楔形體入水復變邊界元數值仿真

魏照宇, 石秀華, 王生武

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楔形體入水復變邊界元數值仿真

魏照宇, 石秀華, 王生武

(西北工業大學 航海學院, 陜西 西安, 710072)

為了對楔形體常速入水的抨擊問題進行研究, 本文在數值求解過程中, 利用了以柯西積分為積分方程的復數變量邊界元法, 并使用了非線性自由面邊界條件迭代法, 結合淺水近似對射流進行了處理。利用3次樣條插值對自由面上的網格進行了劃分, 并詳細討論了網格、控制體大小的選取及一些相關數值方法, 得到了各種不同底升角楔形體入水物體表面的壓力分布和自由面隆起及射流。結果表明, 當底升角很小時物體表面壓力很大, 射流又細又長, 壓力分布在射流處接近零, 且沒有振蕩和毛刺, 說明這種射流處理方法能很好地模擬射流飛濺。

楔形體; 入水沖擊; 復數變量邊界元法; 非線性自由面邊界條件迭代法; 底升角

0 引言

高速流固耦合沖擊可以在很多應用中得到體現。被人們熟知的有甲板上浪、入水沖擊、波浪沖擊海洋結構物或者海岸、雷彈入水及船舶出水再入水的砰擊作用。剛性楔形體的常速入水對砰擊的研究具有重要意義。最早前蘇聯的Dobrovol′skaya基于自相似方法的速度勢理論求解了楔形體常速入水, 忽略了流體重力、水的可壓縮性及粘性, 得到了物體表面的壓力分布和速度勢[1]。Zhao和Faltinsen利用時域方法也求解了同樣的問題。他們利用更精細的方法, 在高性能計算機的環境下利用邊界元方法對此類問題進行了求解[2]。Tveitnes對楔形體的常速入水進行了試驗研究, 并和仿真結果進行了對比[3]。楔形體入水問題還有很多值得解決的問題, 例如, 如何將2D相似解擴展到3D, 以及3自由度的楔形體自由入水和復雜2D結構和3D結構的入水, 射流從物體表面分離等都是在計算中需要考慮的問題。

本文以柯西積分作為積分方程, 利用復數變量邊界元法求解了常速入水的相似解。在以往的求解中, 為了避免在自由面射流處的震蕩, 以及射流變長使網格增多、網格的尺寸減小而引起的數值發散問題, 都是將射流剪掉[2], 因為射流處壓力很接近大氣壓, 所以對物體整體運動幾乎沒有影響。將射流剪掉后的處理方法一般是在邊界的缺口補充一個垂直于物面的單元。本文在數值仿真的過程中不將射流切掉, 而是當射流變長變薄時利用淺水近似結合非線性自由面邊界條件進行處理。仿真過程中, 對不同底升角的楔形體相似解進行了研究對比, 并對涉及到的一些數值技術進行了討論。

1 數值仿真

1.1 控制方程和邊界條件

在楔形體的表面滿足流體不可穿越固體邊界條件

除此之外，點曲線還提供了分別調整紅、綠、藍三色通道的功能，以便我們在調整影調的同時對畫面色彩精細調整。不過在這篇教程里面，我們并不打算討論這部分功能。

首先, 以控制面和自由面的交點為起點建立坐標和多邊形弧長的3次樣條公式

我校語文組開展“以地域性特色為載體的中職語文綜合活動課案例研究”課題研究，我從中職語文綜合活動“走進家鄉文化”課堂實踐進行了一些思考。

玻璃白燒制出來的效果是否平整，取決于“打玻璃白”的技術是否過硬，也需要一定的技巧。第一種就是需要掌握好標水的技法，也要熟悉筆肚所含的玻璃白多少，這樣就能把握打玻璃白的速度。第二種就是在需要打玻璃白的位置先涂上煤油，煤油能使次面光滑，然后玻璃白一涂在打了煤油的次面上能迅速平整的鋪滿瓷面。

1.2 常速入水的相似解

當忽略流體重力時, 常速入水的楔形體在不同時間段水面隆起的形狀都是相似的, 可以利用無量綱變量來進行求解, 在無量綱相似坐標系下入水物體在垂直方向上的位移始終為1。這種問題可以通過迭代法求解, 假設在初始時刻自由液面是水平的且自由面上的速度勢為零, 然后通過迭代求出自由面的形狀, 直至收斂即可得到相似解。

控制面上的邊界條件滿足流體不穿越此剛性壁邊界條件

在自由面上, 運動學和動力學邊界條件變為

(2)在列車動載作用下，管片會產生一定的拉應力和壓應力增量。其中，最大拉應力增量集中在管片標準塊拱腰中部內側和拱底塊端部外側，這些位置在自重應力作用下表現為壓應力；最大壓應力增量集中在管片標準塊拱腰中部外側、拱底塊端部內側及拱頂封頂塊內側，這些位置在自重應力作用下表現為拉應力。因此，在列車動載作用下，隧道管片斷面的拉應力和壓應力水平均存在一定程度的降低。

較早以前，烘托是我國繪畫中的一種技術方法，利用水墨在物象的輪廓外面渲染襯托，讓繪畫目標更為明顯。烘托應用在藝術創造過程中指的是由側面著意描寫，起到陪襯作用，凸顯事物。烘托手法應用在古詩詞中也較為廣泛，通過烘托方法潤色后讓古詩更加委婉、含蓄，更具意境美。

大學課堂對知識的教授已經不僅僅體現在基礎層面，更多的是一種深入式的教學。為了確保課堂教學的深度，首先老師要對所講內容有一個深刻的認識，這樣才能夠以自己的思想來組織和引導這門課程的開展，同時將教學從淺顯的概念上升到思想的高度[16]。

如果將式(11)和式(13)的右邊看成是已知的, 則上式就可以看成是1階常微分方程, 利用1階常微分方程的解法得到

加強創新團隊建設和創新人才培養。今年上半年，由院工會、團委推動，相繼成立了由技術專家領銜組建的“勞模創新工作室”和“青年創新工作室”，分別致力于鄂爾多斯盆地致密低滲氣藏勘探開發重點難點的攻關及致密氣藏精細描述等相關勘探開發技術方面的創新攻關。

當又細又長的射流出現時, 射流區域可以結合淺水近似求解, 由淺水理論[5]可知速度勢在射流上是線性變化的, 取前2項

Kahneman和Tversky改變了傳統理論評估總效應的做法，轉而衡量一個前景的總價值V，該價值主要是通過價值函數υ（·）和決策權重函數π（·）的結合來決定的。［14］價值函數反映了結果的主觀價值，決策權重函數表示與該結果概率P相對應的決策權重，它和客觀概率P有著本質的區別，它反映了P對整個前景值的影響力，“是決策者根據事件結果出現的概率（p）做出的某種主觀判斷”［15］。這意味著決策者在進行風險決策時，至少會受到兩個方面的影響：一是決策者對結果主觀價值感受的影響；二是決策者對結果出現的主觀概率判定的影響。

Draught Monitoring Based on Contour Cluster Analysis

2 數值方法

2.1 復數邊界元法求解

和的邊界值問題都需要在相似坐標系下利用復速度勢在復數邊界元下求解, 由柯西積分方程[6]得

運動學邊界條件規定自由表面上的水質點始終在自由表面上, 動力學邊界條件規定自由面上的流體壓力始終為大氣壓力。因為沖擊持續的時間很短, 流體重力的影響相在小時間上的展開是2階小量, 所以可以忽略[4]。令自由面上的大氣壓為零, 得到歐拉形式的自由面邊界條件為

上述方程可以拆分成下面的形式

式中的系數為

每次求解矩陣方程后得到自由面上的流函數后即可利用式(14)和式(15)得到新的自由面和自由面上的速度勢。再求解矩陣方程, 如此循環直至收斂為止。

2.2 3次樣條插值與自由面網格的更新

在迭代時, 有的網格單元變長, 而有的則變短, 且在數值積分的過程中自由面可能會出現毛刺[8], 使得計算很難進行下去。為了使相鄰單元長度的比例始終保持在1左右, 需要對自由面網格進行重新劃分。

式中：Δy(k+1)=y(k+1)-y(k)；Δu(k)=u(k)-u(k-1)；φ(k)——偽偏導數。

最后, 根據式(31)和式(32)得到需要的網格分布, 在靠近物面的射流上劃分均勻的網格, 在遠離物面的自由面上網格大小按照弧長等比增大進行劃分。在得到自由面上新的坐標分布后, 可以根據相同的方法求出速度勢在自由面上的分布。

另外, 在每一次的自由面更新后需要對物面重新劃分網格, 網格的大小和射流上的網格保持在一個數量級。

3 數值結果與討論

對底升角從20°到80°的情況分別進行了計算仿真。楔形體表面歸一化壓力/V2的分布為

得到的楔形體表面壓力分布和相似解液面隆起分別如圖2和圖3所示。由圖2可知, 楔形體入水時的力學特性和底升角有很大的關系, 當底升角很大時, 即楔形體很尖很薄, 入水時受到的沖擊壓力很小, 同時激起的射流飛濺也很小。而當底升角很小時, 楔形體表面壓力的分布呈現中凹的趨勢, 當底升角逐漸減小時表面的壓力急劇增大, 射流飛濺也又細又長。當底升角很小時, 入水可能會引起起點效應, 而文中鑒于模型求解復雜化, 沒有考慮這一效應。

圖3 楔形體表面無量綱壓力分布

4 結論

本文建立了楔形體多種底升角的入水砰擊模型, 利用復變邊界元發結合自由面邊界條件迭代的方法求解了對稱楔形入水的相似解, 模擬了垂向入水的力學行為, 對影響砰擊過程的數值參數, 包括單元的劃分、控制體大小的選取以及插值等因素進行了深入而詳細的討論。可知在砰擊過程中底升角對物體表面壓力分布和射流飛濺的影響很大。當底升角很小時, 入水過程中受到的沖擊壓力很大, 飛濺的射流也很長, 而當底升角很大時, 楔形體在入水過程中受到流體的沖擊壓力很小, 同時飛濺起的射流也很短, 液面隆起很微小。同時, 在仿真中可知, 控制體大小的選取、插值方法的應用及網格單元劃分的大小對結果的收斂性都有一定的影響, 可以避免必要的數值發散。

[1] Dobrovol￠skaya Z N. On Some Problems of Similarity Flow of Fluid with a Free surface [J]. Journal of Fluid Mechanics, 1969, 36(4): 805-829.

[2] Zhao R, Faltinsen O. Water Entry of Two Dimensional Bodies [J]. Journal of Fluid Mechanics, 1993, 246: 593- 612.

[3] Tveitnes T, Fairlie-Clarke A C, Varyani K. An Experimental Investigation Into the Constant Velocity Water Entry of Wedge-shaped Sections[J]. Ocean Engineering, 2008, 35(14-15): 1463-1478.

[4] Korobkin A A, Wu G X. Impact on a Floating Circular Cylinder[C]//Proceedings of the Royal Society, London, 2008: 2489-2514.

[5] Mei C C. The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves [M]. NewYork: Wiley-Interscience, 1983.

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[9] Bhat R B, Chakraverty S. Numerical Analysis in Engineering[M]. Pangbourne: Alpha Science International Ltd, 2004.

Complex Variable Boundary Element Method for Numerically Simulating Water Entry of a Wedge

WEI Zhao-yu, SHI Xiu-hua, WANG Sheng-wu

(College of Marine Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

To study the slamming problem of a wedge entering into water with constant speed, a complex variable boundary element method (CVBEM) based on the Cauchy integration equation is used in the numerical simulation, and the nonlinear free surface boundary conditions iteration with the shallow water approximation is also used to simulate the jet. The cubic spline interpolation is adopted to mesh the free surface. The size selections of the mesh and the control body as well as other relative numerical techniques are discussed. Consequently, the pressure distribution on wedge surface, the raise of free liquid surface and the jet pattern under different deadrise angle of sedgeare achieved when it entering into water. The results show that when deadrise angle is small, the pressure on wedge surface is great, the jet is very thin and long without shake and burr, and the pressure distribution on jet approachesto zero, which indicates a perfect simulation of jet with the proposed method.

wedge; water entry impact;complex variable boundary element method(CVBEM);nonlinear free surface boundary conditions iteration;deadrise angle

TJ631.7

A

1673-1948(2011)03-0161-06

2010-08-04;

2010-10-27.

魏照宇(1984-), 男, 在讀博士, 主要研究方向為流體力學和高速物體入水沖擊.

(責任編輯: 陳 曦)