拉物滑動的省力分析

張雪輝

(江蘇省鄭集高級中學,江蘇銅山 221143)

如圖1,當我們用力F在地面上拉動一質量為m的物體進行相同狀態的運動時,究竟是拉力F與地面所成夾角θ越小越省力,還是越大越省力?

圖1

對于這個問題,有人認為,θ角越小越省力.理由是θ角越小,拉力F沿運動方向使物體滑動的分力Fx越大,因而就越省力.有人認為θ角越大越省力,理由是拉力F在垂直于運動方向上有一向上的分力Fy,此力減小了物體對地面的壓力,從而減小了摩擦阻力;θ角越大,Fy越大,摩擦力減小得越多,所以越省力.后面的論證將指出,這兩種答案都是片面的.

其實,這個問題在物體與地面間的動摩擦因數μ值未確定以前,是不可能得出明確的答案的.因為在使物體保持相同運動狀態(如勻速直線運動或勻加速直線運動)的情況下,拉力F的大小(省力不省力的問題),不僅跟θ角的大小有關,而且還跟動摩擦因數 μ值的大小有關.這個問題的正確答案應該是:當μ值確定以后(在一個確定的實際問題中,μ值可認為已確定),從拉力F與地面的夾角θ從零開始,增大的起初階段,θ角越大越省力(所用拉力F越小);當θ角增大到某一臨界值時最省力,即是使物體保持相同的運動狀態所用的拉力F最小.但當θ角繼續增大超過臨界值進入第2階段以后,則隨θ角的增大便越來越費力了;θ角這一臨界值的大小取決于動摩擦因數μ值的大小:對應著不同的μ值,θ角將有不同的臨界值.

下面,我們就來論證這個問題.論證的關鍵是導出拉力F的大小隨夾角θ與動摩擦因數μ而變化的函數關系,而在這一函數關系中可把μ值作為參量處理.為使論證簡化起見,我們先討論在拉力F的作用下物體在水平面上勻速直線滑動的情況(滾動的情況較為復雜,本文不討論),然后再推論到物體在斜面上的勻加速向上滑動的情況.在勻速直線滑動的情況下,物體的受力情況如圖1所示.圖中f為摩擦力,Fx與Fy分別為拉力F的水平分力與豎直向上的分力,mg為物體所受的重力.

根據牛頓第二運動定律,可得

Fx-f=ma.

因為勻速直線運動的加速度 a=0,故有 Fx-f=0.而

Fx=Fcosθ,f=μN=μ(mg-Fy)=μ(mg-Fsinθ),

所以 Fcosθ-μ(mg-Fsinθ)=0.

整理后得

顯然,θ角由0°變到α時,cos(θ-α)的值變大,拉力 F的值變小,即越來越省力;θ角由α變向 90°時,cos(θ-α)的值變小,拉力 F的值變大,即越來越費力.因而,在θ=α時,即拉力 F的值變小與變大的轉折點,所以把α叫做θ角的臨界值(即函數的極值點).由于θ等于臨界值時最省力,所以把θ角的臨界值α叫做省力角,其大小由(1)式確定為 α=arctanμ.顯然這個臨界值 α由μ值的確定而確定以后,拉力F隨θ角的變化情況才有確定的范圍.

例如,當 μ=0.5774時,由(1)式可得θ角的臨界值 α=arctan0.5774=30°.這就是說,當 α角由0°變到其臨界值 30°時,cos(θ-α)便由 cos(0°-30°)變為 cos(30°-30°),它隨 θ角的增大而變大,由(2)式得,拉力 F的值變小,即越來越省力;而當θ角由其臨界值30°繼續增大趨向90°時,cos(θ-α)則由 cos(30°-30°)趨 cos(90°-30°),它隨 θ角的繼續增大而變小,由(2)式得拉力 F的值變大,即越來越費力.

必須指出的是,由于實際問題中μ的取值范圍只能在大于0到小于 1之間,故由(1)式可知:θ角的臨界值α的取值范圍為 0°＜α＜45°.

現在再來討論一般的情況.當我們用力F拉動物體使其沿斜面向上做勻加速直線滑動時,物體的受力情況如圖2所示,其運動方程為

圖2

比較(3)式與(2)式,可以看出兩者拉力函數F的極值雖然不同,但它們的函數極值點(即函數取得極值的自變量θ角的值)和函數的升降規律卻是一致的.因此,拉動物體在水平面上進行勻速直線滑動所用拉力F的大小隨θ角與μ值而變化的規律,在其他情況下和其他形式的直線滑動中都是適用的.