一種高精度FOA估計方法

何 兵,劉 剛,趙鵬濤,高 江,王 虹

(1.第二炮兵工程學院,陜西西安710025;2.第二炮兵青州士官學校,山東青州262500)

0 引言

頻率估計不僅在理論上,而且在實際應用中,都有著非常重要的研究價值。利用信號FOA進行定位是確定發射源位置的基本和主要手段,其定位精度直接與TOA和FOA估計的準確度高度相關,因此,尋求一種精度高、計算簡單、抗噪能力強的FOA估計算法一直是信號處理領域研究的熱點問題。

自從20世紀30年代以來,由于在戰爭中雷達和聲納技術的廣泛應用,使人們開始注意到信號頻率估計問題研究的重要性,從20世紀60年代初,開始了更為廣泛的研究。1958年由Blackman和Turkey提出的取樣自相關法,是當時的一種流行的計算功率譜的方法。1965年由Cooley和Turkey完善了著名的FFT算法,把離散傅里葉變換的計算量減少了2個數量級,并且產生了一種稱為周期圖的譜估計方法,這種方法使譜估計由理論走向實用。1967年,Burg提出了最大熵譜估計方法。1968年,Parzen提出了自回歸譜估計方法。1973年,由Pisareko提出的諧波分解方法提供了可靠的頻率估計方法,而在1979年,Schmidt提出了譜估計的多信號分類算法,對于正弦波分量頻率估計很有效,自此以后,有關特征分解法的頻率估計有了廣泛的研究。Rife[1]提出了利用正弦信號FFT主瓣內2條譜線的幅度的變化提高正弦信號的頻率和幅度估計精度的方法。Jian等進一步研究了這種方法并提出了插值FFT正弦信號參數估計方法,這種方法既保留了基于FFT的正弦信號參數估計方法速度快的特點又提高了估計精度。Kay等人在文獻[2]提出了一種高精度的頻率估計方法,但受信噪比門限值影響。在文獻[3]中,比較給出了6種FOA估計方法的優劣,FFT方法估計精度受到采樣點的限制,周期圖方法是無偏非零方差漸進估計器估計,最小方差法和歸一化最小方差法是無偏最小方差頻率估計器,Burg方法具有較高的頻率分辨率,但應用于短時數據,會出現虛假峰值,MUSIC算法具有較高的分辨率,但是計算量較大。同時文獻[4]用自相關函數和三階累計量相結合提出了非高斯有色噪聲中的正弦信號頻率估計,該方法具有良好的頻率估計性能。文獻[5]提出了一種低信噪比下的正弦頻率估計算法。文獻[6]中提出了一種利用DFT頻譜的相位和頻率插值的綜合算法提高頻率測量精度的方法,但是存在相位模糊問題。齊國清等人在文獻[7]中分別提出了加窗插值FFT頻率估計方法和基于DFT相位的正弦波頻率估計方法,利用分段DFT消除了相位測量中的正周模糊問題,在信噪比大于6 dB,采樣點位1 024時,頻率估計均方根誤差約為DFT頻率分辨率的1%。

總之,基于離散傅里葉變換DFT的頻率估計方法運算速度快,但是估計精度受到信號時長的限制,一般只利用DFT實現頻率的粗測,而利用MUSIC算法,AR模型算法以及最大似然估計算法等現代譜估計方法,可以對正弦信號頻率進行精確估計,但是由于算法復雜,計算量大,難以實時處理而限制了進一步應用。針對通信信號瞬時到達頻率估計問題,在借鑒和參考上述文獻的基礎上,通過對比仿真,選擇了文獻[2]中的頻率估計方法作為單頻復正弦信號的頻率估計方法,然后提出了適用于數字調制信號瞬時到達頻率估計的分段Kay頻率估計方法,仿真結果顯示該方法能夠達到極高的估計精度,頻率估計的標準差小于0.1 Hz。

1 信號模型描述

通常接收到的信號包括3個不同的部分:導頻段(Tone)、導頭段(Preamble)和數據段(Data)。導頻段是一段長度為T1的未調制純載波段,導頭段為一段固定長度為T2的已知數據,其目的是為了進行位同步。數據段為一段特別編碼的數據,長度為T3,包含發射源的相關信息,例如信號種類、國家號碼等。

信號模型假設如下,信號的純載波段定義如下:s(t)=acos(2πfct+θ),此處a代表信號幅度,fc為信號載波頻率,θ是初始相位。數據段采用二相曼徹斯特編碼,在相位調制中,數據“0”和數據“1”分別由表示為:

則調制信號表示為:

式中,bk=±1是信號發射的數據;Nb為信號長度,Tb為一個碼元周期,Tb=2.5 ms;Pman(t)表示編碼方式。編碼使得信號頻譜產生了較多的旁瓣,這對利用信號頻譜峰值最大值進行頻率估計帶來干擾。信標信號信息時長為440 ms,上行中心頻率為406MHz,碼速率為400 bps。

2 Kay頻率估計算法描述

假設接收的數據是一個有限的序列,即對數據進行了截斷,相當于對數據加了矩形窗。在利用FFT算法進行頻率估計時,存在著一個頻率分辨率的限制,其分辨率的大小與數據的長度存在著反比關系。為了克服上述問題的影響,這里采用了一種基于相位差分的新算法,即Kay方法[2],該方法能夠獲得最大似然估計器的估計性能,且計算量較小,算法描述如下。

假設信號的模型如下:

式中,A為信號的幅值;w0為信號的頻率;θ為信號的初始相位,為一確定的未知量;信號頻率w0為要求的估計量;噪聲為zn=z1n+jz2n,z1n,z2n分別為實的均值為0;方差為 σ2/2的高斯白噪聲(σ2是噪聲zn的方差),并且z1n,z2n之間是不相關的。假設信噪比比較大,從而式(1)可用式(2)代替:

用∠x表示信號的xt的瞬時相位,則n時刻的相位為:∠xn=ω0n+θ+un,相位差分為:

由式(3)可以看出,現在的問題轉化為估計一個色高斯隨機過程的均值 ω0。由式(3)可知,Δn是一個驅動噪聲方差為σ2/2A2,系數為b0=1,b1=-1的實的滑動平均(MA)過程。式(3)所表示的線性模型的最小方差無偏估計即等價于 ω0的最大似然估計,并且可以通過最小化式(4)得到。

C是序列Δn的(N-1)×(N-1)的協方差矩陣式(4)的解為:

該估計器的方差為:

該估計器的方差達到了克拉美勞下界,是有效估計。

將Kay算法和其他幾種算法,比如頻率細化算法,Rife算法,修正FFT算法,MUSIC算法進行對比。分別比較幾種算法隨信噪比的增加估計偏差的變化情況,隨載波頻率變化估計偏差的變化情況以及隨信號長度改變估計誤差的比較。仿真結果如圖1和圖2所示。從圖1仿真結果可以看出,Kay算法的估計精度要好于其他算法;從圖2的仿真結果可以得出結論,Kay和頻率細化算法估計精度基本不受載波頻率變化的影響。通過綜合比較,Kay算法是一種性能優良的單頻復正弦信號頻率估計方法。

圖1 隨信號信噪比變化估計誤差比較

圖2 隨信號載波頻率變化估計誤差比較

3 分段Kay頻率估計方法

通常對數字調制信號到達頻率估計要求估計的是信號在某個特定數據上升沿或下降沿處瞬時頻率,上述信號格式中的導頭段(一段固定長度已知數據)就是為此而設計的。因此,問題轉化為對導頭段某比特上升沿或下降沿到達頻率的估計。

由于在一個信號周期內,相對位置的運動導致多普勒頻移存在,信號頻率一直處在變化中,因此,利用單一復正弦頻率估計方法不可取。針對上述接收信號模型,通過計算,在30 ms內多普勒頻移量很小,認為在30 ms內信號頻率為一常量,可視為一段單一復正弦頻率信號。因此,這里提出可將整個接收數據段劃分為時長為30 ms的子段,并且子段之間的數據有一定的重合,利用Kay算法估計各子段的頻率,然后對估計出的頻率進行曲線擬合,得到信號的時頻分布圖,從而求出接收信號某比特下降沿處的瞬時頻率,稱該方法為分段Kay頻率估計方法。由于Kay算法存在著信噪比門限,因此,在頻率估計之前須對接收信號進行下變頻和濾波處理,以獲得Kay算法門限值以上的信噪比。

以上述接收信號為模型,假設經過下變頻處理和濾波后的信號模型為:x(n)=Acos(2p(fc+a×t)t)+n(t),a=0.5,表示信號的頻率變化率,n(t)為噪聲,信號長度為440 ms,信噪比為6 dB,載波頻率為1 500Hz,估計其22 bit下降沿處的瞬時頻率,即信號時長為220ms處的頻率。通過計算機仿真,某次估計結果如圖3所示,圖3中實線是真實頻率變化,虛線是估計的頻率變化值,圖中間似星星的點是瞬時頻率估計值。從圖3中可見,估計誤差小于0.1 Hz。

圖3 基于分段Kay的頻率估計

通過對上述過程經過100次的仿真計算,得到瞬時頻率估計偏差均值為0.043 4 Hz,標準差為0.025 5Hz,達到了高精度的頻率估計效果。

4 結束語

針對信號到達頻率估計這個傳統問題,設計了一般性的信號模型,針對該信號,通過比較選擇了一種高精度的單頻信號頻率估計算法,并設計了信號到達頻率估計的高精度估計方法—分段Kay頻率估計,最后通過仿真試驗,驗證了頻率估計的偏差小于0.1 Hz,精度較高。該方法計算量小,容易實現,具有極高的準確度和穩定性,具有較高的實用價值,對解決類似問題具有一定的借鑒意義。

[1]RIFE D C.Single-tone Parameter Estimation from Discrete-time Observations[J].IEEE Trans.Inf.Theory,1974(20):591-598.

[2]KAY.A Fast and Accurate Single Frequency Estimator[J].IEEE Trans.Acoust.Speech Signal Process.,1989(37):1987-1990.

[3]GOMEZ P C.Design of Local User Terminals for Search and RescueSystemswith MEO Satellites[M].Noordwijk:ProceedingsNAVITEC,The Netherlands,2004.

[4]梁應敞,王樹勛,戴逸松.非高斯有色噪聲中的正弦信號頻率估計[J].電子學報,1995,23(4):111-114.

[5]陳光化,曹家麟.應用自適應時頻分布的瞬時頻率估計[J].系統工程與電子技術,2002,24(1):31-33.

[6]劉 渝.快速高精度正弦波頻率估計綜合算法[J].電子學報,1999,27(6):126-128.

[7]齊國清,賈欣樂.基于DFT相位的正弦波頻率和初相的高精度估計方法[J].電子學報,2001,29(9):1164-1167.