Sine-Gordon方程的一個新高精度差分格式

李自啟

南京航空航天大學(xué)，江蘇南京 211100

Sine-Gordon方程的一個新高精度差分格式

李自啟

南京航空航天大學(xué)，江蘇南京 211100

本文提出了一個解sine-gordon方程顯示的高精度格式，并證明了此格式的截斷誤差 o ( t2+h4)，以及用級數(shù)方法證明了此格式的收斂性的穩(wěn)定性，數(shù)值試驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了格式的正確性，并且選擇特定的參數(shù)后，可以達(dá)到很好的計算精度。

sine-gordon方程；差分格式；守恒；收斂性；穩(wěn)定性

格式說明：

0 引言

在現(xiàn)在物理學(xué)研究中，出現(xiàn)了許多非線性發(fā)展方程，其中Sine-Gordon方程具有許多有趣的現(xiàn)象，因而成為無窮維動力系統(tǒng)中的一個重要的模型。本文對線性的Sine-Gordon方程的初值問題提出了一個高精度的差分格式。

考慮一維空間的Sine-Gordon方程（SGE）

格式

其中2α +β= 1。

下面考慮格式的穩(wěn)定性和收斂性：

引理1 Miller準(zhǔn)則。

設(shè)A＞0 ,實(shí)系數(shù)二次方程 A λ2+Bλ + C = 0 的兩根模小于或等于1的充要條件是

四階三層顯示格式的穩(wěn)定性分析：

下面用傅里葉方法研究此格式（3）的穩(wěn)定性。

則（3）式的增長矩陣為：

則矩陣的特征值的方程為 ：λ2? D λ +1= 0 。

理由引理3可得：A=1，C=1，B=-D。

要使 A-C=0，A+B+C＞0，A-B+C＞0。

經(jīng)計算得：

下面討論誤差階：

定理一 格式（7）在特定的α和β下是收斂到方程（1），并且收斂階為 o ( t2+h4)。

證明：利用泰勒展示進(jìn)行估計。

（7）（8）相加可得

同樣可得：

（9）（10）聯(lián)立得：

所以格式（7）關(guān)于t是二階相容的，關(guān)于h是四階相容的，其截斷誤差為： o ( t2+h4)。

1 數(shù)值試驗(yàn)

為了研究格式的精確性和可靠性，現(xiàn)在考慮如下精確解的初邊值問題：

在t∈[0,1]上做試驗(yàn)，取時間步長為0.0005，空間步長為0.4，圖a，圖b，圖c, 圖d分別表示精確解的圖像和格式（7）的圖像和誤差的絕對值曲面誤差絕對值的俯視圖（注此圖是在α=0，β=1時候的特殊情況）

當(dāng)α，β取不同的值時可以得α，β對解的影響

由表可知道當(dāng)β=0.6和0.7時候有很好的近似。

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A

.1674-6708（2011）52-0099-02