指標體系權重選擇：一個基于DEA視角的探討

秦 青

（河南科技大學 數學與統計學院，河南 洛陽 471003）

0 引言

對決策單元的綜合評價是管理科學的常見問題，其中往往需要建立一個多層次指標體系，確定各指標權重，然后以線性加權或幾何加權方式將這些指標合成一個綜合評價值，最后輸出評價結果。以上工作流程中，權重的選擇是個關鍵，評價對象和指標體系一旦確定，綜合評價結果就直接依賴于權重，必須根據問題特點選擇合適的賦權方法。

所謂權重，是對指標體系中各指標相對重要性的主觀或客觀度量，由此引出兩類賦權方法，一類是“功能驅動”的主觀賦權法，根據人們主觀上對各指標的重視程度來確定權重，如德爾菲法、層次分析法（AHP）、模糊綜合評價法等；另一類是“差異驅動”的客觀賦權法，根據各指標提供的信息量大小來確定權重，由于信息量通常被理解為一個指標的變異程度或方差，因此波動程度較大的指標一般會取得較大權重，如方差賦權法、主成分法、聚類分析法等。主觀和客觀兩類賦權方法各具特色，主觀賦權法能充分吸收相關領域專家的知識和經驗、體現決策者偏好，但以人的主觀判斷作為賦權基礎不完全合理；客觀賦權法依賴指標的實際數據確定權重、排除了人為因素干擾，但所得權重有時與指標的實際重要性相悖，因此，實踐中不乏兩類方法結合使用的例子，如AHP與主成分法相結合[1]，AHP與聚類分析相結合[2]等。

然而，這些賦權方法的共性是“均一化”加權，權重系數一旦確定，就適用于所有決策單元，即所有單元使用同一組權重計算綜合評價值。這固然使計算變得簡單，但也在某種程度上降低了評價的最優性和公正性。本文認為，對某些綜合評價問題可借助DEA方法實現“非均一化”加權，能得到更為公正的評價結果。

1 DEA方法簡介

DEA（數據包絡分析）是測度決策單元（簡稱DMU）相對效率的運籌學方法，最早由Charnes、Cooper、Rhode1978年提出[3]。

設有n個同類DMU，均使用r種投入生產s種產出。記DMUi的投入向量為 Xi=(xi1,xi2，…，xir)T，產出向量為 Yi=(yi1,yi2,…，yis)T，則DMUi的效率等于總產出與總投入之比其中ui=(ui1,ui2,…，uis)T是用于加總s項產出的權重向量，vi=(vi1,vi2,…，vir)T是用于加總 r項投入的權重向量，ui，vi待定。

如果所有DMU使用相同的生產函數且形式已知，則ui,vi理論上可以唯一確定并適用于所有單元，但事實上被評價的DMU即使是同類型或相似的，其外部環境、內部結構也不會完全相同，造成生產函數的差異。生產函數的差異意味著不同的DMU擁有不同的最優要素組合方式或產品組合方式，此時再用同一組ui,vi來衡量它們顯然有失公允。不妨用一個簡單的例子說明：設甲、乙兩省生產同一種產品，都以資本和勞動為投入要素，但兩省在要素價格上有微小差別，甲省的勞動力較乙省便宜但資本稍貴，此時甲省會用較便宜的勞動替代資本，使甲省生產函數的勞動密集程度略高于乙省（如甲省為中部人口大省，乙省為沿海發達省份）。顯然，計算甲省生產效率時兩個投入項權重應為（甲省資本價格，甲省勞動力價格），計算乙省效率時權重應為（乙省資本價格，乙省勞動力價格），兩組權重明顯不等。因此，對同類型決策單元進行效率評價時，事實上并不存在一組ui,vi的固定取值，能使所有決策單元覺得公平。公平的權重應為變權，即非均一化加權，由評價者針對每個決策單元特點選擇“最合適”的權。

DEA方法認為，測度DMUi(1≤i≤n)效率時最合適的權就是使其效率最大化的權，即下述問題的最優解：

模型第一個約束條件是一個自然的規范性要求，將所有決策單元效率限制在區間內，方便比較。由于模型⑴是分式規劃，難以求解，可利用Charnes-Cooper變換轉化為等價的線性規劃：

從模型⑴、⑵可見，DEA方法為每個DMU選擇了最有利于它的權，如果改用其他權重，只會使效率評價值下降或不變。本文認為，這一賦權原則體現了公平性和客觀性，公平性是因為每個DMU都能實現效率最大化，客觀性是因為最優權重將由模型內生地決定，避免了人為確定權重的主觀性和隨意性。由于DEA方法具有的良好性質，下面試圖將其引入指標體系的賦權問題，并構建相應的模型與算法。

2 基于DEA的賦權模型與算法

設進行綜合評價時已建立一個遞階層次結構的指標體系，總的綜合指標被分解為若干一級指標，每個一級指標又包含若干二級指標。由于高層指標是低一層指標的綜合，低層指標是高一層指標的分解，因此計算DMU綜合評價值的流程是：先對二級指標加權求和獲得相應的一級指標，再對一級指標加權求和獲得最終評價值。

我們先考慮一級指標的賦權。一級指標是對整體進行的第一層分解，按照指標體系的構建原則，這一步應該而且能夠將整體劃分為幾個主要部分，使各部分之間相對獨立。例如社會大系統可劃分為政治子系統、經濟子系統和文化子系統，三個子系統的運行機制大不相同，可以認為是相互獨立的，令每個子系統對應一個指標，就得到第一層的三個一級指標。由于三者都是整體不可或缺的部分，且均屬人為構造的抽象指標，并不屬于現行統計指標體系、沒有現成數據可得，因此很難用客觀方法賦權，對其相對重要性的判斷應主要取決于評價者的主觀認知或個人偏好，可使用德爾菲法、層次分析法等主觀賦權法。

下面考慮一級指標下屬二級指標的賦權。首要問題是如何處理指標之間的相關性，二級指標是對一級指標的分解，因為都反映整體某方面特征，彼此之間往往有較強相關性，需使用主成分分析、因子分析等方法處理，比較繁瑣，DEA方法則能避開這個問題，在DEA的框架內指標有相關性是正常的，不影響分析結果；進一步地，DEA雖能避開相關性問題，但DEA的特點是非均一化加權，用在此處是否合理？本文認為，綜合評價的目的是區分優劣，權重的選擇應有助于此，常用的客觀賦權法給方差較大的指標較大權重，相當于選擇了一組最能區分各DMU的權重[4]，但事實上變權也能達到同樣效果，如果我們讓每個DMU選擇最有利于自己的權重，如果計算出的綜合評價值仍落后于他人，這個差距就是實實在在的，無法再歸因于賦權不當。從這個意義上講，二級指標的非均一化加權是合理的。下面我們將二級指標的賦權問題放在DEA框架下討論。

設待評價集合包含n個同類DMU，一個DMU就是一個復雜生產系統，由m個子系統構成，每個子系統對應指標體系中一個一級指標。 記一級指標為A1,…，Am，其中Ai（1≤i≤m）下屬ki個二級指標Bi1,Bi2…，Biki

對于子系統 Ai，建立 DEA模型，評價 DMUjo(1≤j0≤n)的相對效率：

模型產出項：Bi1,Bi2,…，Biki。

模型投入項：設為常數I≡1，即所有DMU的投入項均為1。

使DMUjo(1≤j0≤n)效率最大化的權重為下述模型的最優解：

模型⑷的含義很直觀，對二級指標Bi1,Bi2,…，Biki賦權時，最有利于DMUj0權就是使其加權和最大的權，這個加權和正是DMUj0在一級指標Ai上的得分，由于模型中存在約束性條件，所有DMU的Ai得分都將在[0,1]區間內取值。

以模型⑷為基礎，我們進一步構造出以下算法，解決整個指標體系的賦權問題：

第一步，二級指標的預處理。由于模型⑷將二級指標視為生產系統的產出項，根據DEA思想，產出項應該是正指標、越大越好，如果是逆指標，應以取倒數方式做正向化處理

第二步（非均一化加權），對 Ai(i=1，2，…，m)下屬的二級指標賦權。求解形如⑷的線性規劃，分別求出每個DMU的最優權重以及相應的Ai得分（得分限于0～1之間）；

第三步（均一化加權），對一級指標A1，…，Am賦權。使用主觀賦權法如層次分析法等，要求權重向量(λ1,λ2，…，λm)滿足歸一化條件 λi≥0(i=1，2，…，m)

第四步，對一級指標加權求和，求出每個DMU的綜合評價值。因一級指標得分在[0,1]之間，一級指標權重又滿足歸一化條件，因此綜合評價值也在[0,1]之間。

3 應用實例

我們借用文獻[5]中的指標體系與實際數據，對上述算法的有效性進行驗證。指標體系見表1，共包含7個一級指標和22個二級指標；評價對象為2008年中部六省。

第一步，從問題的實際背景看，二級指標中的B51、B52、B63、B72可確定為逆指標，需對相應的數據做倒數變換。

第二步，將數據代入模型⑷，對A1下屬的5個二級指標B11,B12,B13,B14,B15賦權，分別求出每個DMU的最優權重，計算相應的得分。結果見表2。

表1 新型工業化水平評價指標體系

表2 A1下屬的二級指標賦權情況及A1得分

用同樣的方法處理 Ai(i=2，3，…，7)下屬的二級指標，權重的計算結果從略，表3只列出6個DMU的Ai得分。

第三步，用層次分析法對一級指標A1,A2,…，A7賦權，層次分析法的實現步驟參見文獻[5]，這里直接借用其計算結果，將權重向量定為（0.369，0.038，0.109，0.225，0.155，0.078，0.026）。

第四步，對一級指標加權求和，求出6個DMU的綜合評價值，見表3。

通過比較綜合評價值可以得到6個DMU的排列順序。這個排序結果與文獻[5]基本相似，說明本文的算法具有合理性，能夠有效區分各個DMU。從計算的簡便性上看，本文算法要優于文獻[5]。

表3 6個DMU的一級指標得分

4 結束語

考慮到常用賦權方法的“均一化”加權可能降低評價的最優性和公正性，本文建立了一個基于DEA的指標體系賦權模型，將一個二層指標體系的賦權問題分成兩部分解決，其中一級指標用傳統的AHP方法賦權，二級指標用DEA方法實現了“非均一化”加權。模型的合理性在文中得以說明，并通過一個應用實例驗證了算法的可行性。

為了論述方便，本文僅以二層結構的指標體系為例，涉及DEA之處也僅為單投入、多產出情形，但實際上模型可以推廣到多層結構以及多投入多產出的情形，其計算簡便的特點將能得到更充分的發揮。

當然，本文模型也有一定局限性。為了利用DEA框架討論賦權，首先要界定DEA模型的投入和產出項，將二級指標視為產出項是自然的，投入項則需要一定假設，我們將之設為虛擬值1，主要是因為計算方便，這樣一來完全不必考慮投入項的權重選擇，但這也意味著每個決策單元都是以一單位投入進行生產，因此作為產出的二級指標必須是平均指標或相對指標，如人均GDP、工業總資產貢獻率等，如果二級指標是“第一產業增加值”之類的總量指標，本文的賦權方法將不可用。然而，因實踐中的大部分指標體系是由平均指標或相對指標構成的，如表1的新型工業化水平評價指標體系，故本文方法仍有廣闊的應用空間。

[1]董雨，張筱希，王國華.方案比較中AHP方法的改進[J].統計與決策,2006,（2）.

[2]白先春，凌亢，郭存芝.城市可持續發展評價體系中指標群組賦權方法研究[J].運籌與管理,2009,（6）.

[3]Charnes A,Cooper W W,Rhodes E.Measuring the Efficiency of Decision Making Units[J].European Journal of Operational Research,1978，(2).

[4]盛昭瀚，朱喬，吳廣謀.DEA理論、方法與應用[M].北京：科學出版社，1996.

[5]楊建仁，劉衛東.基于灰色關聯分析和層次分析法的新型工業化水平綜合評價——以中部六省為例[J].數學的實踐與認識，2011,（2）.