基于LabVIEW晶體生長檢測系統(tǒng)的圓弧擬合技術(shù)

白 雨 ，程光偉

(西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院，陜西西安 710032)

隨著單晶硅片制造向大直徑化發(fā)展，直拉法單晶硅生長技術(shù)在單晶硅制造中逐漸顯出其主導(dǎo)地位。為使結(jié)晶過程更加穩(wěn)定和實(shí)用有效，則需提高對工藝參數(shù)的控制精度，基于機(jī)器視覺的檢測技術(shù)對單晶硅等徑生長速度控制技術(shù)得到業(yè)界的重視[1]。

系統(tǒng)開發(fā)工具為LabVIEW，它是美國國家儀器公司核心軟件產(chǎn)品，廣泛應(yīng)用于測試測量領(lǐng)域。它使用圖形化編程語言編程，配套的圖像處理軟件包能提供豐富的圖像處理與分析算法函數(shù)，極大地方便了用戶，使構(gòu)建圖像處理與分析系統(tǒng)容易、靈活、程序移植性好，大大縮短了系統(tǒng)開發(fā)周期。

1 系統(tǒng)直徑檢測依據(jù)

系統(tǒng)按照一定角度拍攝單晶硅生長信息。如圖1所示，上端的兩個小部分圓弧為導(dǎo)流筒的邊沿在熔液面上的反射，圖像中間最亮的綠色圓弧為單晶硅棒與坩堝內(nèi)部熔液液面產(chǎn)生“釋熱光環(huán)”的一部分，由于單晶硅直徑變化會引起“釋熱光環(huán)”大小的變化，所以單晶硅生長直徑的檢測可以通過檢測“釋熱光環(huán)”的內(nèi)徑實(shí)現(xiàn)。

圖1 晶體生長信息圖

系統(tǒng)在LabVIEW平臺下，運(yùn)用G語言對采集的晶體生長信息圖進(jìn)行去噪、銳化、二值化和邊緣檢測等數(shù)字圖像處理技術(shù)進(jìn)行處理[2]，使其能再現(xiàn)原光環(huán)特征的黑白圖像。圖2為邊緣檢測后的圖像。由于所采集的圓弧為“釋熱光環(huán)”的一部分，為對晶體直徑進(jìn)行測量就需要對拍攝到的部分圓弧進(jìn)行圓弧擬合，通過擬合后的圓進(jìn)行晶體直徑測量。

圖2 邊緣檢測圖

2 “最小二乘法”圓弧擬合原理

通過拍攝圖片可以看出，只拍攝到部分“釋熱光環(huán)”，就需要對圓弧進(jìn)行擬合，當(dāng)3點(diǎn)位于一個圓周上時，可以用圖解或解析的方法確定圓心位置，如“三點(diǎn)定圓法”[3]。當(dāng)采集點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)＞3時，可以用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，求得圓的最合適位置，計算出圓心坐標(biāo)。

運(yùn)用最小二乘法原理作圓心檢測，最小二乘法有使誤差平方和為最小的擬合作用。從解析幾何中可知，中心在(a，b)，半徑為R的圓的方程是

將式(1)中的括號展開并移項，得

如果令A(yù)=-2a，B=-2b，C=a2+b2-R2，則式(2)可變換為

式(3)稱為圓的一般方程。如果坐標(biāo)點(diǎn)i位于圓上，則其坐標(biāo)(xi，yi)值一定滿足式(3)。對于圓曲線的擬合問題，式(3)中的(x，y)已知。A，B，C所求值。當(dāng)測量點(diǎn)數(shù)為3時，可由式(3)可列出3個方程，這時可求得A，B，C的唯一解，所求得的圓通過這3個測量點(diǎn)。若測量點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)＞3時，測量點(diǎn)的坐標(biāo)不可能全部滿足式(3)。即任一測量點(diǎn)與式(3)存在殘差ei

由于ei有正負(fù)，根據(jù)隨機(jī)誤差的特征，其正負(fù)誤差將會正負(fù)抵消。按照最小二乘法逼近的原則，可將誤差取平方，然后求其平方和，并令平方和最小，這樣就轉(zhuǎn)化為以A，B，C為未知量的多元函數(shù)極值問題，利用多元函數(shù)的極值條件求出A，B，C，進(jìn)而求出最小二乘擬合圓心(a，b)和半徑R。即A，B，C的最小二乘估計值應(yīng)使誤差函數(shù)

達(dá)到最小。式(5)的極值條件為

這樣可得到聯(lián)立方程組

展開移項可以寫成矩陣的形式

式(8)是式(4)的最小二乘解，由這個解所確定的圓雖然不通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，但它與所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)距離的平方和為最小。由式(8)求得A、B、C，可以計算圓心的坐標(biāo)(a，b)和半徑R。

使用上述公式對圓弧所有的邊緣點(diǎn)擬合出綜合圓心和半徑，利用這個綜合圓心與半徑對這些邊緣點(diǎn)進(jìn)行檢查，去掉太遠(yuǎn)或太近的噪聲點(diǎn)，把剩余的邊緣點(diǎn)再進(jìn)行“最小二乘法擬合”，進(jìn)行迭代后，得到圓心位置的精確值，以及圓弧的半徑。

3 圓弧擬合程序設(shè)計

系統(tǒng)主要使用LabVIEW中IMAQ Spoke.VI和IMAQ Fit Circle.VI進(jìn)行圓弧擬合[4-8]，圓弧擬合程序設(shè)計思路是在ROI(Region of Interesting，目標(biāo)區(qū)域)設(shè)置一個半圓搜索區(qū)域，在區(qū)域內(nèi)做一系列的向心搜索線，可以設(shè)定搜索區(qū)域之間的角度來控制搜索線的數(shù)量。搜索線的方向可以由中心向外，也可以由外邊界指向中心。當(dāng)搜索線與圖像的內(nèi)邊緣相交時，在圓弧的內(nèi)邊緣形成一系列邊緣搜索點(diǎn)，通過擬合算法可以得出待檢測圓的圓心和半徑。如圖3所示。

由圖3可以觀察到，圖中半圓形區(qū)域是確定的ROI目標(biāo)查找區(qū)域，帶箭頭的是檢測線，點(diǎn)是找到的邊緣，圓是擬合后的結(jié)果。其圓弧擬合程序如圖4所示。

圖3 圓弧擬合圖

圖4 圓弧擬合程序圖

4 結(jié)束語

根據(jù)單晶硅生長特性分析了晶體直徑檢測的依據(jù)，并提出了圓弧擬合的直徑檢測方法，設(shè)計利用在測試測量領(lǐng)域應(yīng)用廣泛的圖形化語言LabVIEW進(jìn)行程序設(shè)計，根據(jù)最小二乘法圓弧擬合理論，對采集的單晶硅生長信息進(jìn)行圓弧擬合，能夠快速、準(zhǔn)確地檢測出單晶硅的半徑像素值，使檢測系統(tǒng)更加準(zhǔn)確可靠。

[1]田達(dá)晰，蔣科堅.直拉法單晶制造中的直徑檢測技術(shù)[J].半導(dǎo)體技術(shù)，2003，28(3):25-31.

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