NA樣本情形下雙參數指數分布族參數EB估計的漸近性討論

2011-05-18 08:05:24劉榮玄范發明吳高翔

統計與決策 2011年13期

關鍵詞：經驗

劉榮玄，范發明，吳高翔

（井岡山大學數理學院，江西吉安 343009）

0 引言

近幾十年來,已有許多文獻研究經驗Bayes統計推斷,這些研究文獻中絕大多數都是在獨立同分布的樣本下進行的。然而在滲透性理論和可靠性理論等實際問題中,所獲得的樣本常常不是獨立的,而是具有某種相關性,負相協（NA）和正相協（PA）樣本就是兩種常見的樣本.關于估計問題,在許多情況下正誤差（過高估計）和負誤差（過低估計）所造成的損失相差很大,因此許多研究經驗Bayes統計推斷的文獻采用了非對稱損失函數,LINEX損失就是其中常用的一種。雙參數指數分布應用很廣,一些產品的壽命分布都可以用它來刻畫,如汽車、飛機和水壩等壽命都服從這種分布。有關這些方面的研究有許多學者在不同的刊物上發表了文章，文獻[1]討論了在NA樣本情形下刻度指數族參數的經驗Bayes檢驗問題,文獻[2]討論了在NA樣本情形下單邊截斷型分布族位置參數的經驗Bayes估計,文獻[3]討論了在LINEX損失函數下單邊截斷型分布族參數的EB估計,文獻[4]討論了刻度指數族參數的經驗Bayes估計的收斂速度，文獻[5]討論了線性指數分布參數的經驗貝葉斯估計,文獻[6]討論了對稱熵損失下指數分布參數的估計,文獻[7]討論了定數截尾數據缺失場合下雙參數指數分布參數的貝葉斯估計。本文將在NA樣本情形下,假設LINEX損失函數,研究雙參數指數分布位置參數的EB估計,并證明所得到的估計是漸近最優的。

假設雙參數指數分布為

其中α為位置參數，或稱門限參數、保證時間參數，當α表示壽命、時間時,α自然是非負的；β＞0為尺度參數。

為便于研究位置參數α的估計,不妨假設β為常數,于是對給定的α時,隨機變量(r.v.)X的條件密度函數為

這里的,Ω 為參數空間 α∈Ω=（0，+∞）。

設 α 的先驗分布為 H(α),屬于先驗分布族 F={H(α):E(eαβ-1)＜∞,β＞0},則 r.v.X 的邊緣分布為

取損失函數為如下的LINEX函數,即

其中θ(x)為參數α的判決函數,c≠0,c為實數，是損失函數的尺度參數，可根據雙參數指數分布的參數β的值確定c的取值，滿足βc＞1。于是參數α的Bayes估計為

這里 E(x,α)表示對(X,α)的聯合分布取期望。

從上式可知,如果參數α的先驗分布是已知的,θ^BE(x)的Bayes 風險 R(θ^BE(x),H(α))可以計算出來,然而,通常 α 的先驗分布 H(α)是不知道，按(5)式得不到θ^BE(x)的 Bayes估計。也無法得到它的Bayes風險,但考慮到人們過去所做的工作一般都有記載,因此,下文將借用歷史數據，采用概率密度核估計的辦法,構造一個形如(5)式的參數α的EB估計θ^BE(x)，以此估計量來近似代替Bayes估計θ^BE(x)，并且可以證明這種代替在LINEX損失下其風險可任意接近 R(θ^BE(x),H(α))。收斂速度為

1 EB估計的構造

假設（X1,α1),（X2,α2),…（Xn,αn)，（X,α)為一串具有相同分布的隨機向量,X1,X2,…Xn，X,為同分布弱平穩NA隨機變量序列,它們是可觀測,有共同的邊緣概率密度 m(x)；X1,X2,…Xn為歷史樣本,X為當前樣本,α1,α2,…αn和α為不可觀測的,但有相同的先驗分布 H(α)。設 m(x)∈CS,M,x∈R1，其中 s≥2,為正整數,CS,M表示R1中的一族概率密度函數,其s階導數存在,連續其絕對值不超過M。對NA樣本序列的協方差結構假設為