指數(shù)分布場(chǎng)合無(wú)失效數(shù)據(jù)參數(shù)的分級(jí)Bayes估計(jì)

蔡國(guó)梁，徐偉卿，趙 樹(shù)

（江蘇大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

0 引言

隨著科技的發(fā)展，人們對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量要求不斷提高，產(chǎn)品的可靠性也越來(lái)越高。，在可靠性試驗(yàn)中，時(shí)常會(huì)遇到無(wú)失效數(shù)據(jù)(Zero-failure data，即在規(guī)定的截尾時(shí)間內(nèi)沒(méi)有產(chǎn)品失效)。 在高可靠性、小樣本問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)無(wú)失效數(shù)據(jù)。特別是對(duì)于長(zhǎng)壽命的試驗(yàn)樣品，由于實(shí)際試驗(yàn)條件的限制，更容易產(chǎn)生無(wú)失效數(shù)據(jù)。所以對(duì)無(wú)失效數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性研究，越來(lái)越具有理論和實(shí)際價(jià)值。

近年來(lái)，應(yīng)用和改進(jìn)Bayes方法研究無(wú)失效數(shù)據(jù)的失效概率方面取得了一些進(jìn)展。 特別是自Lindley和Smith提出多層先驗(yàn)分布的想法和韓明給出先驗(yàn)分布的構(gòu)造方法以來(lái)，多層Bayes方法在無(wú)失效數(shù)據(jù)可靠性參數(shù)估計(jì)上取得了一些進(jìn)展。文獻(xiàn)[1].[2]改進(jìn)了多層Bayese方法進(jìn)行了E-Bayes方法的研究。 文獻(xiàn)[3]在威布爾分布場(chǎng)合下提出了一種對(duì)累積失效概率的分級(jí)Bayese估計(jì)。

本文將分級(jí)Bayese估計(jì)方法應(yīng)用于指數(shù)分布下的無(wú)失效數(shù)據(jù)的研究。首先用分級(jí)Bayes方法對(duì)Pi估計(jì)；然后引用文獻(xiàn)[4]的方法，對(duì)參數(shù)θ和λ進(jìn)行最小二乘法的估計(jì)；最后得到可靠度的估計(jì)。

1 數(shù)據(jù)模型

從以上的實(shí)驗(yàn)過(guò)程來(lái)看，作如下假定:

（1）t=0 時(shí)，產(chǎn)品失效的概率為 0，即 F（0）=P（T≤0）=0。

（2）令 pi=P（T≤ti）=F（ti），因?yàn)?0＜t1＜t2＜…＜tm，所以 p1＜p2＜…＜pm，且pi較小。下面討論，假定產(chǎn)品壽命T服從指數(shù)分布時(shí)，如何利用先驗(yàn)信息，來(lái)估計(jì)未知參數(shù)θ及作可靠度估計(jì)。

其中θ是參數(shù)，并且T是均值。

為評(píng)定產(chǎn)品的可靠性，隨機(jī)的選取n個(gè)樣品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，現(xiàn)將這些產(chǎn)品分成m組，各組樣品數(shù)分別為n1，n2，…，nm，

2 pi的分級(jí)Bayes估計(jì)

在（θ1，θ2）上的不完全 Beta 分布可表示為 Beta（θ1，θ2，a，b），其分布密度函數(shù)為

其中 θ1＜θ2，a＞0，b＞0，Beta 函數(shù)

由于產(chǎn)品的失效概率pi∈（0，1），所以很多人在用Beta方法解決問(wèn)題時(shí)，往往把pi的先驗(yàn)分布取為（0，1）上的均勻分布U（0，1）。但是在無(wú)失效情況下，失效概率大的可能性小，失效概率小的可能性大。因此，取均勻分布作為pi的先驗(yàn)分布不太恰當(dāng)。文獻(xiàn)[6]中采用一種新的構(gòu)造多層先驗(yàn)分布的方法——減函數(shù)法，即選取pi的減函數(shù)作為pi的先驗(yàn)分布的密度函數(shù)之核。它符合在無(wú)失效情況下，pi大的可能性小，而pi小的可能性大的要求。本文先估計(jì)出p1，然后在不完全 Beta（1，1，b）分布下對(duì) p2進(jìn)行修正得到，再在不完全Beta下對(duì) p3進(jìn)行修正得到，依次類推得出 pi的分級(jí)Bayes估計(jì)

3.1 p1的估計(jì)

考慮到Beta密度函數(shù)在b越大的情況下，其右側(cè)尾部越細(xì)，而從Bayes估計(jì)的穩(wěn)健性角度看，尾部越細(xì)的先驗(yàn)分布常使Bayes估計(jì)的穩(wěn)健性差。因此，b應(yīng)有上界c，其中c為常數(shù)。 取 a與 b 的超先驗(yàn)分布為 π（a）=1，π（b）=U（1，c） 時(shí)，Beta分布的密度函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)pm，符合各失效概率pi較小的可能性大，而較大的可能性小的先驗(yàn)信息。

p1的多層Bayes估計(jì)為:

2.2 p2的估計(jì)

2.3 p1的估計(jì)

以 pi的一級(jí)先驗(yàn)分布為，1）上的不完全b）分布作為先驗(yàn)分布，則 pi的先驗(yàn)分布為：πi（pi）=f（pi/c，）則pi的分級(jí)Bayes的估計(jì)為：

3 參數(shù)θ的估計(jì)

當(dāng)產(chǎn)品的壽命T服從指數(shù)分布exp（θ）時(shí)，產(chǎn)品到時(shí)間ti失效的失效概率為：

Pi=P（T≤ti）=1-exp（-λti）（λ=1/θ）（i=1，2，…，m）

又可以表示為：

-ln（1-pi）=λti（i=1，2，…，m）

用p^i代替 pi產(chǎn)生的誤差 εi，上式改寫為 -ln（1-pi）=ti/θ+εi，i=1，2，…，m。 設(shè)-ln（1-pi）=yi，1/θ=λ。 則上式可變形為如下的線性方程 yi=λti+εi。 再設(shè) Y=（y1，y2， …ym）;T=（t1，t2， …，tm）；ε=（ε1，ε2，…，εm），則 Y=λT+ε。

利用最小二乘法可得參數(shù)的λ的估計(jì)為：

參數(shù)θ的估計(jì)為

進(jìn)而可得任意時(shí)刻t的可靠度估計(jì)為

4 實(shí)例

以文獻(xiàn)[7]試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，求出可靠性估計(jì)。某產(chǎn)品的可靠性試驗(yàn)中，隨機(jī)抽取51個(gè)樣本進(jìn)行定時(shí)截尾試驗(yàn)，整個(gè)過(guò)程無(wú)一樣本失效，全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表1所示。其中i是組號(hào)，ti是該組的運(yùn)行時(shí)間，si是樣品個(gè)數(shù)。表2給出了可靠度的估計(jì)，其中ti是該組的運(yùn)行時(shí)間的整數(shù)修正。

通過(guò)數(shù)據(jù)可以看出，隨著時(shí)間的增加，失效率逐漸降低。從而驗(yàn)證了試驗(yàn)的無(wú)失效情況下，失效概率大的可能性小，失效概率小的可能性大的特性。說(shuō)明本文用分級(jí)Bayes方法對(duì)指數(shù)分布場(chǎng)合下可靠度估計(jì)的可行性。

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

5 結(jié)論

利用分級(jí)Bayes方法，分析了無(wú)失效數(shù)據(jù)在指數(shù)分布場(chǎng)合下的失效概率pi，給出了pi的分級(jí)Bayes估計(jì)。通過(guò)修正后的pi，利用最小二乘法估計(jì)出可靠度R，通過(guò)實(shí)例數(shù)據(jù)，證明了方法在指數(shù)分布場(chǎng)合下對(duì)失效概率估計(jì)的可行性。

[1]Guoliang Cai，Lailin Wu.Bayesian Analysis of Failure Probability UnderZero-failure Dat a[C].ProceedingsofFirstWorld Congress on Global Optimization in Engineering&Science(WCGO-2009)， 2009，（2）.

[2]蔡國(guó)梁，吳來(lái)林，唐曉芬.雙超參數(shù)無(wú)失效數(shù)據(jù)的E-Bayes可靠性分析[J].江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，31（6）.

[3]劉騰騰，劉健亭.滾動(dòng)軸承小樣本無(wú)失效數(shù)據(jù)的Bayes可靠性分析[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，21（6）.

[4]龍賓.指數(shù)分布下無(wú)失效數(shù)據(jù)的參數(shù)和可靠度估計(jì)[J].樂(lè)山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，21（5）.

[5]朱寧，方愛(ài)秋.不同損失下指數(shù)-威布爾參數(shù)的Bayes的估計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2008，21（4）.

[6]韓明.多層先驗(yàn)分布的構(gòu)造及其應(yīng)用[J].運(yùn)籌學(xué)與管理，1997，（6）.

[7]趙海兵，程依明.指數(shù)分布場(chǎng)合下無(wú)失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2004，（2）.