角速度能表示速度方向變化快慢嗎?

龔勁濤 魏 標

(綿陽師范學院物理與電子工程學院,四川綿陽 621000)

本刊2010年第3期刊登了“向心加速度表示速度方向變化的快慢嗎?”一文,以下簡稱文[1],該文認為“向心加速度不能反映速度方向變化的快慢,而角速度才是反映速度方向變化快慢的物理量”.同時持這一觀點的還有其他一些文獻[1-4].對此,筆者難以認同,我們認為用角速度作為反映速度方向改變的物理量是不恰當的,理由如下:

(1)不符合牛頓第二定律.引起速度改變的原因是力,當有力作用在物體上時,物體速度的大小和方向就會發生改變.若力的方向與運動方向恰好一致,則只改變速度的大小,若力的方向與運動方向垂直,則只改變速度的方向.當物體受到一個大小不變而方向總指向圓心的向心力時,它就做勻速圓周運動,此時向心力的作用只是改變物體的速度方向,不改變速度大小,且力越大,速度方向改變就越快,力的方向就是速度方向改變的方向.而加速度正是由力產生的,因此,用由向心力產生的向心加速度作為描述速度方向改變快慢的物理量是順理成章和符合運動本質的.而力與角速度無關,如果用角速度表示速度方向的改變快慢,則違背了牛頓第二定律力是物體運動狀態發生改變的原因這一論述.

(2)不符合物理知識自身的邏輯體系.速度和加速度都是為描述物體做機械運動所建立的物理概念,除此之外還有位矢和位移等概念,這些物理量之間存在著明確的上下位邏輯關系.其中位矢r表示物體的空間位置,位移Δr表示物體空間位置的改變,速度v反映物體空間位置變化的快慢(或運動快慢),而加速度a則是則反映物體速度的變化快慢,他們之間的邏輯關系可用數學關系式表達為:

由此不難看出,這些物理量在邏輯上是逐級遞進而有序的,彼此之間有著明確的上下位層級關系,其中速度是加速度的上位概念,加速度是速度的下位概念.而角速度 ω的本質仍然是速度,不過是用角量來描述物體空間位置變化快慢(運動快慢)的,與線速度 v屬于同一級概念,其他的角量還是角位置θ、角位移Δθ、角加速度 β,他們分別對應位矢 r、線位移Δr、線加速度 a.因此無論是角速度還是線速度都是反映物體空間位置改變快慢的物理量,而加速度則是反映速度變化快慢的物理量.如果用角速度的大小來表示線速度方向的變化快慢,即用一種形式的速度來反映另一種形式的速度方向變化快慢,顯然打亂和破壞了物理概念之間的邏輯結構,同時也使角速度的物理意義失去了確定性和唯一性.而且角速度也是矢量,如此說來角速度的方向又如何與線速度方向的改變方向關聯起來?

(3)質點速度方向的改變并不是由角度變化能單一確定的.文[1]及相關文獻認定“角速度才是反映速度方向改變的物理量”的原因主要基于以下2點:(1)與某一位置(軸)的夾角可以反映物體的方向,所以角度的變化反映方向的改變;(2)做圓周運動的物體,無論半徑大小,只要角度變化快慢一致(也即角速度ω相同),則他們速度方向的改變快慢就相同.而加速度 a=rω2與半徑有關,所以不能正確反映速度方向的改變.

首先分析(1),我們知道在物理學中物體的空間方位既可以以矢量形式:r=xi+yj+zk表示,也可以通過說明質點距參考點的遠近和與 3條坐標軸的方向余弦(cosα,cosβ,cosγ)來反映.而只用與某一位置(軸)的夾角來確定方向是沒有唯一性的,除非首先確定物體在什么平面內運動,再用與參考軸的夾角來表示它的方向才具有確定性.因此只用一夾角表示方向不具有普遍性.

其次,有角速度存在并不意味著速度方向發生改變.如圖1所示,一質點在xOy平面上沿圖示方向做勻速直線運動,方向雖然不變卻有角速度存在,顯然這里的角速度并不能反映速度方向的變化快慢.

圖1

圖2

第三,角速度相同但速度方向的改變快慢不同.如圖2所示,兩質點都在做勻速圓周運動且角速度 ωA=ωB,經時間Δt,質點1從 A 運動到A′,位移Δr為A指向A′的有向線段.質點2從B 運動到B′,位移Δr′為B 指向B′的有向線段,因質點距參考點0的遠近未發生變化,所以位移的大小Δr、Δr′反映的是質點空間位置的方向改變大小,由于質點2運動半徑大,所以Δr′＞Δr,表明質點2位置方向的改變程度在大于質點1,又因發生這一改變的時間相同(角速度 ωA=ωB),所以質點2方向改變比質點1方向改變快.由此得出質點2速度方向變化快于質點1.但文[1]卻認為此種情況下角速度ω相同,所以兩者速度變化快慢一致,并由此認定向心加速度不能反映速度變化的快慢.顯然這種認識的根源在于將角度的改變等效為運動方向的改變,它不僅混淆了角速度的物理意義,也違背了矢量的運算法則.因為空間位置的改變量(位移)不僅與轉過的角度有關,還與運動半徑的大小有關.

第四,向心加速度是反映速度方向變化快慢的物理量.

如圖3所示,一做圓周運動的質點在 A點的速度為v1,經Δt時間后在B點的速度為v2,故從 A到B速度的變化量為Δv=v2-v1,如圖4所示在 AC上截取AD=AB,所以Δv=BC=BD+DC=Δv1+Δv2,若速度只有方向改變而大小不變,Δv=Δv1=BD,所以 Δv1=BD是由速度的方向改變而引起的變化量.若速度只有大小改變而方向不變,Δv=Δv2=DC,所以Δv2=DC是由速度的大小改變而引起的變化量,因此

其中 aτ是由速度大小的改變Δv2引起的加速度,反映速度大小改變的快慢,當角度 α→0時,aτ的方向指向圓周切線,稱為切向加速度;an是由速度方向的改變Δv1帶來的加速度,反映速度方向改變的快慢,當角度α→0時,an的方向與切線垂直指向法向方向,稱為法向加速度.因此做變速圓周運動的質點既有切向加速度,也有法向加速度.而對于勻速圓周運動,因為速度大小不變,所以 aτ=0,只有an,又因為｜Δv1｜=BD,｜v1｜=｜v2｜=v,OA=OB=R,所以

由于an方向沿法向總指向圓心,所以又稱為向心加速度,反映方向改變的快慢.

圖3

圖4

綜上所述,我們認為角速度不能作為表示速度方向改變快慢的物理量,而向心加速度才是反映改變速度方向變化快慢的物理量.

1 馬宇澄.向心加速度是描述速度方向變化快慢的物理嗎.物理教師(高中版),2001(6).

2 司德平.向心加速度是描述速度方向變化快慢的物理嗎?中學物理(高中版),2009(11).

3 王峰.圓周運動加速度的物理意義——向心加速度的誤解分析.物理教學探討,2006(8).

4 陳衛東,李俊.順理不一定成章—向心加速度是描述速度方向變化快慢的物理量嗎?中學物理教學參考,2005(4).