帶有線性傭金率的密閉式拍賣模型研究

楊衛星，劉樹林

(1.對外經貿大學 國際經濟貿易學院，北京 100029；2.北京化工大學 理學院，北京 100029）

0 引言

近幾年來，拍賣這種解決資源和服務分配的有效配置方式得到了廣泛的應用。很多古董、藝術品都使用拍賣的方式進行交易。特別是近年來，各國政府越來越多地使用到拍賣機制，比如通過拍賣市場實現國有企業的產權置換；通過拍賣在電信、電力、天然氣、交通等基礎設施產業引入適當競爭；通過拍賣機制實現政府采購；私人部門也更多地通過拍賣轉讓資產所有權、采購原材料等。

對拍賣機制理論的研究最早可追朔到1961年Vickery[1]的工作，在隨后的幾十年里，拍賣理論及其應用得到了蓬勃的發展。最具里程碑的工作是1981年Samulson[2]的收益等價定理以及1982年Weber[3]的排序定理。在他們的基礎上，無論是理論上還是應用上都有了很多新的突破，如1987年McAfee[4]和1992年McMillan[5]的工作。以及對石油、天然氣、礦藏的開采權及森林的砍伐權的拍賣理論與實踐的研究，如1994年 Hendrick[6]和 1997年 Baldwin[7]的工作。

現有的大部分文獻分析的都是買賣雙方的策略，但在具體的拍賣實踐中，拍賣的進行必須要有第三方，即拍賣行的參與。賣方要想通過拍賣獲得較高的成交價，必須把拍品委托給拍賣行，拍賣行承擔拍賣并按一定的比率收取傭金。2004年王彥等人[8]把傭金率引入一級和二級價格密封式拍賣中，得到結論：在私人估價模型下，當拍賣行收取的傭金率增加時，投標者的報價減少，進而賣方的預期收益降低，拍賣行的預期收益卻增加；賣方在一級和二級價格密封式拍賣中獲得的預期收益相同，因此，收益等價定理仍然成立。2005年畢志偉和王彥[9]進一步考察了在關聯價值拍賣模型下的一級和二級價格密封式拍賣，討論了傭金率對投標者的報價和賣方預期收益的影響。假設傭金率與成交價之間是線性關系(這個假設是很合理的，而且很符合拍賣的實際情況)，Wang（2006）[10]研究了在私人估價模型下的一級(只考慮均勻分布的情形)和二級價格密封式拍賣的均衡投標策略，并與傭金率為固定比例的情況做了比較。

為了使模型更加符合實際，本文將繼續假設傭金率與成交價是線性關系。在文獻[10]的基礎上，給出一般分布下的一級價格密封式拍賣的均衡投標策略；分別求出在一級和二級價格密封式拍賣中，投標人、賣方和拍賣行的預期收益，并與不帶傭金率和固定傭金率的情況分別做比較；進一步還考察線性傭金率的兩個系數分別對均衡投標策略、投標人的預期收益、賣方的預期收益、拍賣行的預期收益的影響。以期完善文獻[10]的工作，豐富帶有線性傭金率的拍賣模型的結果。

2 假設和記號

假設賣方有一個不可分割的拍品，個投標者分別記為1，2，…，n。每個投標者i僅知道自己對拍品的估價vi，賣方、拍賣行和其他的投標者不知道vi的具體值，把它看作一個隨機變量。所有投標者的估價獨立地服從相同的概率分布函數F（v），分布區間為其密度函數f(v)是正的、連續可微的，且滿足條件

假設拍賣行設定一個線性的傭金率，k=k0=k1b，此處k1＞0，k≥0，b 表示報價，0≤k≤k0，k0表示法律允許的最大傭金率（在我國一般為5%）。假設傭金由投標人支付，賣方選擇一級價格密封式拍賣或者二級價格密封式拍賣出售拍品，每個投標者根據自己的估價決定自己所報的價格。對于對稱的投標者（他們的估價分布函數相同），我們尋找對稱的貝葉斯-納什均衡投標策略。投標人，賣方和拍賣行是風險中性的，他們的目標都是最大化其預期收益。

在以下的討論中，b1(v)、分別表示在一級價格密封式拍賣中，投標人的均衡投標策略、賣方的預期收益和拍賣行的預期收益；b2(v)、分別表示在二級價格密封式拍賣中，投標人的均衡投標策略、賣方的預期收益和拍賣行的預期收益。

2 均衡報價策略①

①王彥[10]只討論了均勻分布的情況，其研究結果均是本節的特例。

王彥在文獻[10]中研究了二級價格密封式拍賣，并得到了以下的引理。

引理[10]在二級價格密封式拍賣中，當采取線性傭金率k=k0-k1b時，均衡報價策略為，且

關于一級價格密封式拍賣，文獻[10]只考慮了均勻分布的情況，下面考慮一般分布的情況。

設投標人有遞增的均衡投標函數b1(v)，當某投標人的私人估價為v而報價為b1(t)（即按照私人估價為t來報價）時，他的預期收益是π=[v-(1+k0-k1b1(t)b1(t)]Fn-1(t)。預期收益?極大化的一階必要條件為即

從而有

令 B(v)=(1+k0-k1b1(v))b1(t)，則（1）式化為[v-B(v)]，在下面的討論中，方便起見，記 G(v)=Fn-1(v)，g(v)=G'(v)=(n-1)Fn-2(v)f(v)，則（1）式又可簡化為即

②此處的B(v)和文獻[4]中的均衡投標策略一致，即和不考慮傭金時的均衡投標策略一致。

當 Δ=(1+k0)2-4k1B(v)≥0 時，即(1+k0)2≥4k1B(v)時，方程（4）的解為

從而有下面的結論1。

結論1：帶有線性傭金率k=k0-k1b的一級價格密封式拍賣的均衡報價策略為：

從（5）式還可以計算出

從而有下面的結論2。

結論2：在帶有線性傭金率k=k0-k1b的一級價格密封式拍賣中，截距項k0越大，投標人報價越低；而斜率項k1越大，投標人報價越高。

這個結論和實際是相符的，當k0變大，或k1變小時，都會導致傭金率變大，因此投標人需要支付的傭金更多，導致投標人報價更加謹慎。

王彥等[8]得出，當采取固定的傭金率k時，一級價格密封式拍賣中投標人的報價策略為：

計算得出下面的關系式：

從而可以看出，當投標人對拍品的估價充分大時，采取線性傭金率對賣方是有利的。因此，在拍賣實踐中，對于一些昂貴的拍品，應該采取線性的傭金率而不是固定不變的傭金率。

3 收益比較

3.1 賣者的收益

當采取線性傭金率時，在一級價格密封式拍賣中，賣者的預期收益為③其中v[1,n]表示v1,v2,…，vn中的最高統計量，f1,n(v)表示v[1,n]的密度函數。：

同理，在二級價格密封式拍賣中，賣者的預期收益為④其中v[2,n]表示v1,v2,…，vn中的次高統計量，f2,n(v)表示v[2,n]的密度函數。：

顯然，此時收益等價原理不再成立，下面比較二者的大小。

當 n充分大時，可以得出 n(1-F(v))＞1，從而有 f2,n＞nFn-1(v)f(v)=f1,n(v)，結合的表達式可以得出總結為下面的結論3。

結論3：當采取線性傭金率時，收益等價定理不再成立。但是，當投標人數比較多時，賣者應該采取第二價格拍賣。

下面考察傭金率的系數k0和k1分別對賣者預期收益的影響。前面的討論已經得出

從而有

據此可得下面的結論4。

結論4⑤此結論和王彥[8]的結論一致。：在一級價格密封式拍賣中，賣者的預期收益k0和k1負相關，但和k1正相關；關于二級價格密封式拍賣，也有同樣的結論。

此結論和實際是相符合的，當變大，或變小時，都會導致傭金率變大，導致投標人報價降低，這樣會降低賣者的收益。

3.2 拍賣行的收益

當采取線性傭金率時，在一級價格密封式拍賣中，拍賣行的預期收益為：

二級價格密封式拍賣中，拍賣行的預期收益為：

結論5：在帶有線性傭金率k=k0-k1b的一級價格密封式拍賣中，賣者的預期收益減少，減少的部分恰好是拍賣行獲得的預期收益。關于二級價格密封式拍賣，也有同樣的結論。

下面考察傭金率的系數k0和k1分別對拍賣行預期收益的影響。同樣因為

從而有

據此可得下面的結論6。

結論6⑥此結論和王彥[8]的結論一致。：在一級價格密封式拍賣中，拍賣行的預期收益和正相關，但和負相關；關于二級價格密封式拍賣，也有同樣的結論。

此結論和實際是相符合的，當變大，或變小時，都會導致傭金率變大，從而給拍賣行帶來更多的收益。

3.3 投標人的收益

在帶有線性傭金率的模型中，一級價格密封式拍賣中投標人的預期收益為

二級價格密封式拍賣中投標人的預期收益為

從而有下面的結論7。

結論7：當帶有線性傭金率k=k0-k1b時，投標人在一級和二級價格密封式拍賣中獲得的預期收益相等，且與線性傭金率中的系數k0和k1均無關。

進一步和文獻[4]中不帶傭金率的模型以及文獻[8]中帶有固定傭金率的模型比較發現，這幾個模型中，投標人的預期收益完全相等。從而可知，投標人不必為傭金比例的高低擔心，因為隨著傭金比例的調整，投標人的報價策略會做相應調整，從而使得投標人的預期收益保持不變。

4 結論

在現實拍賣中，賣方一般不能直接拍賣持有的物品，而是通過委托拍賣行對物品拍賣，拍賣成功后，由投標人按事先約定的傭金比例支付給拍賣行傭金。目前國內研究傭金率的文獻非常少，王彥等在文獻[8]中考慮了一個固定的傭金比率，在文獻[10]中假設傭金率是報價的線性函數，這個假設和實際非常相符，但文獻[10]中對第一價格拍賣的研究只考慮了均勻分布這樣一個特殊情況，有很大的局限性。

本文在文獻[10]的基礎上，求出了基于一般分布的一級價格密封式拍賣的均衡報價策略，并且發現截距項k0越大，投標人報價越低；而斜率項k1越大，投標人報價越高。當投標人對拍品的估價充分大時，采取線性傭金率對賣方是有利的。因此，在拍賣實踐中，對于一些昂貴的拍品，應該采取線性的傭金率而不是固定不變的傭金率。

本文還求出了賣者、拍賣行、投標人三方的預期收益。并且發現當采用線性傭金率時，收益等價定理不再成立，賣者的預期收益減少，減少的部分恰好是拍賣行獲得的預期收益。這個結論揭示了傭金支付的實質：表面上看，傭金是由投標人支付的，而實際上，拍賣行所獲得的傭金正好是不考慮傭金支付時賣方預期收益的減少。

本文還得出，當投標人數比較多時，賣者應該采取第二價格拍賣的形式。無論是一級還是二級價格密封式拍賣，賣者的預期收益和k0負相關，但和k1正相關；拍賣行的預期收益和k0正相關，但和k1負相關。

本文還發現，投標人在一級和二級價格密封式拍賣中獲得的預期收益相等，且與線性傭金率中的系數k0和k1均無關。進一步研究得出，對于投標人來說，有沒有傭金提成，以及傭金比例的高低，其預期收益都不變。因此，實際拍賣中，投標人不必為傭金比例的高低擔心，因為隨著傭金比例的調整，投標人的報價策略會做相應調整，從而使得投標人的預期收益保持不變。

[1]Vickrey,W.Counterspeculation,Auctions,and Competitive Sealed Tenders[J].The Journal of Finance,1961,(1).

[2]Riley,J.G.,W.F.Samuelson.Optimal Auctions[J].American Economic Review,1981,(3).

[3]Milgrom,P.R.，R.J.Weber.A Theory of Auctions and Competitive Bidding[J].Econometrica,1982,(5).

[4]McAfee,R.P.,J.McMillan.Auctions and Bidding[J].Journal of E-conomic Literature,1987,(2).

[5]McAfee,R.P.，J.McMillan.Bidding Rings[J].American Economic Review,1992,(82).

[6]Hendricks,K.,Porter R.,Wilson C.Auctions for Oil and Gas Leases with an Informed Bidder and a Random Reservation Price[J].Econometrica,1994,(62).

[7]Baldwin LH,Marshall R.C.,Richard J-F.Bidder Collusion at Forest Service Timber Sales[J].Journal of Political Economy,1997,(105).

[8]王彥,畢志偉,李楚霖.傭金收取對拍賣結果的影響[J].管理科學學報,2004,(3).

[9]畢志偉,王彥.考慮傭金的關聯價值拍賣模型[J].管理科學學報,2005,(3).

[10]Wang,Y.Commission Strategy of the Auction House[J].Wuhan University Journal of Natural Sciences,2006,(11).