附加系統參數平差在高速鐵路CPⅢ控制網數據處理中的應用

曹成度 王 鵬

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司,湖北武漢 430063)

在高速鐵路CPⅢ控制網測量中,觀測誤差按性質包括三種成分：粗差Δg、系統誤差Δs、偶然誤差Δn,即Δ=Δg+Δs+Δn。目前CPⅢ控制網數據處理通常按經典平差的方法進行,經典平差的前提是觀測值中僅包含偶然誤差,即Δg=0、Δs=0、Δ=Δn,事實上在平差前完全剔除粗差和消除系統誤差的影響是不可能的。在平差中,系統誤差對每一個觀測元素都有影響。系統誤差不像粗差那樣事先一無所知,可預先估計可能存在那些類型的系統誤差,通過引入附加參數進行自動補償。如果觀測值中存在系統誤差,在平差中不考慮其影響,按最小二乘原理估計平差參數,則所得的平差估計參數不是最優線性無偏估計量。

CPⅢ控制網水平角測量采用盤左盤右全圓方向觀測法,可消除水平度盤和照準部偏心差、視準軸誤差和橫軸誤差等系統誤差,而距離觀測則沒有較好的觀測方法來消除其系統誤差(測距固定誤差、比例誤差)。

1 附加系統參數平差的數學模型

對經典高斯-馬爾柯夫模型加以擴展,得

(1)

(2)

或寫為

(3)

隨機模型為

E(Δ)=BS

(4)

E(L)=AX+BS

(5)

(6)

上式(3)就是附加系統參數的函數模型,其誤差方程可寫為

(7)

式中P為觀測值的權陣,按最小二乘原理,得法方程為

(8)

設ATPA=N11滿秩,N12=ATPB,N21=BTPA,N22=BTPB

則法方程系數陣N為

(9)

解法方程得

(10)

2 附加系統參數平差模型的選擇

系統誤差一般是服從某一函數規律的誤差,如果在平差前對系統誤差的出現規律有所了解,則可以顧及其特點,將系統參數附加到函數模型中。對于CPⅢ控制網而言,使用全站儀和配套棱鏡進行距離觀測,則系統誤差一般呈現為測距固定誤差和測距比例誤差的特點。

2.1 顧及測距固定誤差的附加參數模型

在CPⅢ控制網測量中,用全站儀測量的距離存在明顯的系統性固定誤差,平差時可設立固定誤差改正數來減弱或消除系統性長度差影響。固定誤差改正數設立可根據全站儀使用的臺數,設立一個或幾個。

由距離觀測值S及其改正數vS和待定點坐標近似值x0、y0及其未知改正量δx、δy,可建立以下關系式

Sij+vSij=

(11)

因δxi、δyi……等為未知小量,上式按泰勒級數展開,并僅取一次小量,經移項歸納后,邊長誤差方程式為

(12)

(13)

i、j兩點間設立固定誤差改正數的邊長誤差方程式為

(14)

式中,δD=D-D0,取邊長固定誤差D的近似值D0=0,則δD=D。

2.2 顧及測距比例誤差的附加參數模型

在CPⅢ控制網測量中,用全站儀測量的距離存在明顯的系統性長度差,并且總是按邊長比例的偏短或偏長,平差時可設立比例誤差(尺度誤差)改正數來減弱或消除系統性長度差影響。

i、j兩點間設立比例誤差改正數的邊長誤差方程式為

(15)

3 附加系統參數的統計檢驗

CPⅢ控制網平差中,引入附加固定誤差參數或比例誤差參數后改變了原平差模型,附加參數是否需要引入則需要進行統計檢驗。附加參數的統計檢驗可以采用基于殘差平方和的檢驗方法,這種檢驗方法的思路是對附加參數的函數模型和原函數模型進行比較檢驗,來判斷兩種模型是否有顯著性差異,如無顯著性差異,表明附加系統參數模型是不必要的,原模型是正確的。具體做法如下。

(1)模型合理性檢驗

檢驗的原假設為

(16)

備選假設為

(17)

用χ2統計量

(18)

拒絕域為

(19)

(2)附加參數必要性檢驗

(20)

用F統計量

(21)

拒絕域為

F>Fα,r2,r1

(22)

這個檢驗的意義是,引入附加系統誤差參數后平差結果是否比原平差模型有顯著性差異,接受H0,表示引入并比一定必要,接受H1,表示要引入。

4 算例分析

以下將以一個實際高速鐵路CPⅢ控制網進行試算分析,對該控制網的邊長觀測值加入固定誤差、比例誤差,并嘗試采用附加系統參數的平差方法進行平差計算,比較附加系統參數的平差方法與經典約束平差方法的差異。

試算數據采用某段高速鐵路CPⅢ平面控制網數據，該段CPⅢ控制網全長約8.65 km,呈東北西南走向。

4.1 附加固定誤差的計算比較

準備兩套試算數據,一套為原始CPⅢ平面觀測數據,另一套為對原始CPⅢ平面觀測數據距離觀測值加入2 mm的固定誤差的數據。分別采用經典約束平差方法和附加參數平差方法對兩套數據進行平差。

加入固定誤差的數據采用約束平差方法和附加參數平差方法的平差結果比較如圖1所示。

加入固定誤差的數據采用附加參數平差,原始CPⅢ觀測數據采用約束平差,平差結果比較如圖2所示。

圖2 不同方法的比較(二)

加入固定誤差的數據采用約束平差,原始CPⅢ觀測數據采用約束平差,平差結果比較如圖3所示。

圖3 不同方法的比較(三)

從以上比較結果可以看出,加入固定誤差的數據采用附加參數平差與原始CPⅢ觀測數據采用約束平差的平差結果極為相近,而加入固定誤差的數據采用約束平差與原始CPⅢ觀測數據采用約束平差的平差結果相差較大,特別是CPⅢ控制網的兩端相差較大；并且加入固定誤差的數據采用附加參數平差求得的固定誤差參數為2.09 mm,與設計加入的2 mm固定誤差接近。對平差模型中附加的參數進行統計檢驗,結果表明引入的附加參數合理。

4.2 附加比例誤差的計算比較

準備兩套試算數據,一套為原始CPⅢ平面觀測數據,另一套為對原始CPⅢ平面觀測數據加入5pp m的比例誤差的數據。分別采用經典約束平差方法和附加參數平差方法對兩套數據進行平差,平差結果比較分析如下。

加入比例誤差的數據采用約束平差方法和附加參數平差方法的平差結果比較如圖4所示。

圖4 不同方法的比較(四)

加入比例誤差的數據采用附加參數平差,原始CPⅢ觀測數據采用約束平差,平差結果比較如圖5所示。

圖5 不同方法的比較(五)

加入比例誤差的數據采用約束平差,原始CPⅢ觀測數據采用約束平差,平差結果比較如圖6所示。

圖6 不同方法的比較(六)

從以上比較結果可以看出,加入比例誤差的數據采用附加參數平差與原始CPⅢ觀測數據采用約束平差的平差結果相近,而加入比例誤差的數據采用約束平差與原始CPⅢ觀測數據采用約束平差的平差結果在CPⅢ控制網的兩端相差較大；并且加入比例誤差的數據采用附加參數平差求得的比例誤差參數為5.8×10-6,與設計加入的5×10-6比例誤差接近。對平差模型中附加的參數進行統計檢驗,結果表明引入的附加參數合理。

5 結論

在高速鐵路CPⅢ控制網測量中,全站儀的距離觀測值不可避免的存在系統誤差,如果CPⅢ控制網距離觀測值存在系統性的固定誤差或比例誤差,在平差中不考慮其影響,按經典約束平差的方法進行平差,則所得的平差估計參數不是最優線性無偏估計量。對于存在系統誤差的CPⅢ控制網,可預先估計可能存在那些類型的系統誤差,通過引入附加參數進行自動補償,則平差結果更為可靠。

[1]TB10601—2009 高速鐵路工程測量規范[S]

[2]黃維彬.近代平差理論及其應用[M].北京:解放軍出版社,1992

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