基于LS-SVM非線性內(nèi)?？刂圃诤缚p跟蹤中的運(yùn)用

姜一達(dá) ，王書軍

（1.洛陽師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，河南 洛陽 471022；2.河南華潤電力首陽山有限公司，河南 洛陽 471000）

焊接過程中，由于工件的加工誤差、熱變形、定位誤差等各種因素的影響，經(jīng)常使焊槍偏離焊縫中心，導(dǎo)致焊接質(zhì)量下降。為保證焊接的可靠性，必須實(shí)時(shí)檢測焊縫的位置，使焊槍始終對準(zhǔn)焊縫中心，進(jìn)行焊縫的自動(dòng)跟蹤。由于焊接是一個(gè)非常復(fù)雜的過程，各種時(shí)變、非線性、多耦合的影響因素很多，很難甚至不可能建立跟蹤過程的精確數(shù)學(xué)模型。即使采用經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論方法，系統(tǒng)的性能也不能令人滿意。

內(nèi)模控制具有調(diào)節(jié)性能好、魯棒性強(qiáng)以及能消除不可測干擾的影響等特點(diǎn)，但內(nèi)?？刂频姆€(wěn)定性與控制效果取決于模型與被控過程的匹配情況[1-2]。通過樣本數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)固定的逆模型，與系統(tǒng)串聯(lián)成精確的偽線性系統(tǒng)，對偽線性系統(tǒng)采用魯棒性強(qiáng)的內(nèi)?？刂?，對非線性系統(tǒng)具有較好的控制效果。

LS-SVM是基于SVM的一種改進(jìn)算法[3-5]，它是SVM在二次損失函數(shù)下的一種形式，用二次損失函數(shù)取代SVM中的不敏感損失函數(shù)，通過構(gòu)造損失函數(shù)將原SVM中算法的二次尋優(yōu)變?yōu)榍蠼饩€性方程，簡化了計(jì)算的復(fù)雜性。

本文將LS-SVM用于系統(tǒng)的逆建模，提出了一種新的用于水下機(jī)器人焊接焊縫跟蹤的基于LS-SVM非線性內(nèi)?？刂扑惴?，實(shí)現(xiàn)了快速響應(yīng)和平滑過渡。

1 基于LS-SVM非線性內(nèi)?？刂?/h2>

1.1 最小二乘支持向量機(jī)簡介

對于給定的樣本集{xk，yk}Nk-1，xk∈Rp為 p維輸入向量，yk∈Rp，k=1，2，…N，N 為樣本個(gè)數(shù)。

首先用非線性映射φ(x)將輸入向量映射到高維特征空間。在這個(gè)特征空間構(gòu)造最優(yōu)化決策函數(shù)。

其中w為權(quán)向量，β為偏移量。

在LS-SVM中，目標(biāo)函數(shù)描述為：

式中，J為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，C為正則化參數(shù)，ek為不敏感損失函數(shù)的松弛因子。

定義拉格朗日函數(shù)：

式中，αk為拉格朗日乘子，根據(jù) Karush-Kuhn-Tucker(KKT)最優(yōu)條件[7]，得：

從而求解的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組問題。

式中，α=[α1，…，αN]T，I=[I，…，I]T，y=[y1，…，yN]T選擇滿足Mercer條件的核函數(shù)。

本文中核函數(shù)選取徑向基函數(shù)：

式中的σ是一正的實(shí)常數(shù)，表示核寬度。

非線性回歸函數(shù)就可以表示為：

1.2 LS-SVM非線性內(nèi)?？刂?/h3>

考慮一類可逆MIMO非線性離散系統(tǒng)：

其中 u(k)，y(k)分別為輸入輸出量，則式(10)u(k)的顯示表達(dá)式為：

令：參考輸入 φ(k)=y(k+1)，則式(11)可以表示為：

由于式(11)在工程實(shí)際中難以確切描述，本文擬采用LS-SVM逼近系統(tǒng)式(10)的逆模型，即式(11)的逼近式?？梢员硎緸椋?/p>

這里{xIk，uk}(k=1，…，N)為逆建模的訓(xùn)練樣本集，uk=u(k)，xI(k)是輸入向量，表示為：

其中 u-=[u(k-1)，u(k-2)，…，u(k-m)]

y-=[y(k-1)，y(k-2)，…，y(k-n)]

y+=[y(k+1)，y(k)]

通過LS-SVM學(xué)習(xí)，利用已知數(shù)據(jù)對系統(tǒng)建立系統(tǒng)的逆模型。采用內(nèi)模控制，以復(fù)合偽線性系統(tǒng)為對象，將訓(xùn)練后的LS-SVM與被控對象復(fù)合成偽線性系統(tǒng)。

焊縫跟蹤控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)方框圖如圖1所示。機(jī)器人焊縫跟蹤系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是一組非線性的微分方程，其中電機(jī)伺服系統(tǒng)、焊接電源等電氣參數(shù)是可變的，相當(dāng)復(fù)雜。

圖1 焊縫跟蹤控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)方框圖

2 仿真分析

根據(jù)相關(guān)資料，可將機(jī)器人作為一個(gè)二階環(huán)節(jié)處理，不失一般性，選用如下的傳遞函數(shù)作為仿真對象。即：

式中，I(s)為控制系統(tǒng)的輸入拉普拉斯變換函數(shù)，H(s)為系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換函數(shù)。取采樣時(shí)間ts=0.01，G(s)離散化后表示為

2.1 逆系統(tǒng)模型的建立

在系統(tǒng)仿真中，根據(jù)機(jī)器人焊接試驗(yàn)采集到的數(shù)據(jù)，采用LS-SVM逆系統(tǒng)建模方法對被控對象建立其對應(yīng)的逆模型，圖2給出了LS-SVM逆模型辨識仿真曲線。從圖中可以看出，LS-SVM能很好地逼近逆系統(tǒng)。

2.2 內(nèi)?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)

逆系統(tǒng)和原系統(tǒng)串聯(lián)后的偽線性系統(tǒng)輸入輸出已呈標(biāo)準(zhǔn)的帶有一階時(shí)延的線性解耦系統(tǒng)。

圖2 實(shí)際逆系統(tǒng)的輸出和LS-SVM逆模型的輸出

仿真結(jié)果如圖3所示，基于LS-SVM非線性內(nèi)?？刂破鲗υ肼暤目垢蓴_能力較好。

圖3 基于LS-SVM非線性內(nèi)模控制效果

由仿真結(jié)果可以看出本文所提出的方法發(fā)生常值攝動(dòng)和受到常值的強(qiáng)干擾的情況下，均有很好的跟蹤效果。

針對機(jī)器人焊縫跟蹤系統(tǒng)的典型非線性系統(tǒng)，提出了一種新的控制基于LS-SVM非線性內(nèi)模控制算法。仿真結(jié)果表明，該方法控制精度高、速度快、魯棒性好，控制器能很好地實(shí)現(xiàn)焊縫跟蹤。本文所提方法針對一般的非線性系統(tǒng)，且物理概念清晰，適用面廣，便于工程應(yīng)用。

[1]周涌，陳慶偉，胡維禮，內(nèi)模控制研究的新發(fā)展[J].控制理論與應(yīng)用，2004，21(3)：475-482.

[2]趙噯.論兩種改進(jìn)內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)的等價(jià)性[J].控制與決策，2007，22(10)：1170-1176.

[3]SUYKENS J A K，VANDEWALLE J.Least squares support vectormachine classifiers [J].NeuralProcessing letters.1999，9(3)：293-300.

[4]SUYKENSJA K，VANDEWALLE J.Multiclassleast squares support vector machines[C].IJCNN’99 International JointConference on NeuralNetworks.Washington DC.1999.

[5]CORTES C，VAPNIK V.Support vector networks[J].Machine Learning， 1995，20：273-297.