未決賠款準備金評估的Mack模型及其預測均方誤差的實現

張連增，段白鴿

（南開大學 經濟學院，天津 300071）

1 Mack模型

1.1 Mack模型基本假設

傳統的確定性鏈梯法是從累計賠款流量三角形出發估計未決賠款準備金的一種方法，該方法應用簡便。在該方法下，可得到如表1的累計賠款流量三角形的一般結構。

表1 累計賠款流量三角形示例

在表1中，Ci,j表示事故年i到第j個進展年的累計賠款額（0≤i≤I,0≤j≤J）。另外一般假設I=J。

用 Ri表示對應于事故年 i的未決賠款準備金，R表示各事故年未決賠款準備金的總額。在傳統鏈梯法中，下列關系式成立：

在應用鏈梯法時，首先要估計進展因子，其后估計未決賠款準備金，其基本步驟如下：

現在引入Mack模型。在Mack模型中，Ci,j都被視為隨機變量。Mack(1993)[1]引入了以下兩個基本假設：

（1）對不同的事故年i，Ci,j是相互獨立的。

（2）對所有的 0≤i≤I，1≤j≤J，存在進展因子 f0,…,fJ-1＞0和,…,＞0 方差參數，使得：

對上述兩個假設可解釋如下：假設（1）表明，不同事故年的累計賠款額是相互獨立的，因而是不相關的。假設（2）表明，不同事故年有相同的進展因子序列，而且鏈梯法應用最近的觀察值來預測未來的賠款，即可以視為Markov鏈梯法。

1.2 Mack模型中估計量的無偏性

在上述假設下，可以證明（3）～（6）式給出的估計量分別是，fj，Ci,J,Ri和R的無偏估計量。同時，Mack(1993)給出了關于的如下估計：

下面首先證明在Mack模型的三個基本假設下，（3）～（6）式分別是 fj，Ci,J，Ri和 R 的無偏估計；其次證明在（8）式的假設下，是關于fj的最小方差的線性無偏估計；最后證明關于σj2的估計（9）式的無偏性。

1.2.1 （3）～（6）式估計量的無偏性

實際上，僅需證明下面兩個定理就可以說明（3）～（6）式估計量的無偏性。

定理1 記所有已知的上三角數據集合為DI={Ci,j,i+j≤I}。 根據假設（1）和（2），E(Ci,J|DI)=Ci,I-ifI-i…fJ-1成立。

證明：記 Ei(X)=E(X|Ci,1，…,Ci,I-i)，根據假設（1），不同的事故年i,Ci,j的相互獨立性，得到：

E(Ci,J|DI)=E(Ci,J|Ci,1,…,Ci,I-i)=Ei(Ci,J)

注意到再反復應用（7）式就可得到：

Ei(Ci,J)=Ei(E(Ci,J|Ci,1,…,Ci,J-1))

=Ei(Ci,J-1)fJ-1…=E1(Ci,I-i)fI-i…fJ-1=Ci,I-ifI-i…fJ-1

定理 2 在假設（1）及假設（2）下，{f^j,0≤j≤J-1}是無偏的，而且不同的進展因子之間是不相關的。

證明：記 Bj={Ci,k,k≤j,i+k≤I},0≤j≤J，根據假設（1）和假設（2），得到：

E(Ci,j+1|Bj)=E(Ci,j+1|Ci,1,…,Ci,j)=Ci,jfj

因此，可以得到：

設 k＜j，那么

這就證明了定理2。

根據定理2，顯然有：

1.2.2 fj的最小方差的線性無偏估計

引理 設X1,…,Xn為相互獨立的隨機變量，且滿足E(Xi)=μ，(1≤i≤n)要使在約束條件下，隨機變量的線性組合的方差達到最小，那么，wi=c/Var(Xi)（1≤i≤n），其中 Var(X)=c。

證明：上述問題等價于確定以下多元函數的條件極值：

為此構造拉格朗日函數，求解下述方程組：

解方程組 (*)得到 wi=c/Var(Xi)（1≤i≤n）， 其中 c=

故使得方差達到最小的隨機變量的線性組合為：進一步得出，

故引理得證。

上式右邊三項分別為：

將上述三項代人，得到：

2 Mack模型中預測均方誤差的計算

其中，Var[Ci,J|DI]表示純粹的隨機誤差（即過程方差）[3]，上式最后一項表示估計值與期望值的偏差（即參數估計誤差）。

預測均方誤差定義為關于已知數據的條件期望而不是無條件期望E(C^i,J-Ci,J)2，這是因為建立在已知數據上的估計量C^i,J的條件預測均方誤差，給出了C^i,J與Ci,J之間由于隨機性引起的平均偏差，更具有研究價值。對于預測均方誤差，下面的關系式成立：

2.1 條件過程方差

根據Mack模型假設（1）和假設（2），可以得到：

進一步，利用遞推公式，得到條件過程方差：

由Mack模型假設（1）得到，各事故年的未決賠款準備金之和的條件過程方差為：

把參數fj和分別替換為各自的估計量和可得到各事故年的條件過程方差的估計量，即為：

進而得到，各事故年的未決賠款準備金之和的條件過程方差的估計量為：

2.2 參數估計誤差

根據Mack模型假設（1）和假設（2），可以得到條件參數誤差：

在（16）式中，如果把fj簡單地替換為，那么結果為零。因此，需要采用另外的方法來估計該項。為簡便起見，引入符號：

將上式代人（16）式，得到：

另外，因為：

從而得到：

把未知參數fj和分別替換為各自的無偏估計量和，得到參數估計誤差的如下估計式（記為

綜合（15）式和（19）式就得到了各事故年的預測均方誤差的估計量為

先考慮兩個事故年i和k，設i＜k。那么

對上式右邊第一項，應用獨立性假設，得到

Var(Ci,J+Ck,J|DI)=Var(Ci,J|DI)+Var(Ck,J|DI)

對第二項，展開為三項之和。最后整理后，得到

一般地，未決賠款準備金總額的預測均方誤差[4]有如下Mack公式：

3 數值實例

下面以數值實例說明如何利用Mack模型計算未決賠款準備金的預測均方誤差，這里采用R語言對其進行數值實現。其累計賠款數據見表2。

表2 累計賠款數據

應用上一節的結論，編程計算得到如表3的主要數值結論。

表3 鏈梯法準備金估計以及預測均方誤差估計

另有一增量賠款數據（見表4）出現在其后很多文獻中。相應的結論見表5。

表4 增量賠款數據

表5 鏈梯法準備金估計以及預測均方誤差估計

4 結論

（1）未決賠款準備金的預測均方誤差隨著事故年已知信息的減少而增加。舉例來講，對第10個事故年，僅有一個賠款數據，此時信息最少，所以其準備金的預測均方誤差最大，該結論是符合實際情況的，因為當已知的信息越少時，估計的誤差就會越大。

（2） 估 計 結 果 的穩健性。在Mack模型的假設下，得到的總的未決賠款準備金估計的變異系數比較小，部分地說明了該方法比較穩定。

（3）Mack模型比較容易理解，在計算機上易于編程計算。

另外，本文采用R語言進行算法實現，所有的算法模塊化、可操作性強、處理速度快，其實現過程也有很高的靈活性，例如事故年和進展年可根據需要自由選擇、輸入流量三角形數據，所有的結果自動實現等等。隨著精算實務中對未決賠款準備金的波動性的逐漸重視，本文的研究對保險公司在評估準備金方法中引入隨機性方法——Mack方法，將具有十分重要的理論意義和實踐價值。

[1]T.Mack.Distribution-free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates[J].ASTIN Bulletin,1993,23(2).

[2]張連增.未決賠款準備金評估的隨機性模型與方法[M].北京：中國金融出版社，2008.

[3]G.Taylor，F.R.Ashe.Second Moments of Estimates of Outstanding Claims[J].Journal of Econometrics,1983,(23).

[4]M.V.Wüthrich，M.Merz.Stochastic Claims Reserving Methods in Insurance[M].Chichester:John Wiley&Sons,Ltd,2008.