一類滿足Costa非二次型條件六階半線性微分方程同宿軌道解的存在性研究

馮培娟,劉曉娜,謝旋

摘要 本文運用山路引理研究了一類滿足Costa非二次型條件的六階半線性微分方程同宿軌道解的存在性，其中。

關鍵詞 山路引理；同宿軌道解；Costa非二次型條件

中圖分類號O175 文獻標識碼A 文章編號 1674-6708（2011）43-0119-02

Existence of Homoclinic Solutions of a Class of Semilinear Sixth-Order Differential Equations

with Costa nonquadratic Potentials

Abstract In this paper we apply Mountain-Pass Theorem to study the existence of homoclinic solution for a class of semilinear sixth-order differential equations with Costa nonquadratic potentials

Where

KeywordsMountain-Pass Theorem; Homoclinic Solution; Costa nonquadratic Potentials

0 引言

近30多年來， 變分理論飛速發展，新定理新方法的給出不僅豐富了臨界點理論，而且解決了越來越多的微分方程的邊值問題.運用臨界點理論對非線性常微分方程同宿軌道解的存在性研究已經有很長的歷史，例如文獻[1]和文獻[2]分別用山路引理和Brezis-Nirenberg型山路引理研究了一類六階非線性微分方程同宿軌道解的存在性。

本文主要應用山路引理研究一類滿足Costa非二次型條件的六階半線性微分方程（*）

同宿軌道解的存在性，其中

假設，，并且滿足下列條件：

1），對于一致成立；

2）存在，，使得。

2 主要結果

定理1在上述假設下，方程（*）至少存在一條非平凡的同宿軌道解。

在本文中，我們將用到山路引理證明定理1。

（山路引理）設X是實Banach空間，，I滿足（P.S.）條件，且滿足:

1）存在， ，使得；

2）存在， 使得。

那么I有一個臨界值，

方程（*）的弱解為泛函的臨界點，且，，進一步，由標準法此即為方程（*）的同宿軌道解。

并且，

定義Sobolev空間上的范數為

令，，則

引理1若滿足條件（1）（2），則存在， ，使得。

證明：由Sobolev嵌入定理，存在常數使得

由得，當時，有

所以

（取）

引理2若滿足條件（1）（2），存在， 使得。

證明：取，則在任一非空開集上

引理3 若滿足條件（2），則I滿足Ceramic條件，即對，只要有界，，則至少有一個收斂子列。

證明：設滿足有界，且

從而所以I滿足Ceramic條件。

由引理1，2，3可知，泛函滿足山路引理的條件，從而其至少有一個非平凡的臨近點。

綜上可得，方程（*）至少存在一條非平凡的同宿軌道。

參考文獻

[1]G.Caginalp，P.C. Fife.Higher order phase field models and detailed anisotropy，Phys.Rev，B 34 (1986)，4940-4943.

[2]Gyulov，Gheorghe Morosanu and S.Tersian.Existence for a semi-linear sixth-order ODE，J.Math.Anal.Appl. 321(2006)86-98.

[3]李成岳.變分法與哈密頓系統同宿軌道和異宿軌道引論[M].北京：科學技術文獻出版社，2006.

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”