原始EPR佯謬本征態的量子力學

劉雅超，黎 明，呂惠民，唐遠河

(西安理工大學應用物理系，陜西 西安 710048)

0 引 言

1935年，Einstein、 Podolsky和Rosen合作發表了一篇名為“能夠認為量子力學對物理實在的描述是完備的嗎？”的文章[1]．文中構造一奇特的無自旋二粒子系統，通過兩粒子的坐標和動量關聯來質疑量子力學的完備性，此即原始的EPR佯謬．它和“薛定諤貓態”在歷史上一起給出了對糾纏態的最早描述[2]．由于粒子動量和坐標算符的本征值都是連續譜，又有經典對應，給問題的討論和理解都帶來困難．后來，經過Bohm的重新表述，將問題簡化為對只有兩個本征值的電子自旋糾纏態的討論[3]. 此即Bohm版本的EPR佯謬, 或稱 EPRB思想實驗. 問題的轉機發生在1964年，Bell的工作將純思辨的思想實驗轉為可以實驗檢驗的Bell不等式[4]．之后，1969年基于光子偏振糾纏的實驗方案被提出[5]．決定性的實驗工作在上世紀八十年代初完成[6-7]．實驗表明量子力學理論的正確性，也表明糾纏態確實存在．隨后基于雙光束光振幅關聯的連續變量EPR糾纏態也被建議并在實驗上實現[8-9]．而以動量位置糾纏態為基礎[10]的連續變量量子通信[11-12]和量子計算[13]的研究進一步促進了對原始EPR佯謬的理解[14-15]．2004年，在實驗上實現了雙光子的動量位置的糾纏態[16]．至今，對有質量的粒子(如電子)的動量，坐標或自旋的糾纏態都還沒有在實驗上實現．而對坐標動量糾纏態的物理理解還有待深入．本文試圖不用密度矩陣的方法，而從量子力學的對易關系分析入手, 結合對原始EPR佯謬文章中所給出的本征態在動量表象和坐標表象的波函數的深入分析，揭示其在不同表象波函數中的特征表現，澄清動量和坐標糾纏態的量子物理內涵．

1 原始EPR佯謬

對原始EPR佯謬的問題可以簡述如下[17]：有一個一維的量子力學系統S，由粒子1和粒子2組成．兩粒子的坐標算符和動量算符是

(1)

滿足基本對易關系

(2)

(3)

(4)

(5)

于是根據量子力學，它們有共同本征態，而本征值可分別為

x1-x2=a

(6)

p1+p2=0

(7)

以這兩個算符的本征值為標志，該本征態可記為|a,0〉．

對于一維的二粒子系統，這是非常奇怪的本征態[18-19]：兩個以相反動量運動的粒子居然可以保持它們的距離不變！從經典力學粒子運動的觀點來看，這種運動是難以想象的．以至于文獻[17]中說，“EPR文章所舉的例子里，所用的態函數雖然在數學上是可能的，但誰也想不出怎樣實現這種兩個粒子有著相反方向的動量，卻又始終保持一定距離的臆想的追隨運動. 難怪好多人把這場(Einstein 同Bohr的)爭論只當作是一場不會有結果的空談．”然而現在人們知道這絕非空談．對兩個光子組成的系統，這樣的本征態已在實驗室實現[16]．本文的目的是通過量子力學的分析來理解它．探究明白這個經典力學看來不可想象的本征態真正的量子物理內涵．

1.1 對易關系

(8)

在此假設兩粒子有相同的質量. 這不會改變筆者將得到的結論．筆者發現

(9)

(10)

|x,p0〉1?|x-a,-p0〉2=

(11)

的形式．所以，將由|a,0〉代表的本征態描述成是具有等大而反向的動量而又保持距離不變的兩個粒子是不合適的．因為這種經典力學式的陳述必然假定兩個粒子的動量是確定的．事實上，雖然在經典力學里，不能想象粒子同時具有各種不同的動量，而在量子力學里，由于態的疊加原理，這確實是可以的．再從態|a,0〉在不同表象的波函數來研究它．

1.2 坐標表象

數學上，|a,0〉在坐標表象的波函數ψ(x1,x2)的表達式為[1-2]

δ(x1-x2-a)

(12)

aδ((x1-x2)-a)

(13)

(14)

由以上兩式可以確認(12)式就是我們所討論的本征態|a,0〉在坐標表象的波函數．該函數δ(x1-x2-a)表明，粒子1和粒子2的位置處于糾纏狀態，即雖然坐標x1和x2可以任意取值，但它們之差必須保持不變，始終為a．

1.3 動量表象

為了進一步分析本征態|a,0〉的內涵，將ψ(x1,x2)在二粒子體系的動量本征態上展開

(15)

其中φ(p1,p2)為本征態|a,0〉在動量表象的波函數，由表象變換可得

(16)

此波函數表明， 若將粒子1所在位置取為坐標原點，即粒子1坐標為0，則粒子2坐標為-a，坐標差即距離為a；而動量波函數中δ(p1+p2)因子的存在則說明兩粒子的動量存在糾纏，即取值必須始終等大反號．

或者，可將粒子2所在位置取為坐標原點，則有

(17)

由上可知，在此參考系下，粒子1坐標為a，粒子2坐標為0，距離依然為a，動量糾纏保持不變．

而若將兩粒子的質心位置取為坐標原點，所得波函數將更為對稱，此時，

(18)

筆者注意到，當P1→-p2，p2→-p1,波函數(18)保持不變，而波函數(16)和(17)互換．

(19)

而對波函數(16)和(17)，任取粒子1或粒子2的位置坐標，它們亦保持不變．

2 結 語

參考文獻：

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