線性功率放大器模型設計及其系統辨識

謝耀，李久芳

(中國電子科技集團公司第四十五研究所，北京 101601)

線性功率放大器，它是以功率運算放大器為核心的功率驅動模塊，因此它的設計和計算類似于一般的運算放大器，當然在采用了擴展電流后級驅動時，同樣也可以按一般運算放大器的“虛地”和“虛斷”概念來計算。在一個運算放大器、功率放大器、電流電壓反饋等環節組成的復雜系統中，要抓住主要環節進行簡化等效，切不可對每個環節建模計算，那樣只會使模型建立復雜而難以實現，等效的環節必須表征它的特性。這里我們只探討一般原則如何構建一個完整的系統模型，并對此進行分析計算來辨識整個系統的特性！

1 系統數學模型

數學模型包含驅動器、電機、機械負載、反饋環路等，由這幾個部分組合成整個系統的傳遞函數，然后利用MATLAB對傳遞函數的方框圖進行分析辨識。在我們做傳遞函數時，為了分析的方便，按照功能模塊來計算傳遞函數，每個模塊的傳遞函數代表一個特定的含義，這樣我們就可以一目了然的對整個系統做清晰的概括，比如前置低通濾波、電壓和電流放大與反饋、電機、機械負載等傳遞函數，通過仿真計算就可知道設計中需要修改矯正哪些環節，以便達到最佳的系統運行狀態。

1.1 線性放大器數學模型

圖1是一種線性功率放大器原理圖的簡圖，我們以直線電機的驅動為例，為了分析方便對實際原理圖進行了簡化，但這并不影響對系統數學模型的建立。

圖1 線性功率放大器原理圖

在圖中由R0R1C0組成了輸入端的T型濾波器，可以較好的對高頻干擾信號進行抑制，C1C2R4R5組成比例積分環節，可以改善動態性能和較好的穩態電壓輸出，R3R7組成電流反饋環節，可以對電流進行深度負反饋，從而穩定給定的輸出電流，以控制電機的輸出力矩。功率放大器以PA12為例，它具有較高的功耗，最高可達120W，峰值電流可達10 A以上，R6R'6為限流電阻，目的是對驅動器進行限流保護，包含在反饋環節的節點內部，所以在數學模型中與它是沒有直接關系。

根據運算放大器基爾霍夫電流疊加定律的原理有：

設直線電機的內阻為Rm、電感為Lm、反電動勢常數為Ke，在計算中忽略反饋電流Ifs(s)的影響，既可以認為：I0(s)≈Im(s)

則根據電流電壓方程可以直接按積分算子S寫出如下幾組電流電壓方程：

（其中Z-1(S)是C1、C2、R4、R5回路等效阻抗算子的倒數）

由式（2）、（6）、（7）可寫成如下表達式：

即有：

設直線電機的位移為X(t)，

根據電壓平衡方程可以寫出如下表達式：

即有：

其中，E(s)=Ke·X(s)代表了電機的反電動勢傳遞函數，它一個與位移相關的函數，位移大小與反電動勢成正比。一般情況下，由于Rm要遠遠大于電流采樣電阻R7，那么τm就完全反應電機的電感時間常數了。

1.2 直線電機系統數學模型

一般情況下，直線電機系統可以等效成一個簡單的機械模型。假如系統運動部分質量是m，電機的推力為F(t)，機械系統的彈性系數為Km，黏性阻尼系數是Kc，由于機械運動負載為一個貫性負載，因此機械運動可以等效成單一自由度的彈簧-質量-阻尼器的機械位移運動，如圖2所示，圖（a）是它的運動力學模型，圖（b）是它的等效模型圖。

圖2 直線電機機械系統模型

則直線電機的力平衡方程可以寫成如下表達式：

我們知道直線電機的推力F(t)與電機線圈中的電流是一個接近線性的比例關系，設力常數為Kf，則有：

即：

1.3 系統的傳遞函數方框圖

由式（8）放大器輸出電壓與給定輸入電壓傳遞函數、式（9）放大器輸出電流與電壓的傳遞函數、式（11）電機位移與驅動電流的函數，我們可以寫出系統的傳遞函數，為了討論方便，我們不再進行傳遞函數的簡化計算，事實上做這樣的簡化計算也是得不償失且沒有必要的，過程繁雜，我們直接繪出系統傳遞函數結構圖，對其結構圖進行考察。因為直線電機的電流大小反應驅動力矩的大小，驅動力與速度、加速度等關聯，為此我們將研究輸出電流的特性與所給定的輸入電壓之間的關系。從下面我們會發現系統傳遞函數全面表征了電氣、機械等關鍵環節的特性，比如電流、電壓、時間常數、質量、位移等物理量，方框圖如圖3所示。

圖3 系統傳遞函數方框圖

2 采用MATLAB進行分析仿真

2.1 最優化參數選定

知道了系統的傳遞函數方框圖，我們就可以直接在MATLAB上仿真，已知：

且機電、負載參數如下：

則可得：

采用階躍輸入，通過MATLAB仿真，我們可以看到輸出有較大的超調量，如圖4的1號曲線。

圖4 不同時間常數的階躍響應曲線

過大的超調是我們不希望看到的，我們希望減少超調量的同時不要使上升時間下降太多，改變一組參數，取 R4=390 K ，C1=47 pF，C2=1000 pF，其它的參數不變。

則可得：

通過MATLAB仿真如圖4的2號曲線，我們可以看到雖然沒有了超調，但上升時間變慢，這也是我們不希望看到的，再次改變一組參數，取R4=510 K，C1=47 pF，C2=680 pF，其它的參數不變。

則可得：

通過MATLAB仿真，如圖4的3號曲線，我們可以看到，選定這組參數，不但上升時間有所減少，超調量也減少了許多，是一組比較理想的參數。

圖5是我們通過MATLAB仿真做出的幅頻特性和相頻特性曲線。

圖5 不同時間常數的幅頻和相頻特性曲線

2.2 結果分析

在階躍響應中，利用MATLAB上可以截獲到，圖4中 1號曲線，超調量 11.7%，上升時間101μs；2號曲線無超調，上升時間111μs；3號曲線超調量0.6%，上升時間87μs。在實際設計中，我們不要小看上升時間這20μs的變化，這些變化足以提高或者降低差不多1 kHz左右的帶寬性能！

在幅頻和相頻響應曲線中我們可以看到，也獲得了較好的特性，有不小于50~60°的相位穩定裕度角，帶寬達到了5 kHz。

利用MATALAB我們很容易的進行系統仿真辨識，極大地簡化了非常復雜的數學計算，在計算機的輔助設計中，通過優選配置、矯正等手段，能夠比較容易地建立最佳的控制系統。在采用階躍輸入和正弦輸入方式時，我們都做了具體的測試，通過實際測試也驗證了理論仿真與實際測試基本一致性，對實際測試的數據不再一一列舉。只要掌握了模型設計的傳遞函數、系統的機電參數等，就可以對一個系統加以評判！

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