混合流體對流中擾動的成長

周倩，寧利中，張淑蕓，李國棟

（西安理工大學水利水電學院，西安710048）

在一個封閉的表面溫度恒定，下表面加熱的空腔內，對底部流體加熱使其膨脹，因為其上部溫度相對下部溫度較低，密度較小，下部流體在上升中接觸溫度較低的流體時能量消耗，密度變大，溫度變低，繼續加高底部溫度，當某些底部流體的溫度足夠大，密度足夠小時，能夠上升到頂部，也不至于消耗全部能量，這樣形成溫度差，導致腔體內流體運動的流動現象即為Rayleigh-Benard對流現象[1-3]。

自1980年以來，混合流體在溫度梯度作用下Soret效應的影響下，研究者發現了混合流體的Rayleigh-Benard對流出現了許多不同于純流體對流運動的斑圖形成過程和現象。當表征流體非線性特性的參數——分離比（separation ratio）鬃＞0時的混合流體，對流系統出現了類似于純流體時的分叉情況，失穩后的對流斑圖也是定常的[4]；而當鬃＜0時，對流系統超過某個臨界值之后，對流系統會出現行進波對流斑圖。因此，許多學者針對這些獨特的現象開展了大量的研究工作。Rayleigh-Benard對流模型已經成為研究非平衡對流耗散系統的動力特性、時空結構（時間、空間上的變化）以及斑圖（Pattern）形成的典型模型之一[5]。本文在分離比鬃=－0.4情況下，討論了瑞利數對小擾動的傳播特性的影響，并且分析了相應的對流斑圖結構。

1 數學模型

1.1 流體力學基本方程組[6-11]

布辛涅克斯（Boussinesq）近似假設中，認為在由浮力誘導的流體運動中，當溫度足夠小時，僅考慮在浮力項中密度的變化。在混合流體中，如果所有的長度用空腔高度d,時間由d2/v，速度場由v/d,溫度由，濃度由，壓力由無因次化，其中k有量綱，琢為無量綱的量綱為1。則考慮了Soret效應的流體力學基本方程組可表示為：

式中，琢和茁分別為熱引起的體積膨脹系數和濃度變化引起的體積膨脹系數。

其中，不論是液體還是氣體，溫度升高時密度都會減小，而始終琢躍0，所以琢的作用是單調的。研究發現當茁躍0時，系統會出現局部行進波、行進波以及定常流動狀態；當茁約0時，系統會出現定常流動，這類似于純流體的情況，由此可以看出茁的作用是不一樣的。

如果擾動量定義為瞬時值與傳導狀態之差的話，

這里，u=（u,0,w）,將上述方程代入基本方程，則擾動方程為：

式中u，w分別為水平方向和垂直方向的流速。

1.2 邊界條件和初始條件

為了求解控制方程，我們需要為u，茲，濁設定邊界條件.在z=0，1處，我們強加一個無滑動的，不可穿透的壁面。由于濃度流濁在無滑動的壁面上是純擴散的，那么

以避免濃度流透過壁面。無滑動壁面就被寫作

溫度在壁面上就是等溫的，擾動后溫度的邊界條件就是

當z=0,1時，茲=0

因為混合流體被限制在一個矩形的腔體內，則在x=0，祝處的側邊界條件就是速度上沒有滑動，隔熱的，濃度流在壁面上是不可穿透的，即為：

數值模擬中假定波長為2倍腔體高度的平行滾動為初始流動，從峰值稍微偏離腔體中心的高斯分布的小擾動開始計算滾動微小振幅的包絡線。

1.3 數值計算方法

這里采用MAC法數值求解偏微分方程。時間導數利用向前差分法，空間導數使用中心差分法；時間步長為△t=0.000 5，空間均勻網格的分辨率。這里。這里△t，△x，△z都用無量綱表示。由連續方程和動量方程推導出來的壓力方程具有泊松方程的形式。壓力方程使用ICCG（不完整的喬里斯基共軛梯度法）方法求解。

本次數值模擬取祝=30，鬃=原0.4，Pr=13.8，L=0.01。

2 數值模擬結果

2.1 小擾動的線性成長

圖1為分離比鬃=原0.4時不同的瑞利數r下溫度場線性變化階段的成長情況。r=1.9時，溫度場線性變化階段需要的時間t=172.5；r=2.0時，t=125；r=2.1時，t=95；r=2.3時，t=42.5；r=2.4時，t=41；r=2.5時，t=40；r=2.6時，t=27.5。

由圖1可以看出，r越小，線性變化階段所需要的時間越長，r越大，線性變化階段所需要的時間越短，最大振幅在這個階段上茲max邑exp(酌mt)，最大振幅的成長率是r的函數。

圖2為分離比鬃=原0.4的成長率酌m隨r的變化情況，從圖中可以看出，不同的瑞利數r保持著不同的成長率酌m。成長率酌m隨著瑞利數r的增大而呈現增長的趨勢。由此可見，成長率酌m可以擬合為：

圖1 不同r時溫度隨時間的變化情況

圖2 成長率酌m隨相對瑞利數r的變化

2.2 過渡階段的對流斑圖結構

圖3為r=1.9，t=100～300時經過小擾動線性成長以后的對流斑圖結構，圖中橫軸為腔體的長度方向，縱軸為時間長度。從圖中可以看出，小擾動在t=0～172.5一直是處于溫度場線性變化階段；從172.5開始，才開始出現非線性變化，行進波都是向下游傳播，沒有改變對流傳播方向。剛開始出現非線性變化時，行進波以緩慢的速度向下游傳播，在到達t=230左右時，行進波的傳播速度開始加快，一直到穩定狀態。而從x=12～18時，在t=220～260時，出現了3個缺陷，此后就一直處于穩定的行進波狀態。

當r=2.0時過渡階段的對流斑圖結構如圖4所示。從圖中可以清楚地看出小擾動線性階段后的過渡狀態。當t=125時，溫度場開始進入非線性變化階段，擾動在x=13開始，速度迅速地分別向上游和下游傳播，腔體內出現了有缺陷的對傳波,行進波方向從缺陷向兩邊傳播。這是從線性階段向非線性轉化的第2種過渡形式。

圖3 r=1.9時溫度場隨時間變化

圖4 r=2.0時溫度場隨時間變化

圖5 r=2.1時溫度場隨時間變化。

當r=2.1時，出現了第3種過渡過程，如圖5所示。從圖中可以看到對流行進波的擺動過程。腔體內小擾動是從t=95開始進入非線性變化階段，這時，行進波在x=11～14處開始有了缺陷，傳播到t=200時，缺陷變小了，但一直存在著。缺陷左側的行進波向下游傳播，而缺陷右側的行進波卻向上游傳播。行進波的傳播方向始終沒有發生改變。這類似文獻[10]的觀測結果。

3 結語

本文通過二維流體力學擾動方程的數值模擬，發現成長率酌m是隨著瑞利數r的增大而增大的，可表示為酌m=0.039 8 r7.8061。小擾動從線性階段向非線性的轉化過程可分為3種類型。小擾動的成長是依賴于瑞利數r的。

[1]寧利中，原田義文，八幡英雄.二成分混合流體Rayleigh-Benard 對流[J].西安理工大學學報，2004，20（4）：356-360.

[2]ASSENHEIMER M，STEINBERG V.Transition Between Spiral and Target States in Rayleigh-Benard Convection[J].Nature，1994，367：345-347.

[3]NING Lizhong.Rayleigh-Benard Convection in a Binary Fluid Mixture with and Without Lateral Flow[M].Xi’an：Northwest A&F University Press，2006：1-11.

[4]CHANDRASEKHAR S.Hydrodynamics and Hydromagnetic Stability[M].Oxford University Press，1961：1-71.

[5]CROSS M C,HOHENBERG P C.Pattern Formation Outside of Equilibrium[J].Rev Mod Phys,1993,65（3）:851-1 112.

[6]YAHATA H.Dynamics of Convection in Binary Fluid Mixtures[J].Prog Theor Phys,Supplement,1989,99:493-501.

[7]NING Lizhong.Traveling Wave Convection in Binary Fluid Mixtures[M].Tokyo:A Bell and Howell Company,1999.1-138

[8]BARTEN W,LUCKE M,KAMPS M,et al.Convection in Binary Fluid Mixtures I.Extended Traveling Wave and Stationary States[J].Phys Rev 1995,E51（6）:5636-5661

[9]NING Lizhong,HARADA Y,YAHATA H.Modulated Traveling Waves in Binary Fluid Convection in an Intermediate-Aspect-Ratio Rectangular [J].Prog Theor Phys,1997,97（6）:831-848.

[10]NING Lizhong,HARADA Y,YAHATA H.Formation Process of the Traveling Wave State with a Defect in Binary Fluid Convection[J].Prog Theor Phys 1997,98（3）:551-566.

[11]NING Lizhong,HARADA Y,YAHATA H.Dynamics of Localized Traveling Wave in Binary Fluid Mixtures[J].J Hydrodyn 1998,B10（2）:29-39.