混沌算子模型在人口預(yù)測中的應(yīng)用

鄒曉玫，修春波

(1.天津商業(yè)大學(xué) 法學(xué)院，天津300134；2.南開大學(xué) 周恩來政府管理學(xué)院，天津300071；3.天津工業(yè)大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，天津300160)

0 引言

中國是世界人口第一大國，人口問題一直是關(guān)系中國發(fā)展的重要因素之一。人口數(shù)量以及人口增長趨勢的正確預(yù)測對于人口和宏觀調(diào)控政策的制定具有重要的指導(dǎo)意義。目前，用于人口預(yù)測的數(shù)學(xué)模型有很多，如一元線性回歸法、自回歸法、指數(shù)函數(shù)法、冪函數(shù)法、多元回歸模型法、灰色系統(tǒng)法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等。這些方法通常是采用擬合歷史數(shù)據(jù)的方法建立近似的數(shù)學(xué)模型。

由于人口系統(tǒng)十分復(fù)雜，其變化與生育、死亡、疾病、環(huán)境、社會、經(jīng)濟等諸多因素有關(guān)。簡單的數(shù)據(jù)擬合方法很難揭示其內(nèi)在的本質(zhì)，因此上述模型的建立具有一定的局限性。

本文提出一種新的混沌算子模型用于預(yù)測我國人口數(shù)量。該模型通過不斷訓(xùn)練控制參數(shù)逐漸逼近人口系統(tǒng)的動力學(xué)行為，從而得到良好的預(yù)測結(jié)果。

1 模型的建立

根據(jù)已有人口數(shù)據(jù)建立人口模型十分困難，這主要是由于人口系統(tǒng)是一個非常復(fù)雜的非線性動力系統(tǒng)，有多種因素直接或間接地對該系統(tǒng)產(chǎn)生影響，這些因素之間也存在著各種復(fù)雜的耦合關(guān)系，無法解析表達。另外，目前已有的人口數(shù)據(jù)量少，數(shù)據(jù)信息不全面，數(shù)據(jù)的采樣間隔大，通常兩個相鄰的數(shù)據(jù)之間的采樣間隔為1年。幾個相鄰的數(shù)據(jù)跨越幾年的時間。在這幾年中，社會環(huán)境和自然環(huán)境可能發(fā)生了巨大的變化，人口模型也可能已經(jīng)發(fā)生了本質(zhì)的改變。也就是說，人口模型實質(zhì)上是一個隨著時間的推移不斷變化的動態(tài)模型，本質(zhì)上無法用一成不變的靜態(tài)數(shù)學(xué)模型對其進行描述。

據(jù)此，本文提出一種新的預(yù)測模型，預(yù)測模型由多個混沌算子加權(quán)和的形式構(gòu)成。通過不斷調(diào)整混沌算子的控制參數(shù)，來改變各個混沌算子的動力學(xué)行為。最終使得預(yù)測模型的動力學(xué)特性逐漸趨近于人口系統(tǒng)的動力學(xué)特性，并不斷隨之變化，從而實現(xiàn)人口數(shù)據(jù)的預(yù)測。

混沌映射具有豐富的動力學(xué)特性，例如式(1)的映射即為一個混沌映射，調(diào)節(jié)控制參數(shù)α可使該映射產(chǎn)生不同的動力學(xué)行為。圖1給出了控制參數(shù)α變化時該映射的Lyapunov指數(shù)圖。Lyapunov指數(shù)大于0時意味著混沌的發(fā)生，且Lyapunov指數(shù)越大，混沌度也越大。

圖1 函數(shù)xn+1=sinαxn的Lyapunov指數(shù)隨α變化圖

本文將式(1)映射選為混沌算子，采用多個混沌算子加權(quán)和的形式構(gòu)造出如下的預(yù)測模型：

其中y為模型的預(yù)測值，xj為模型的第j個輸入，zi為第i個混沌算子的總輸入，αi為第i個混沌算子的控制參數(shù)。wi2為第i個混沌算子的加權(quán)系數(shù)，wji1為第j個輸入與第i個混沌算子的連接系數(shù)。M為混沌算子的數(shù)量，m為輸入數(shù)據(jù)個數(shù)。為了簡化模型，權(quán)值系數(shù)設(shè)置為：wi2=1/M，wji1=1。這樣，預(yù)測模型的動力學(xué)行為就完全由混沌算子的控制參數(shù)決定。調(diào)整每個混沌算子控制參數(shù)的大小，可使得每個混沌算子具有不同的動力學(xué)特性，從而可使得預(yù)測模型表現(xiàn)出不同的動力學(xué)行為。利用已知數(shù)據(jù)可構(gòu)造出預(yù)測模型的訓(xùn)練樣本，通過不斷調(diào)整混沌算子控制參數(shù)，可使得預(yù)測模型逐漸逼近待預(yù)測系統(tǒng)的動力學(xué)行為，并保持其隨之變化，從而完成時間序列的預(yù)測功能。

2 人口數(shù)量的預(yù)測

設(shè)已知的人口數(shù)據(jù)為{x1,x2,…,xn}，預(yù)測的步長為p，則可構(gòu)造出(n-m+1-p)個訓(xùn)練樣本，第i個訓(xùn)練樣本為：Xi=[(xi,xi+1,…,xi+m-1)(xi+m-1+p)]，其中(xi,xi+1,…,xi+m-1)為第 i個訓(xùn)練樣本的輸入數(shù)據(jù)，(xi+m-1+p)為第i個訓(xùn)練樣本的期望輸出。

由于混沌算子具有復(fù)雜的動力學(xué)行為特性，通常的學(xué)習(xí)算法很難實現(xiàn)混沌算子參數(shù)的調(diào)整，這里采用一種簡單的試湊法完成混沌算子參數(shù)的訓(xùn)練。具體描述如下：

Step1.初始化參數(shù)。樣本序號k=1，混沌算子序號l=1，在(0,1)范圍內(nèi)隨機初始化混沌算子參數(shù)αi。

Step2.輸入第k個訓(xùn)練樣本，計算預(yù)測模型的輸出及其與期望值之間的誤差。

Step3.正向調(diào)節(jié)第l個混沌算子參數(shù)值。增大該混沌算子參數(shù)，即

其中，λ為調(diào)解尺度，c為(0,1)之間的隨機數(shù)。

計算此時預(yù)測模型的輸出與期望值之間的誤差，如果誤差減小，則繼續(xù)按照式(4)向正方向調(diào)節(jié)該混沌算子參數(shù)值。如果誤差增大，則停止調(diào)節(jié)，并將該混沌算子參數(shù)值恢復(fù)為調(diào)節(jié)之前的值。

Step4.采用Step3中類似的方法，利用式(5)反方向調(diào)節(jié)混沌算子參數(shù)值。

Step5.l=l+1，如果l≤M，則返回Step3繼續(xù)調(diào)節(jié)下一個混沌算子參數(shù)。如果l＞M，則轉(zhuǎn)至Step6。

Step6.l=1，k=k+1，如果k≤(n-m+1-p)，則返回Step2繼續(xù)訓(xùn)練參數(shù)。如果k＞(n-m+1-p)，則完成樣本訓(xùn)練，轉(zhuǎn)Step7。

Step7.輸入(xk+1,xk+2,…,xk+m)，計算預(yù)測模型的輸出值即為預(yù)測結(jié)果。

預(yù)測模型根據(jù)訓(xùn)練樣本的誤差逐一調(diào)節(jié)混沌算子控制參數(shù)，使得預(yù)測模型逐步逼近預(yù)測序列的動力學(xué)特性，并隨之不斷改變。這比單一的靜態(tài)擬和數(shù)據(jù)相比增強了自適應(yīng)性。對于采樣間隔長、動力學(xué)特性隨時改變的系統(tǒng)來說將具有良好的預(yù)測性能。

3 預(yù)測結(jié)果分析

利用《中國人口統(tǒng)計年鑒》和《中華人民共和國2009年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》上的數(shù)據(jù)，對中國人口總數(shù)進行預(yù)測分析。所得預(yù)測結(jié)果和誤差曲線如圖2和圖3所示。

從預(yù)測結(jié)果可見，在預(yù)測初期，由于預(yù)測模型的控制參數(shù)為隨機選取，訓(xùn)練不夠充分，因此預(yù)測誤差較大，隨著訓(xùn)練過程的進行，預(yù)測模型的控制參數(shù)逐漸得到調(diào)整和訓(xùn)練，預(yù)測模型的動力學(xué)特性逐漸與被預(yù)測系統(tǒng)的動力學(xué)特性相接近，因此誤差逐漸減小，預(yù)測效果逐漸得到改善，并得到較高的預(yù)測精度。

圖2 全國人口總數(shù)預(yù)測結(jié)果

圖3 全國人口總數(shù)預(yù)測誤差

采用不同的預(yù)測方法對2006年-2008年的人口總數(shù)進行預(yù)測，所得預(yù)測結(jié)果如表1所示。

表1 不同預(yù)測方法的對比結(jié)果

從表1可見，本文方法可較好地實現(xiàn)對我國人口數(shù)據(jù)的預(yù)測，與現(xiàn)有的其他方法相比，預(yù)測精度更高。這是由于本文所提的預(yù)測模型在訓(xùn)練過程中不斷調(diào)整控制參數(shù)，可使預(yù)測模型逐漸逼近已知序列的動力學(xué)特性，并隨著其動力學(xué)特性的改變而一致變化，因此可獲得更準(zhǔn)確的預(yù)測結(jié)果。

采用本文預(yù)測方法對我國未來幾年的人口數(shù)據(jù)進行預(yù)測，所得結(jié)果如表2：

表2 對未來幾年人口數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果

從預(yù)測結(jié)果可見，未來幾年我國人口數(shù)量仍然處于上升的趨勢，到2015年將達到13.7億左右。

4 結(jié)論

本文提出了一種混沌算子預(yù)測模型，并應(yīng)用其對我國人口數(shù)據(jù)進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果表明，該模型具有較高的預(yù)測精度。可應(yīng)用其對我國未來幾年人口數(shù)量進行有效預(yù)測。對于人口政策以及宏觀調(diào)控政策的制定具有積極的參考價值。

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