測量數據進行處理。其測量數學方程為:

H=式中H為熱值 (W/g);(T2-T1)為燃后溫升 (℃);C熱量計熱當量(W/℃);e為燃燒放熱量 (W);M為樣本質量。此處是一個樣本對樣本實驗。

4.2.1 0階復制水平分析

表3 0階水平變量不確定度估計表

系統不確定度:

隨機不確定度 (由上公式計算H=18981W/g):

即sH=199 W/g;

合成不確定度:

4.2.2 1階復制水平分析

對同一樣本進行了26次測量,并求出樣本均值=18578W/g和用貝塞爾公式計算出標準差SH=364.6W/g,但可以看出該隨機不確定度較0階水平算出的199W/g大,這是應為1階計算結果考慮了樣本對樣本實驗中測量系統和材料組分的效果。

因樣本變化的隨機不確定度為:

上式結果說明,因為煤組分的變化而引起的隨機不確定度,實際上比測量系統的隨機不確定度還要大。在樣本對樣本試驗中,可以利用0階復制水平隨機不確定度和多次測量1階隨機不確定度后,來確定樣本變化對結果不確定度的影響。

4.2.3 N階復制水平分析

在N階復制水平下,使用0階水平計算的系統不確定度和1階直接測量的隨機不確定度來計算合成不確定度和擴展不確定度 (95%置信概率)。

得到置信概率為95%的測量結果:18758±180W/g;或18800W/g,1%相對不確定度。

5 結論

在暖通空調實驗測量領域,包括建筑能耗檢測、建筑設備測評、暖通實驗室測量等眾多領域的實驗規劃、實驗設計、實驗報告等領域應推廣應用不確定度分析,以在滿足試驗要求的情況下節省資源和加大試驗的可操作性。

不確定度分析理論是誤差理論的進一步發展,主要按不確定度來源分為系統不確定度和隨機不確定度,系統不確定度可以根據經驗、資料、儀器說明書評定,而隨機不確定度可以根據直接測量樣本標準差來獲得。

在實驗規劃階段,可以通過初算不確定度,校核初選實驗方案是否滿足實驗要求的精度,以選定實驗方案;另外可以根據TSM法不確定度傳遞方程進行分析,計算敏感系數等可觀值來找到對實驗結果起關鍵影響的因素,改進實驗,選擇實驗設備,優化實驗方案。在試驗實施階段,可以通過監測實驗不確定度,監測實驗設備的運行情況,以達到優良的運行效果。在試驗報告階段,以方便報告不確定度的形式組織線圖和回歸方程形式,并按標準要求給出測試線圖和回顧方程各部分的不確定度。

[1] BIP M.Recommendation INC-1.CIPM 81-11,1981

[2] The 1993 ISO Guide to the Expression of Uncertainty?in Measurement(GUM)

[3] The 1995 ISO Guide to the Expression of Uncertainty?in Measurement(GUM)

[4] 中國國家計量技術規范——通用計量術語和定義JJF1001-1998[S]

[5] 中國國家計量技術規范——測量不確定度評價與表示JJF1059-1999[S]

[6] 李峰,姬長發.建筑環境與設備工程實驗及測試技術[M].北京:機械工業出版社,2008,9

[7] The 2005 standard ASME PTC19.1 Test Uncertainty

[8] The 2008 JCGM Supplement 1 to the GUM:Evaluation of Measurement Data—Propagation of Distributions Using a Monte Carlo Method

[9] Coleman H W,Steele W G,Experimentation,Validation,and Uncertainty Analysisfor Engineers.New York:John Wiley&Sons,2009

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