有限差分逼近法的瞬態高溫外推實驗研究★

賈曉雯，郝曉劍，周漢昌

（中北大學 電子測試技術國防科技重點實驗室，山西 太原 030051）

0 引言

分離變量法屬于外推法理論，所謂外推法，就是已知被測物一個面的溫度，運用傳熱學原理推導出被測物另一個面的溫度。因為在高溫、高壓、高速和高沖擊的惡劣環境中，測試溫度并不容易，如槍炮膛內火藥氣體的溫度，火箭燃氣射流的溫度等等，這些溫度無法進行直接測試，所以溫度外推就顯得尤為重要。外推法的研究和應用早在20世紀40年代就開始了，當時聯邦德國國防軍試驗基地在測試武器身管溫度分布時，就是用圖解法外推出膛壁溫度[1]。此后，外推技術又有了進一步的發展，采取了分析法和分離變量法外推。美國的Hurray Imber 和 Jamal Kuan等人發表多篇論文，闡述了分析外推法及影響其精度的一些因素[2]。分離變量法對黑體腔膜層厚度要求較高，當膜層厚度太小時，用分離變量法外推出的結果是錯誤的。而有限差分法不存在這種情況，而且外推結果較為合理。

1 藍寶石光纖黑體腔溫度傳感器測試系統組成及工作原理

藍寶石光纖黑體腔溫度傳感器測試系統主要由黑體腔、藍寶石光纖、錐形光纖、ST連接器、耦合模塊、傳輸光纖、窄帶低噪聲光電探測器和數據處理模塊等組成，裝置示意圖如圖1所示。

在實際測溫時，將黑體腔置于被測物測溫點上，黑體腔發出波長為λ的熱輻射信號，熱輻射信號通過錐形光纖傳導至耦合模塊，ST連接器起到連接藍寶石光纖與錐形光纖的作用，使得信號能夠順利傳輸，耦合模塊可以使熱輻射信號減少衰減，使信號最大限度地遠距離傳輸。熱輻射信號經傳輸光纖進入窄帶低噪聲光電探測器，將光信號轉換為電信號，再通過數據處理模塊繪制出溫度—時間曲線。這里所得出的溫度—時間曲線是黑體腔內表面的溫度，黑體腔外表面的溫度將由有限差分逼近法外推得出。

圖1 藍寶石光纖黑體腔溫度傳感器測試系統組成

2 有限差分逼近法外推原理

黑體腔模型如圖2所示，在藍寶石端部鍍制一層高溫陶瓷材料構成黑體腔。高溫材料能夠承受2000℃以上的高溫。

圖2 黑體腔物理模型

建立坐標如圖2所示，因為黑體腔膜層很薄，所以把黑體腔導熱看成是半無限大平板導熱，即只考慮 坐標方向的導熱。根據傳熱學原理，黑體腔傳熱數學模型[3]建立如下：

其中，u為待測溫度 (℃ )，t為時間（s），α 為陶瓷材料的熱擴散率(m2/s)，u0為初始溫度(℃)，Lo為黑體腔長度 (m)，f為黑體腔膜層厚度（m）（在下文中也用 χp來表示f），up(t) 為 χp處等溫面上的實測溫度隨時間t的變化。

這里要用到基于導數的有限差分公式的逼近替代任意χ=χo，t=to處的偏微分方程。任取?u/ ?t的時間前向差分:

其中，x0＜1＜x0+ ?x。

因而在任意χ=χo，t=to處的熱傳導方程精確地化為:

當Δt 、 Δx足夠小時，截斷誤差E趨于0，所以:

將沿x軸方向的黑體腔膜層厚度分為厚度相同的 m層，每一層的厚度為Δx，一次測試溫度所用時間分為n等分，每一等分為Δt。記uk表示第i

i層在第k時刻的溫度。令s= ?t/ ( ?x)2，則式（7）可表示為:

式（8）中s的取值很重要，若s取值不當，會引起外推結果的振蕩現象。經理論分析，s= 1 / 2 最為合理。

有限差分逼近法外推原理如圖3所示。*表示黑體腔的初始溫度，將黑體腔膜層分為3層，xp層為黑體腔內表面，節點A、B、C 所在的一層為黑體腔外表面，由式（8）可知，由節點ui k、uik和uik+1可推導出節點uk的溫度，如圖3所示。測溫時，i+1溫度從節點A開始上升。外推時，先假設節點A的溫度為uA，所以由節點A、1和2可推導出節點4的溫度，由節點1、2和3可推導出節點5的溫度。依此類推，可推導出與節點A相應的xp層上的溫度u4，將u4與該點處的實測溫度值u4相比較，設2者44xp允許的最大誤差為e，如果則重新假設節點A的溫度uA，重新推導出與節點A相應的xp層上的溫度u44，直到這時節點A的溫度uA即為黑體腔外表面該點處的真實值。由這種方法可推得節點B和C等黑體腔外表面各節點的溫度。

圖3 有限差分逼近法溫度網格圖

3 實驗驗證

實驗驗證示意圖如圖4所示，瞬態高溫的產生和模擬可以通過美國相干公司的Diamond OEM K-500CO2激光器加熱藍寶石光纖黑體腔探頭實現。黑體腔外表面的真實溫度用經校準過的IRCON公司的Modline5-5R紅外測溫儀探測，Modline5-5R的測溫范圍為600℃～1400℃，響應時間可以達到0.01s，為單雙色可切換式測溫方式，發射率可以調節為與黑體腔材料的發射率相匹配，最小可探測到的被測物直徑為0.0003m，而藍寶石光纖的直徑為0.0007m，滿足測溫要求。這樣就可以得到兩方面的溫度變化情況，即黑體腔外表面的溫度T0和由傳感器測溫系統測得的黑體腔內表面的溫度T1。T1可以作為傳熱方程的邊界條件來進行外推。如果外推溫度T0′（ 曲線2）與紅外測溫儀探測到的溫度T0（曲線3）在誤差范圍內是一致的，說明外推模型是正確的。

圖4 實驗驗證方案

由于實驗條件限制，采用溫度值在1200℃左右進行驗證。用Diamond OEM K-500CO2激光器給黑體腔探頭施加瞬態高溫，黑體腔內表面發出的熱輻射信號轉換成電信號，由數字存儲示波器記錄所輸出的電信號。電壓波形如圖5所示。

圖5 傳感器輸出的電壓時間波形

將電信號轉換成溫度，由公式（9）計算[4]:

K為光電探測器靈敏度系數，K的具體值需要靜態標定，實驗標定結果為 =18.5357V/W。其中:

其中，a為黑體腔出口進入光纖的面積（m2），λ為輻射光波長(m)，T為絕對溫度(K)，c1=3.74183×10-16(W·m2)為第一輻射常數，c2=1.43879×102(m·K)為第二輻射常數，λ0為干涉濾光片中心波長(m)，Δλ為帶寬(m)。

根據圖5和公式（9）可計算出黑體腔內表面溫度值up，如表1所示。

表1 三類繪制方法比較

根據表1，用MATLAB擬合黑體腔內表面溫度值，擬合結果如圖6所示。黑體腔內表面溫度最高值出現在53.5ms處，大小為964℃。

圖6 黑體腔內表面溫度—時間曲線

黑體腔長度L0=8mm,黑體腔膜層厚度Xp =50μm,黑體腔材料熱擴散率 α=3.144 10-6m2/s。

在本次實驗驗證中將黑體腔膜層厚度分為5層，每一層的厚度 Δx=10μm，由已知數據表1、式(8)可求得黑體腔外表面的溫度值如表2所示。

根據表2，用MATLAB擬合黑體腔外表面溫度值，擬合結果如圖6所示。黑體腔外表面溫度最高值出現在49.7ms處，大小為1034.8℃。

表2 黑體腔內/外表面溫度值

圖7 有限差分逼近法外推曲線

在此實驗條件下，用Modline5-5R紅外測溫儀測得的黑體腔外表面溫度最高值為1174℃。與測溫系統得到的最高溫度值（964℃）相差210℃，與外推結果得到的最高溫度值（1034.8℃）相差139.2℃，可見，用有限差分逼近法外推后得到的溫度更加接近被測物的真實溫度，結果更為合理。

4 誤差分析

建模過程中引入了誤差。一方面，在建模過程中假設黑體腔導熱過程是一個半無限大平板導熱，但現實中并不存在這樣的半無限大平板；另一方面，建膜過程中采用了集中參數法的思想，即認為黑體腔膜層中任一層面的溫度在同一時刻都是相等的，但實際導熱過程并非如此。

在求解過程中引入了誤差。在本次外推中只把黑體腔膜層分為5層，如果再進行細分（例如，分為10層、20層等），外推結果會更加準確，但是計算量也會相應增加，這種權衡在數值計算中通常都要出現。

[1]M.Gottlieb,G..B.Brandit.Fiber-optic temperature sensor based on internally generated thermal radiation[J].Appl.opt.,1981,20(19):485-187.

[2]F.Kreith,M.S.Bohn Principles of Heat Transfer[J].4th Ed,Harper & Row,1986, 136-137.

[3]王瑞.瞬態超高溫測試的外推方法研究[D].太原:中北大學,2009:30-34.

[4]郝曉劍,孫偉,周漢昌等.藍寶石光纖黑體腔高溫計（EI收錄）[J].應用基礎與工程科學學報,2004,12（2）:218-223.

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