基于激勵效用的理想解法

王金山，文 秘

(陸軍軍官學院，合肥 230031)

理想解法［1］是一種基于理想點的決策方法，其基本思路是定義決策問題的最優向量和最劣向量，計算各評價單元與最優向量和最劣向量的距離及相對貼近度，并以相對貼近度的大小進行決策。但理想解法存在“理想點”不理想，標準化不成比例，刻意避開主觀偏好的缺點。針對這些缺點，本文提出了基于激勵效用的理想解法，利用激勵效用化方法對決策矩陣進行處理，科學合理地描述了決策者的主觀偏好，提高了可信度，能更好地解決多指標決策問題。

1 激勵效用

1.1 激勵

按照美國心理學家費斯延格的公平理論［2］，對組織中員工的有效激勵源于員工個體對組織公平性的認識水平，即員工個體通過“橫向”、“縱向”2種形式的比較，來判斷其所得報酬的公平程度。同樣，決策者在2種方案中間作出選擇時通常面臨如下的激勵判斷:

1)QAIA=QBIB，表示2種方案是一致的，沒有激勵產生的偏好。

2)QAIA＞QBIB，A方案的相對收益要比付出多，產生了正向的激勵，決策者偏好于A方案。

QA為自己對A方案所獲報酬的感覺;IA為自己對A方案投入量的感覺。

“人們對激勵做出反應，其余內容都是對此的解釋”［3］，決策者的偏好是由于某種激勵產生的。激勵值的大小是一個很好的描述效用值的指標。

1.2 激勵指標的建立

激勵的大小除與收益、付出的相對大小有關外，還與他們的差值有關，因此令:

其中:p為激勵指標，刻畫激勵的大小;Q為對方案所獲報酬的感覺;I為對方案合理投入量的感覺。當p＜0為負向激勵，p＞0為正向激勵，p=0沒有激勵，p越大激勵程度越高。如果在方案確定之前不知道合理的投入量，可以用各個方案的投入量的平均值代表合理的投入量，即

1.3 激勵的效用

設效用函數為U(x)，由于激勵的方向不一致，因此采用歸一化的“S”型效用函數:

其中a、b為風險系數。可以定義，當激勵為1時，效用值為 0.9;激勵為 0時，效用為 0.5。即U(1)=0.9，U(0)=0.5。代入式(3)，可以求出:a=1，b=2.2。那么效用值就代表了決策者對于激勵為p時的偏好程度。可以看出在效用值0.5附近，不論正向激勵還是負向激勵的微小改變都將對效用值產生較大的影響，這符合人們風險厭惡的心理。

2 激勵效用理想解法

2.1 決策矩陣

設有m個方案n個決策屬性指標構成的矩陣X=(xij)m×n稱為決策矩陣。應該注意，決策屬性指標根據指標變化方向，大致分為3類:效益型(正向)指標、成本型(逆向)和中間型指標。效益型(正向)指標具有越大越優的性質，成本型(逆向)指標具有越小越優的性質，中間型指標具有越靠近理想值越優的性質。

2.2 決策矩陣的激勵化

在決策矩陣X=(xij)m×n中，根據決策屬性指標的類型，利用式(2)計算相應的激勵指標:

1)對于正向指標fj，取則:pij=

2)對于逆向指標fj，取則:pij=

3)對于中間型指標fj，取ˉx=理想值，則:

矩陣 P=(pij)m×n稱為激勵化矩陣，變換后pij∈(－∞，+∞)，正向指標、逆向指標及中間型指標均被轉化為正向指標。

2.3 激勵效用矩陣

將激勵化矩陣 P=(pij)m×n代入式(3)，進行效用化。

得到效用化矩陣 Y=(yij)m×n，滿足 0≤yij≤1，且是正向指標，最優值是1，最劣值是0。

2.4 各指標權重的確定

確定屬性權重的方法［4］可分為主觀賦權法、客觀賦權法兩大類。主觀賦權法如專家調查法、標定系數法、AHP法等，是根據決策者主觀偏好信息間接或決策者根據經驗直接給出屬性權重。客觀賦權法如熵權法、主成分分析法、多目標優化方法等，是根據決策矩陣信息，通過一定的數學模型計算出。記得出的權重為:

其中ωj表示第j個指標的權重。由此可以得到加權激勵效用矩陣

2.5 系統的理想解

很顯然，理想及逆理想效用為

其中:yj+為第j個指標的理想效用;yj－為第j個指標的最不理想效用。所以加權激勵效用矩陣的理想及逆理想方案分別為

2.6 各方案到理想及逆理想方案的距離

設系統i到理想系統Z+和到逆理想系統Z－的距離為Di+、Di－，則:

2.7 相對貼近度并排序

3 實例分析

假設某系統的配置有7種配置方案［5］，如表1所示，利用基于激勵效用的理想解法對7種配置方案的系統效能、費用、生命力、適應性、兼容性等指標進行綜合比較，得出最優的配置方案。

表1 各配置費方案的指標值及各指標值的權重

在決策指標中，f1、f4、f5、f6是正向指標，f2、f3是逆向指標。由AHP法得到各指標權重:W=(0.4 0.14 0.1 0.13 0.08 0.15)T。利用激勵化準則及式(4)得到激勵化效用矩陣:

計算各方案的相對貼近度:U+=(0.549 0.654 0.393 0.384 0.510 0.41 0.568)，各個方案的排序結果為:X2＞X7＞X1＞X5＞X6＞X3＞X4。由排序結果知，決策者應該采用方案X2進行炮兵系統的配置，與參考文獻［5］中的結果一致。然而，對加權效用矩陣Z=(zij)m×n各行求和，按總效用的大小進行決策，結果為X7。可以看出，基于激勵效用的理想解法不僅對傳統的理想解法進行了改進，而且克服了多品質因素間的干擾，比直接加權求總效用的決策準則更加優秀。

4 結束語

建立了基于激勵效用的理想解法，科學描述了主觀偏好，克服了理想解法“理想點”不理想，標準化不成比例，刻意避開主觀偏好的缺點，擴大了實用性。通過某系統配置方案選取的案例，可以看出該算法能更好地解決多指標決策問題。

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