Sine-Gordon方程的一個新高精度差分格式

李自啟

南京航空航天大學，江蘇南京 211100

Sine-Gordon方程的一個新高精度差分格式

李自啟

南京航空航天大學，江蘇南京 211100

本文提出了一個解sine-gordon方程顯示的高精度格式，并證明了此格式的截斷誤差 o ( t2+h4)，以及用級數方法證明了此格式的收斂性的穩定性，數值試驗進一步驗證了格式的正確性，并且選擇特定的參數后，可以達到很好的計算精度。

sine-gordon方程；差分格式；守恒；收斂性；穩定性

格式說明：

0 引言

在現在物理學研究中，出現了許多非線性發展方程，其中Sine-Gordon方程具有許多有趣的現象，因而成為無窮維動力系統中的一個重要的模型。本文對線性的Sine-Gordon方程的初值問題提出了一個高精度的差分格式。

考慮一維空間的Sine-Gordon方程（SGE）

格式

其中2α +β= 1。

下面考慮格式的穩定性和收斂性：

引理1 Miller準則。

設A＞0 ,實系數二次方程 A λ2+Bλ + C = 0 的兩根模小于或等于1的充要條件是

四階三層顯示格式的穩定性分析：

下面用傅里葉方法研究此格式（3）的穩定性。

則（3）式的增長矩陣為：

則矩陣的特征值的方程為 ：λ2? D λ +1= 0 。

理由引理3可得：A=1，C=1，B=-D。

要使 A-C=0，A+B+C＞0，A-B+C＞0。

經計算得：

下面討論誤差階：

定理一 格式（7）在特定的α和β下是收斂到方程（1），并且收斂階為 o ( t2+h4)。

證明：利用泰勒展示進行估計。

（7）（8）相加可得

同樣可得：

（9）（10）聯立得：

所以格式（7）關于t是二階相容的，關于h是四階相容的，其截斷誤差為： o ( t2+h4)。

1 數值試驗

為了研究格式的精確性和可靠性，現在考慮如下精確解的初邊值問題：

在t∈[0,1]上做試驗，取時間步長為0.0005，空間步長為0.4，圖a，圖b，圖c, 圖d分別表示精確解的圖像和格式（7）的圖像和誤差的絕對值曲面誤差絕對值的俯視圖（注此圖是在α=0，β=1時候的特殊情況）

當α，β取不同的值時可以得α，β對解的影響

由表可知道當β=0.6和0.7時候有很好的近似。

[1]張魯明，常謙順.sine-gordon方程的一個守恒的九點格式[J].應用數學，1999，12(3)：30-35.

[2]許秋濱.有阻尼的sine-gordon方程的幾個差分格式[D].南京航空航天大學，2005，3.

[3]陳娟.Klein-Gordon-Zakharov方程的幾個守恒差分格式[D].南京航空航天大學，2006，1.

[4]范建華，閆杰生.Sine-gordon方程的精確解[J].商丘職業技術學院學報，2004，3(6).

[5]許秋濱，常謙順.廣義線性sine-gordon方程的兩個隱式格式[J].應用數學學報，2007，20(3)：263-271.

[6]戴嘉尊，邱建賢.線性偏微分方程數值解法[M].東南大學出版社，2002，2.

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A

.1674-6708（2011）52-0099-02