圓形斷面臨界水深簡化近似計算方法

劉 剛,滕 凱

(1.齊齊哈爾市防汛指揮部辦公室,黑龍江 齊齊哈爾 161006;2.齊齊哈爾市水務局,黑龍江 齊齊哈爾 161006)

由于圓形斷面具有結構簡單、水力學及力學條件好等優點,因此該斷面是城市供排水及水利水電工程中較常采用的斷面形式。而在圓形斷面的工程設計中,臨界水深則是水力計算中的一個關鍵水力要素。由于圓形斷面臨界水深計算需完成隱含的高次三角函數求解,無法直接求解,傳統的圖表及試算法[1-4]不但過程復雜而且精度不高,為了尋求一種較好的獲解方法,近年來國內外學者開展了大量的研究工作,并提出了相應的計算方法。文獻[5]、[6]根據牛頓迭代法給出了迭代計算式;文獻[7]～[13]采用優化擬合及回歸分析法提出了近似計算式。由于迭代法不夠簡捷,近似計算式或是公式復雜不便應用,或是公式雖簡單但計算誤差較大。為進一步簡化圓形斷面臨界水深的計算過程,提高求解成果精度,本文采用優化擬合的方法,以標準剩余差最小為目標函數,獲得了一種表達式較為簡捷、計算精度較高的近似公式。

1 圓形斷面臨界水深基本方程

圓形過水斷面(見圖1)臨界流的基本方程為:

圖1 圓管斷面

圓形過水斷面的水力要素:

式中:Q為斷面過水流量(m3/s);α為流速分布不均勻系數(通常取1.0);g為重力加速度(m/s2),通常取9.81 m/s2;Ak為臨界流時的過水斷面面積(m2);Bk為臨界流時的水面寬度(m);hk為臨界水深(m);θk為臨界流時的圓心角(rad)。

2 圓形斷面臨界水深擬合公式

2.1 擬合公式的建立

將式(2)～(4)代入式(1)經整理即可獲得圓形斷面計算臨界水深的基本公式為:

式中:k為無量綱參數;x為無量綱臨界水深。將式(6)代人式(5),經進一步整理可得:

式(7)為含有高次反三角函數的超越方程,無法直接獲解。為避免利用式(7)的超越方程求解問題,現設假定:x=f(k)函數在工程實用范圍內[11](即0.05≤x≤0.85)可以替代式(7),考慮式(7)中x與k的對應關系,展繪x～sink關系曲線,經數值相關回歸分析,并以標準剩余差最小為目標函數,即

經逐次逼近擬合即可獲得如下替代函數,即

式中:β為中間變量(rad);d為圓形斷面直徑(m)。

2.2 擬合公式的精度分析

2.2.1 本文公式誤差計算

為比較式(8)與式(7)的擬合精度,考慮在工程實用范圍內(即0.05≤x≤0.85),取不同的θi值即可由式(5)及式(6)分別計算出與之相對應的ki及xi,再將ki代入式(9)求得 βi,進而由式(8)求得 x′i,并由下式完成式(8)替代式(7)的擬合相對誤差及標準差的計算:

式中:εi、S分別為擬合相對誤差及標準差;n為擬合計算的點數。

計算結果見表1所示。

表1 式(8)替代式(7)誤差計算結果

2.2.2 與其他典型公式的精度比較

為比較本文公式的優越性,在現有圓形斷面臨界水深計算方法中,從公式形式、通用性及計算精度三個方面進行綜合篩選,所選公式見表2所示。

表2 圓形斷面臨界水深公式形式、最大相對誤差及標準剩余差比較

由表2可見,就公式表達形式及計算精度而言,文獻[8]精度最好,但公式復雜,且為分段函數,不便實際應用;文獻[10]、[12]公式雖然不分段,但表達式仍顯繁復;文獻[7]、[11]及本文相對較簡單,但文獻[7]和[11]最大擬合誤差相對較大,分別為4.48%和0.85%,而本文僅為0.55%,分別較文獻[7]和[11]減小 88%和35%;文獻[7]和[11]的標準差分別為4.654×10-3和3.382×10-3,本文僅為2.196×10-3,分別為文獻[7]和[11]的47%和65%,本文公式在表達形式及計算精度上具有明顯的優越性。

3 應用舉例

選文獻[11]算例:某工程引水隧洞的設計直徑分別為15 m和3 m,對應的設計過水流量分別為500 m3/s和8 m3/s,試計算洞內的臨界水深值。

再將β=0.22947(rad)代人式(8)即可求得 hk值,即:

hk=1.87dsin(β+0.00247)=6.445 m(精確解為6.428 m,相對誤差為0.26%)

采用同樣算法可求得當r=1.5 m,Q=8 m3/s時,hk=1.218 m,精確解為1.213 m,相對誤差為0.41%。

4 小 結

本文針對目前圓形斷面臨界水深計算方法存在的問題,通過采用優化擬合的方法,經逐次逼近計算,獲得了公式表達形式相對簡單且具有較高擬合精度的替代函數,計算方法簡捷,在工程實用范圍內,計算誤差不超過0.56%,可在實際工程的設計中推廣應用。

[1]成都科學技術大學水力學教研室編.水力學[M].北京:人民教育出版社,1980.

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[3]汪胡楨.水工隧洞的設計理論和計算[M].北京:水利水電出版社,1990.

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[6]張寬地,呂宏興,趙延風.明流條件下圓形隧洞正常水深與臨界水深的直接計算[J].農業工程學報,2009,25(3):1-5.

[7]華東水利學院.水工設計手冊[M].北京:水利水電出版社,1986.

[8]孫建,李宇.圓形和U形斷面明渠臨界水深直接計算公式[J].陜西水力發電,1996,12(3):39-42.

[9]王正中,陳 濤,萬 斌,等.圓形斷面臨界水深的新近似計算公式[J].長江科學院院報,2004,21(2):1-2.

[10]文 輝,李鳳玲,彭 波,等.圓管明渠臨界水深的直接近似計算式[J].人民黃河,2007,29(4):67-68.

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[12]李鳳玲,文輝,彭波.圓形過水斷面臨界流的近似水力計算[J].人民長江,2008,39(11):77-78.

[13]戴菊英,李繼偉,蘇丹.圓形斷面臨界水深計算公式探討[J].云南水力發電,2009,25(5):38-39.