帶有交叉杠桿的多元隨機波動率模型

劉 鑫，孟昭為

(山東理工大學理學院 ，山東淄博 255049)

在金融時間序列中，一元SV模型對時變方差的研究已經相當的成熟，把這些模型推廣到多元SV模型，研究分析多元金融時間序列的相關結構，然后把它們應用于投資組合的優化、風險管理以及衍生性商品定價等方面已成為現代計量經濟學最為關注的問題之一。對隨機波動率模型的多元因子建模，已經廣泛應用到對高維股票收益數據的復雜動態結構分析中。另一方面，在目前的文獻中，對帶有交叉杠桿效應的MSV模型的有效估計方法(或者非對稱性)的研究還很少。

本文研究的是一個帶有交叉杠桿效應的廣義MSV模型，并利用多步移動抽樣，提出了一個新的有效的MCMC算法。對SV模型運用MCMC方法，關鍵是從它們的完全條件后驗分布中有效地抽取潛在的波動變量的樣本。對一元波動變量來說在其他時刻的波動變量和其他參數給定的條件下，這一時刻的波動變量用單步移動抽樣很容易獲得。這就表示當用單步移動抽樣時，要多次重復使用MCMC算法進行抽樣，以獲得準確的估計。因此，本文依據近似線性高斯狀態空間模型提出了一個快速、有效的狀態抽樣算法。

1 帶有交叉杠桿效應的MSV模型

1.1 MSV模型的基本形式

一元杠桿SV模型的基本形式為

其中:

其中:yt表示在t時刻的股票收益;αt是對數波動的潛在變量;Nm(μ，Σ)是均值為μ，協方差陣為Σ的m維正態分布，把它擴展到MSV模型上時，令yt= ( y1t，…，ypt)'表示 P維股票收益向量;αt=(α1t，…，αpt)'表示它們相應的對數波動向量。

MSV模型的基本形式可以表示為

其中

Σ0第(i，j)個元素表示Σηη的第(i，j)個元素除以1 －φiφj，且滿足穩定條件

使得

對可識別的過程，αt的預測值可視為0。

令

其中

則MSV模型(1)～(4)的似然函數可表示為:

其中:

1.2 MCMC 方法

因為模型中含有很多的潛在變量αt，所以用它們去評估θ的似然函數或者一個高維的數值積分是非常困難的。本文通過貝葉斯方法，采用了模擬方法、MCMC方法，從后驗分布中抽取樣本，對模型中的參數進行統計推斷。

對θ的先驗分布，假設，

其中 Ba(aj，bj)和 IW(n0，R0)分別表示 Beta 分布和逆Wishart分布。

概率密度函數分別為

用方程(7)～(9)，在

的條件下，θ，()α的聯合后驗密度函數為

其中

把MCMC算法分成3步:

① 生成 α|φ，Σ，Yn;

② 生成Σ|φ，α，Yn;

③ 生成 φ|Σ，α，Yn。

在第①步中，可用2種方法從α的條件后驗分布中抽取它的樣本:一是單步移動抽樣，也就是t時刻，在其他時刻αj給定的條件下，抽取αt的樣本;二是多步移動抽樣，也就是在其他狀態變量為條件的情況下，一段一段地抽取狀態向量(αt，…，αt+k)的樣本。

生成α:首先把

分為K+1段

且

k的節點

是由

隨機生成，其中Ui是在均勻分布U(0，1)上產生的獨立隨機變量。這些隨機節點有一個優勢就是通過調節這些點去改變MCMC迭代的方式。這里k是一個調整參數，以獲得較少自相關的MCMC樣本。

在第 i組假設 ki－1=s，ki=s+m，考慮在其它狀態向量和參數條件的情況下，從它的條件后驗分布中進行抽樣，令

其中矩陣Rt表示當

時，

的一個choleski分解，且當

時，

為了對MH算法構造一個合適的分布，本研究著眼于擾動項

的分布，因為它可以派生出

其中

注意:Q是正定、可逆的。但是當m很大時，為求得mp個變量的多元正態分布的協方差陣，而必須求mp×mp階Hessian陣的逆，這需要花費很長的時間。為解決這一困難，筆者解釋方程(13)為來自一個輔助狀態空間的后驗概率密度函數，這樣僅需通過卡爾曼濾波和平穩擾動項求出p×p階矩陣的逆就行了。可以證明，f*是的后驗概率密度函數，可以從下面的狀態空間模型獲得:

②通過式(14)和(15)得到近似線性高斯狀態空間模型。

③在第2步把平滑擾動項應用于近似線性高斯狀態空間模型，計算后驗模式ξ^。

因此，這些步驟相當于用得分的方法去求條件后驗分布密度最大化。作為的一個初始值當前的樣本可以應用到MCMC方法中。如果近似線性高斯狀態空間模型可以通過模式獲得，則可以通過MH算法，從條件后驗分布抽取ξ的一個樣本，步驟:

1)建議用舍選法從

②以概率

2)生成Σ和φ。有關Σ和φ的抽樣方法非常直接。

生成Σ:

生成Σ的條件后驗概率密度函數為

其中

然后用MH算法，選定一個候選值

并且以概率

接受。

生成φ:

令Σjj為 p×p階矩陣且為Σ－1的第(i，j)塊，進一步令

b為一個向量，且它的第i個元素相當于B的第(i，j)個元素，則φ的條件后驗密度函數為:

其中

⊙表示Hadamard積。用MH算法從φ的條件后驗分布密度函數中抽取φ的樣本，在R的截尾正態分布上生成候選值

且以概率

接受。

2 結束語

本文主要是對交叉杠桿MSV模型的潛在波動向量用多步移動抽樣的方法提出一種有效的MCMC算法。為了抽取一組狀態向量的樣本，對目標似然函數的對數形式用泰勒展開，構造一個基于近似正態分布的MH算法。

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