伴隨方法用于葉輪機優化設計的回顧與展望

季路成 ，李偉偉 ，伊衛林

（1.北京理工大學 宇航學院，北京 100081；2.中國科學院工程熱物理研究所，北京 100190；3.中國科學院研究生院，北京 100190）

伴隨方法用于葉輪機優化設計的回顧與展望

季路成1，李偉偉2，3，伊衛林2

（1.北京理工大學 宇航學院，北京 100081；2.中國科學院工程熱物理研究所，北京 100190；3.中國科學院研究生院，北京 100190）

3維反問題方法停滯不前，葉輪機設計越加倚重基于C F D分析的計算機優化。然而，隨著設計要求越發精細、設計參數越多，優化計算量越顯著增加，一般優化方法越難以滿足工程設計實踐要求。因而，計算量與設計變量數目近乎無關的伴隨方法一經引入便受到航空領域深刻關注。以伴隨方法發展過程中順次突破的關鍵問題為主線，從流動領域引入伴隨方法到外流領域的研究與應用，再到內流領域的探索嘗試，回顧了國內外關于伴隨方法的研究成果；在此基礎上，面向深化在葉輪機設計領域的應用，對伴隨方法進一步發展做出了展望。

伴隨方法；優化；葉輪機；幾何外形；氣動參數

0 引言

隨著對相關流動認識的豐富以及設計手段由1維、2維向3維方法發展，設計過程對于經驗關系的依賴越來越少，而需要操作的設計變量卻越來越多。基于反問題的3維設計仍然不能擺脫依賴經驗或設計參數過多的局面，加之縮短設計周期、提高設計自動化的需求，使得基于CFD的葉輪機優化設計愈發成為工程應用主流方向之一，進展顯著。與此同時，為提高負荷能力而增加的幾何復雜度使得葉片設計變量數目劇增，如冷卻葉片、抽吸氣控制葉片等；實施非定常設計以綜合解決氣動/氣彈/噪聲問題的研究成為主流，設計要求愈發精細，設計變量數目進一步增多，目標函數更復雜，優化計算量因而飛速增長，常規優化方法已越來越難以滿足工程設計要求。根據尋優機制不同，優化算法分為遺傳算法、模擬退火算法等隨機類方法和有限差分法、線化方法、伴隨方法等梯度類方法。其中伴隨方法具有明顯優勢[1]：針對微分方程控制的優化問題，不管設計變量數目多少，采用伴隨方法優化只需求解1套控制方程（對應設計變量、目標場）及1套規模相同的伴隨方程（對應伴隨變量、伴隨場），單次循環計算量僅相當于2倍的單一控制方程求解。尤其對流場優化問題，精細設計所面臨的設計變量數目很龐大，因此，伴隨方法一經提出便備受關注。

綜上所述，面對伴隨方法計算量與設計變量數目幾乎無關的性質以及葉輪機日益復雜精細導致常規優化方法很難滿足需求的現狀，如果能將二者結合，發展葉輪機伴隨優化方法，3維、非定常等高維設計技術將可能真正步入工程應用。

1 伴隨方法介紹

在流體力學領域，如果將目標函數I表示為流動變量U和設計變量α的2元函數

而將描述和控制流動的偏微分方程組（Euler或N-S方程）統一表示為

其中，3 維流動中流動變量 U=（ρ,ρvx,ρvr,rρvθ,ρe）T，設計變量 α=（α1,α2,…αn）T控制著流場幾何邊界形狀，為設計變量數目。則優化問題可描述為

對該優化問題，如果采用傳統梯度類方法，需計算目標函數對所有設計變量的梯度值

當流動控制方程（式（2））求解收斂后，梯度表達式（式（4））右端項中 ?I/?U 和 ?I/?αi均可利用解析方法或復變函數方法求出，不需額外迭代計算。而計算?U/?αi，則應針對每個設計變量，額外求解1套流動方程（式（2））（對設計變量αi施加小擾動生成新網格，再次求解式（2）得到新流場，然后利用有限差分法計算?U/?αi）；或者利用線化方法額外求解式（5），以獲得 ?U/?αi

可見，針對每個設計變量，則無論是有限差分還是線化等傳統梯度類方法，均需額外疊代求解1套方程（式（2）或式（5）），一旦設計變量數目增多，計算量將顯著增加。

伴隨方法則不同，它并非直接通過式（4）計算梯度，而是回避求解?U/?αi問題，利用拉格朗日算子λ將式（5）帶入式（4），構造極值問題

其中，3 維流動中 λ=（λ1，λ2，λ3，λ4，λ5）T，又稱伴隨變量。改寫式（6）式為

如果伴隨變量λ滿足

則式（7）化簡為

該梯度表達式（9）不再依賴 ?U/?αi，故只需求解1套流動方程（式（2））和規模相同的伴隨方程（式（8）），即可通過式（9）計算目標函數對所有設計變量的梯度值，其中 ?I/?αi和 ?N/?αi可利用復變函數法高效算出，單次循環優化計算量相當于2倍流動方程求解計算量，而與設計變量數目基本無關。采用最速下降法等算法經過多次循環獲得尋優收斂解。

2 外流領域伴隨方法

伴隨方法最早由Pironnea[2]在1974年引入流體力學領域。此后，伴隨方法在外流領域逐步得到發展和應用。Jameson[3]從工程實用原則出發，引入形狀控制理論，把物面邊界作為控制函數，基于拉格朗日觀點將線化流動方程作為約束引入目標函數對設計變量的梯度表達式中，將設計問題轉化為控制問題，其推導過程簡單、物理意義清晰。同時，Giles[4]從純數學角度出發，基于對偶觀點導出1套與流場方程互為“對偶”關系的伴隨方程，因其偏重數學理論使其應用不如前者廣泛，但其研究無疑為伴隨方法應用奠定了堅實基礎：通過探討準1維歐拉流動的伴隨方程的性質，利用格林函數獲得伴隨方程的解析解，指明激波處伴隨變量連續且梯度為零，數值計算時可不用額外給定激波處相應的伴隨邊界條件，由此得到的數值解與解析解恰當吻合。

伴隨方程及其邊界條件是伴隨方法的核心，由于流動方程具有高度非線性，借助線化方法提出了連續型伴隨法和離散型伴隨法。前者簡潔直觀，數值解法與流動方程相似，編碼簡單；后者從離散形式流動方程出發，推導過程和最終結果都對離散格式有依賴。Nielsen[5]首先完成手工編碼，其工作復雜繁瑣。采用自動差分軟件可以快速生成代碼，效率高且準確。另外，采用離散型伴隨法可獲得更為精確的梯度值[1]，并且可用于誤差分析甚至自適應網格生成。然而就結果而言，目前關于2類方法孰優孰劣尚無定論。

在 Jameson、Giles、Nielsen等學者努力下，在過去的20～30年間，在流動模型方面，已經先后完成了對跨聲速全速勢方程、Euler和N-S方程的伴隨方法建模工作；在設計變量方面，外流領域伴隨方法研究僅涉及幾何變量，但應用廣泛，從單純翼型、翼身組合體乃至全機優化設計，成功地提高了飛行器的性能。例如：文獻[1]對全機在3個工況點（飛行馬赫數分別為0.81、0.82、0.83）和保持升力系數不變（升力系數分別是0.35、0.30和0.25）的情況下進行優化，阻力系數分別從1.00257、1.00000 和 1.08731 下降到 0.85413、0.77915和0.76863，證實了伴隨方法優異的設計能力。

近年來，將伴隨方法與非定常流場分析相結合進行非定常優化設計是重點方向。Nadarajah[6]較早基于時間精確的2維歐拉方程推導出時變伴隨方程，在保持時均升力系數不變進行伴隨優化時，RAE 2822翼型時均激波阻力系數下降57%，初步顯現了非定常優化潛力。為減少計算量，同時考慮到線性諧波方法易失穩，Thomas[7]借助Hall的諧波平衡法建立了伴隨優化模型。與時間精確法相比，僅計入1階諧波時，其計算量可少至3個相位處的3套定常流動振幅方程求解，且梯度值計算精度很高。Nadarajah[8]利用McMullen的非線性頻域法完成了機翼3維非定常優化，取得了阻力系數降低5.65%的好效果。時間精確譜方法可在窄頻譜內高效計算周期性流動。利用譜方法和離散型伴隨法發展的優化算法，Choi[9]對直升機旋翼進行優化設計后，推力增大了7%，而扭矩下降了2%。Mani&Mavriplis[10]提出了1種較通用的伴隨優化算法，適于多學科耦合優化設計，其在翼型顫振研究中引入固體力學方程，由非定常2維流-固耦合方程組（流動不考慮黏性）導出伴隨方程，實施優化后成功抑制了顫振。總之，在外流非定常伴隨優化領域，從計算效率和穩定性看，主要采用諧波平衡法、非線性頻域法和時間精確譜方法等，在改善翼型或機翼氣動、氣彈、噪聲等性能中發揮了重要作用。

值得關注的進展是，在被用于流場優化的同時，離散型伴隨法獲得的伴隨變量還可用于分析因網格、差分格式的截斷誤差等產生的目標函數數值誤差，由此進一步可發展1種自適應網格算法，診斷網格質量以提高求解復雜流場的分辨率。Gile[11]以2階精度有限元法分別求解2維泊松方程、1維亞聲速和無激波無黏跨聲速流動，利用伴隨法分析和校正目標函數誤差，使得目標函數的計算精度提高到4階。Nielsen[12]對比了基于流動特征捕獲和基于伴隨方法的自適應技術，如圖1所示。在來流馬赫數為3.0的案例中，后者以前者1/10的網格數獲得了相同精度的結果。雖然伴隨變量用于流場程序的誤差評估和自適應網格的研究取得了一定成績，但總體仍處于初級階段。

國內在外流領域對伴隨方法的研究起步較晚、成果較少。喬智德團隊[13]就翼型、機翼氣動外形分別開展了基于歐拉和N-S方程的正問題優化/反問題設計，在有升力約束條件下實現了減阻目的；唐智禮[14]最近研究了伴隨方法和對策理論的耦合問題，并得到初步證實，為提高伴隨法在多目標優化設計有效性提供了方向。

3 內流領域伴隨方法

由于內流領域CFD發展相對困難與滯后，尤其葉輪機內流領域在20世紀80年代到90年代初仍依賴S1/S2迭代設計的局面，以及鑒于90年代中期伴隨方法在外流領域的應用取得重大進展，自90年代后期開始伴隨方法被引入內流領域。Ioll[15]以1維拉瓦爾噴管無黏流動為例，給定流向壓力分布利用伴隨方法進行優化設計，并討論了伴隨方程的性質。Liu[16]分別發展了單葉排無黏和有黏伴隨優化方法，并對某渦輪葉柵在進、出口熵增最小和給定出口氣流角的約束下進行了伴隨優化設計。總的來看，這一時期，由于認識局限以及葉輪機幾何、流動條件極其復雜（扭、掠、彎、多排、變工況、多目標、多學科等），葉輪機伴隨優化方法并未在短期內獲得重大突破，而是較長時間停留在單葉排研究水平，尚未突破多排問題而進入工程實用——建立恰當的伴隨場排間界面處理方法是解決伴隨方法由單排葉片向多葉片排拓展的關鍵。進入21世紀，Wang&He[17]意識到該問題的重要性，并基于對葉輪機CFD和伴隨方法的深刻認識，擺脫傳統流場排間界面處理方法的束縛，于2008年創新性地建立了伴隨場排間摻混界面方法，首次以某4級軸流壓氣機為例實現了多葉排定常氣動優化設計。該設計選取1023個設計變量，在單機上僅耗時11天、進行29個優化循環后獲得了收斂解，其設計點絕熱效率提高了2.47個百分點。在這個過程中，計算量的優勢非常明顯，伴隨法總計算量僅相當于計算N-S方程58次，而用有限差分的梯度法則需計算N-S方程29667次。Wang&Li[18]利用伴隨方法，以進、出口質量流量和壓比為約束，對2級渦輪實施以進、出口熵增為目標函數的優化設計和給定目標壓力分布的反設計，經過40次優化循環后成功消除了第1級轉子的流動分離，如圖2所示。

將伴隨方法引入葉輪機非定常設計是下一階段的研究熱點。Duta[19]采用Giles發展的線性諧波方法導出伴隨方程，初步證實可用于尾跡裁剪以改善下游葉排的強迫響應，計算效率較高。然而，線性諧波方法計算流動容易失穩，所以Campobasso分別利用GMRES算法和RPM算法來增強線性諧波方法計算的數值穩定性，但由此增加了計算量，一定程度降低了線性諧波法的高計算效率。2008年He[20]結合Hall的諧波平衡法改進了早期非線性諧波方法，借助諧波系數間的交叉耦合增強諧波的非線性以阻止數值計算的線性失穩，在流動存在分離時仍可獲得周期性諧波解而未發散，同時消除了確定應力項建模問題，使得方程形式更為簡單和一致。2009年，Wang&He[21]將伴隨方法與此改進型非線性諧波方法相結合，開展了單排葉輪機氣動彈性優化設計研究，針對NASA 67號單轉子，在不降低氣動性能前提下，其改型設計增強了葉片氣動阻尼，葉片強迫響應降低了25%。

在國內，西安交通大學豐鎮平教授最早開展了伴隨方法優化研究，利用NUMECA、CFX等商業軟件進行流場分析并與伴隨方程解相結合，對渦輪葉柵展開了系列優化設計研究[22]，取得了很好效果。季路成團隊近年來也一直發展葉輪機伴隨優化方法，目前已實現自編代碼的多排定常伴隨方法氣動優化設計；針對某1+1對轉渦輪前3排葉片改型設計，選取264個設計變量且保持流量和壓比不變的情況下，經過約20個優化循環收斂，將已經過精細設計的絕熱效率提高了0.8%。

4 面向葉輪機的發展展望

應對航空發展挑戰，對葉輪機性能要求日益提高，體現在設計實踐中，一方面，傳統氣動設計愈發精細；另一方面，出于結構完整性、噪聲控制，葉輪機流動非定常屬性越來越不可忽視，多目標、多學科折衷成為必然。這些均使得設計變量數目迅速增加，伴隨方法因而將在葉輪機設計方面有著更大的發展空間，體現在仍需要解決如下問題。

（1）設計變量需要由幾何參數拓展到包含氣動參數。

迄今為止，幾乎所有內流、外流領域的伴隨方法研究中的設計變量均為幾何參數，然而，全面的葉輪機應用還需考慮2類情況：渦輪冷卻或風扇壓氣機吹/吸氣控制，在不考慮小孔精細流動的優化設計情形下，設計變量將體現為邊界上的小孔流量及其總壓、總溫參數等氣動參數；純氣動設計變量，如排間環量（周向速度），這是在3維和非定常層次上松弛2維設計約束的優化設計方向。這2類情況的共同點是設計變量已經由純幾何參數發展到氣動參數，伴隨方法應該有此拓展才能在提高葉輪機性能方面發揮更大作用。

（2）實現全局尋優能力。

全局尋優能力是評價優化方法的關鍵性能指標。不管優勢多么顯著，伴隨方法屬于梯度類優化方法，因此本質上其尋優的局域性就在所難免。分析表明，已做的尋優工作通常局限于單一極值附近，這種“單一”由流動本身保證，或由參數化方式和范圍限定，導致深入應用于葉輪機內流顯然缺乏可靠性：扭、掠、彎同時存在，使葉片流動具有全3維性，還有葉片排之間相互作用、葉片表面抽吸氣、不同工況以及氣動、氣彈、噪聲等多學科、多目標優化問題，出現了“實現同一設計目標常常可以通過不同參數優化獲得”的風險。因此，面對有調控效果的設計參數越來越多的局面，全局尋優能力的伴隨方法對葉輪機日益重要。

（3）多排葉輪機非定常流動伴隨優化能力。

氣動/氣彈/噪聲優化設計越發成為迫切的發展方向，緣線匹配[23]已經為此準備了重要的設計自由度，但仍缺乏有效的多排葉輪機氣動/氣彈/噪聲綜合優化技術。發展多排葉輪機非定常流動伴隨優化能力是首要研究重點。實際上，多排葉輪機非定常流動數值模擬技術已較為成熟，分為時域和頻域2大類方法，其中在一般葉片通過頻率為基頻的周期性流動求解中，頻域方法具有顯著優勢。因而最現實的多排葉輪機非定常流動伴隨優化技術應該基于伴隨方法與非定常流動非線性頻域解的結合，其最大難度在于發展振幅方程伴隨場排間界面高精度守恒處理方法。

（4）多學科強耦合的伴隨方法。

如（3）中所述，氣動/氣彈/噪聲優化設計越來越成為迫切的發展方向，但迄今初步的葉輪機內多學科伴隨方法研究均采用弱耦合的方式，為多學科伴隨優化帶來不確定性，葉片氣動/氣彈優化設計，雖然其基于弱耦合成功改善了強迫響應，但是基于強耦合的伴隨優化設計更受期待。在外流領域，Mani&Mavriplis提出了適于多學科的伴隨優化方法，率先推導出2維非定常流-固耦合方程組及其伴隨方程，通過強耦合優化成功抑制了顫振。為葉輪機領域開展多學科強耦合伴隨方法研究指明了方向。

（5）伴隨方程數值穩定性。

不管是連續型伴隨法還是離散型伴隨法，導出的伴隨方程均為線性性質，其中伴隨方程的系數依賴于流動變量，當流場存在大分離，即在強非線性作用時，伴隨方程的數值求解易發散。雖然采用高精確度的流場求解器[18]，在渦輪轉子葉片存在大分離時流場計算較為準確，迭代伴隨方程仍能收斂，但這并不總是有效的；從伴隨方程及其數值計算本身解決其穩定性問題，可極大拓寬伴隨法的應用范圍，但這需要進一步研究。

5 結束語

鑒于3維反問題設計仍難突破，基于CFD分析模式的設計與快速優化技術相結合是必然選擇。然而，設計變量猛增，需要折衷的目標越來越多，無疑給計算量與設計變量數目基本無關的伴隨方法帶來了發展空間。隨著設計變量由幾何參數完成向包含氣動參數的拓展、全局尋優能力的實現、多排葉輪機非定常流動伴隨優化能力的實現、多學科強耦合伴隨方法等6個方面的突破，伴隨方法將以類似“反設計”的模式根本改變了葉輪機設計模式，成為葉輪機設計技術領域發展至今所剩無幾的制高點之一。

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Retrospect and Prospect for Adjoint Method Applying to Turbomachiney Optimization Design

JI Lu-cheng1,LI Wei-wei2,3,YI Wei-lin2
（1.School of Aerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China;2.Institute of Engineering Thermophysics,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China;3.Graduate School of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China）

As no breakthrough occurs in three-dimensional （3D）inverse problem,the 3D design of turbomachinery increasingly depends on computer-based optimizations.However,with the design requirements becoming more sophisticated,more design parameters used lead to a more remarkable increase in computation cost,and the general optimization methods become much more difficult in meeting the requirements of engineering design practice.Thus,the adjoint method attracted much more attention in aeronautic field because its computation cost has almost nothing to do with the number of design variables.The development of adjoint method was reviewed in external flow and then internal flow.On this basis,for deepening its researches and applications in turbomachinery,the suggestions on further development about the adjoint method are presented.

adjoint method;optimization;turbomachinery;geometric shape;aerodynamic parameter

季路成（1970），男，教授，研究方向為葉輪機氣體動力學、CFD、能源動力機械、宇航能源動力等。