具連續變量高階中立型差分方程的漸近性

孫 靜,劉志民

（河北工程大學 理學院,河北 邯鄲 056038）

隨著醫學,生物數學,現代物理等自然科學和邊緣學科的發展,出現了許多由差分方程描述的具體數學模型。近年來,在具有離散變量的差分方程的解的振動性研究方面的論文比較豐富[1-3],而具有連續變量的高階差分方程漸近性的研究還不多,文獻[4]主要研究了一類高階方程的振動性,且給出了非振動解的漸近性的一個充分條件,嚴秀坤在文獻[5]中以離散Knesor定理為基礎討論了一類高階變系數非線性中立型差分方程的漸近性,本文應用反證法和數學歸納法,考慮具有連續變量的高階差分方程的漸近性。

1 基本引理

式中 τ＞0是步長。

對于方程（1）,

令

函數{y（t）}稱為方程（1）的解,如果 y∈C（[t0-δ（t0）,+∞）,R）,當 t≥t0時,{y（t）}滿足方程（1）。

首先給出下列條件:

（A）uf（u）＞0,u≠0

（B）對某個 t≥t0,有

（C）0≤q（t）≤1

引理1 若{x（t）}是方程（1）的一個有界最終正解,設條件（A）和（C）成立,則當 d是奇數時

則當d是偶數時

2 主要結果及其證明

證明不妨設{x（t）}是方程（1）的一個最終正解,則存在充分大的自然數t1≥t0,使得式（3）成立,又由條件（A）可知

成立。因為d是奇數,由引理1可知式（3）和

成立。

由Δτz（t）＜0知{z（t）}最終單調遞減,當 t→+∞時,{z（t）}存在有限的非負極限;由條件（C）和式（2）知,{x（t）}也存在有限的非負極限l1,即

由于函數f（u）是單調非減的及條件（A）,有

從而由方程（1）有

將上式的兩邊對n從n1到n求和,得

由條件（B）知

當{x（t）}是方程（1）的最終負解時,可同理證明。證畢。

證明不妨設{x（t）}是方程（1）的一個最終正解,則存在充分大的自然數t1≥t0,使得式（3）成立。因為d是奇數,由引理1可知式（3）和式（5）成立,再由上面定理可知,式（6）成立。

從而由方程（1）有

類似于定理2的證明,可知最終有

當{x（t）}是方程（1）的最終負解時,可同理證明。

定理3 若{x（t）}是方程（1）的有界非振動解,設條件（A）成立,且 d是偶數,則 t→∞時,{x（t）}收斂于某有限數值。

證明不妨設{x（t）}是方程（1）的有界正解,則由引理1得Δτz（t）＞0最終成立。所以{z（t）}是最終單調遞增的,又因為{x（t）}有界,因而{z（t）}有界,所以 t→+∞時,{z（t）}存在正的有限極限,從而{x（t）}存在正的有限極限。

當{x（t）}是方程（1）的有界負解時,可類似證明{x（t）}存在有限的負極限。證畢。

3 結論

[1]韓振來,李秀珍,從今明,等.一類具有連續變量的三階非線性時滯差分方程的振動性判據[J].濟南大學學報:自然科學版,2003,17（4）:334-336.

[2]孫書榮,韓振來.一類具有連續變量的二階中立型差分方程的振動性[J].工程數學學報,2005,22（5）:943-946.

[3]劉志民,孫靜.具有連續變量二階中立型差分方程的振動性及其有界解[J].河北工程大學學報:自然科學版,2009,26（2）:109-110.

[4]唐清干,曾玲.高階中立型差分方程的振動性及其非振動解的漸近性態[J].數學雜志,2000（20）:207-210.

[5]嚴秀坤,張卓飛.高階非線性中立型差分方程的漸近性態[J].湘潭大學自然科學學報,2006,28（1）;20-23.