基于狀態轉移概率矩陣的軌道不平順發展預測研究

高建敏

(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，成都 610031)

隨著我國路網干線的全面提速和客運專線、重載運輸的發展，鐵路線路設備將承受更大的壓力。在這種狀況下，軌道狀態惡化加劇，軌道不平順發展亦加快加大。軌道不平順的存在，一方面引起機車車輛振動和輪軌間動作用力增大，直接影響高(快)速行車的安全和平穩性;另一方面，由軌道幾何不平順狀態變化引起的動荷載進一步加速軌道狀態的惡化，從而限制行車速度的提高，增加線路養護維修工作量。因此，高(快)速鐵路和重載鐵路發展更應重視軌道的平順性問題［1-2］。軌道不平順是軌道實際狀況的體現，研究軌道幾何不平順特征及其發展變化規律，對軌道養護維修管理具有重要意義。

然而，由于鐵路線路幾何狀態受眾多隨機因素的影響而呈現出明顯的隨機性，決定了軌道不平順是隨里程變化的隨機干擾函數［3］。因此，對軌道不平順無法用確定性函數描述，而應當采用隨機信號理論加以統計描述和分析。實際軌道運營過程中，軌檢車對軌道進行定期的檢查記錄，形成大量的軌道不平順檢測數據。如何根據這些數據判定軌道的狀態，以及跟蹤軌道狀態變化規律，以便合理安排養護維修工作，是軌道養護維修管理中一重要問題。日本較早認識到這一課題的重要性，開展了一系列有價值的研究［4-6］。我國開展這方面的研究較晚，開展的研究工作相對較少。何永春等［7］利用國外相關成果，對滬寧線的軌道高低不平順進行了預測分析;許玉德等［8］利用線性預測模型，對鐵路軌道質量指數(TQI)的發展進行了預測研究;陳憲麥等［9］提出了一種用于軌道不平順發展預測的綜合因子法，對軌道不平順發展趨勢進行了預測;高建敏等［10］則利用軌檢車動態檢測數據，分析討論了基于不平順分布函數的不平順發展統計預測方法，比較了不同預測模型的預測效果和預測精度。本文在文獻［10］研究基礎上，引入市場活動規律分析研究中經常用到的一種預測方法——系統狀態轉移概率矩陣法，利用此方法，基于軌檢車檢測的軌道不平順數據，建立軌道狀態轉移概率矩陣，預測軌道幾何狀態的發展變化。借此，更清晰地理解軌道幾何狀態的發展變化過程，使軌檢車檢測數據得到更充分、合理的利用，為鐵路軌道幾何狀態管理提供參考。

1 系統狀態轉移概率矩陣模型

系統狀態概率矩陣法是俄國學者馬爾可夫創立的馬爾可夫過程理論中的一個最基本的分析方法。所謂馬爾可夫過程是指，如果已知系統的現在狀態，則系統未來所處狀態的概率性就已確定，而不管系統是如何到達現在的狀態。換句話說，系統在已知現在所處狀態的條件下，它將來所處的狀態與過去所處的狀態無關。也就是說，馬爾可夫預測與決策理論是用近期資料進行預測與決策的，因而一般認為，對于某些問題，其得到的結果具有較高的可信度或準確度。

系統狀態轉移概率矩陣模型建立方法為，若已知系統可能存在或產生的狀態數為n個，即系統狀態為S1，S2，…，Sn。將系統在某個時刻 (k － 1)處于狀態Sk－1，下一時刻 k轉移到 Sk狀態的條件概率記為 Pij，則系統狀態轉移情況可用矩陣表示為

轉移概率矩陣用于軌道不平順發展狀態預測時，矩陣中各元素是軌道由初始分布區間轉入其它分布區間或繼續保留在原分布區間的概率。假定軌道狀態發展惡化時，軌道不平順元素只向著更大分布區間變化，不考慮由于其它外界因素而導致的個別元素分布區間降低的情況，則軌道不平順狀態轉移概率矩陣為一下三角矩陣。矩陣對角線元素表示軌道不平順分布區間不變，對角線以外的其它列元素表示不平順分布向更大分布區間轉移的概率。

2 軌道不平順狀態轉移概率矩陣的建立

在列車動荷載反復作用下，有砟軌道不可避免地產生累積下沉，致使軌道平順狀態逐漸惡化。當道床處于穩定期時，可認為軌道累積下沉與通過總重或荷載重復作用次數間呈線性關系［11］。因此，可認為軌道不平順隨時間的變化也呈線性關系，如圖1所示。當軌道不平順狀態惡化到一定程度，就必須安排養護維修，改善其大小，相應地整個軌道不平順的分布狀況也隨之發生變化。故在養護維修周期內，軌道不平順狀態可看作根據當前軌道狀態和軌道養護維修條件逐漸發展、惡化的過程，這同市場活動規律有某些相似之處［12］，可借鑒系統狀態轉移矩陣決策理論和方法，分析軌道狀態的發展變化，預測未來變化趨勢。

對于實測軌道不平順數據，由于原始數據采樣間隔小，數據量大，實際應用中將檢測里程內數據劃分為一定的單元區段，分析單元區段內軌道不平順最大值或標準差等統計量的分布特征［6］。單元區段劃分個數 N由下式確定［6］

圖1 軌道不平順狀態變化

式中，L為檢測線路長度;l為單元區段長度，一般根據統計要求和大型養路機械作業長度來確定。本文中采用25 m區間最大值分析軌道不平順發展狀況。

由概率論知識可知，當狀態概率的理論分布未知時，若樣本容量足夠大，可以用樣本分布近似地描述狀態的理論分布。因此，對于未知分布的轉移概率，可以用轉移頻率來近似地估計轉移概率。這種情況下，系統變量由狀態Sk－1轉向Sk的轉移概率估計值為

式中，aj為變化前處于狀態Sk－1的總狀態數，aij為由變化前狀態 Sk－1轉移到變化后狀態 Sk的狀態數，

將由轉移頻率近似估計產生轉移概率形成的狀態轉移概率矩陣稱為離散轉移概率矩陣。這種由轉移頻率來近似估計轉移概率的方法，只適合于數據量不太大和系統狀態不太多的系統，如果分析系統的數據量較大，系統狀態較多，則統計其轉移頻率就變得極為困難和復雜，這時，不便于采用這種方法來分析系統狀態的變化。對于數據量較大和系統狀態較多的系統，若掌握了系統狀態轉移概率的分布函數及其分布特征，就可以通過概率分布函數確定其轉移概率，從而形成系統狀態轉移概率矩陣，將這種方法形成的轉移概率矩陣稱為連續狀態轉移概率矩陣。

為驗證上述研究方法的可行性，以高低不平順25 m區間最大值發展變化為例，建立了高低不平順25 m區間最大值發展狀態轉移概率矩陣。原始數據為國內某干線鐵路軌道不平順動態檢測數據，檢測時間分別為2005年6月、7月和8月，數據采樣間隔為每點0.25 m。

圖2所示為選取一小段數據樣本統計所得的高低不平順25 m區間最大值離散轉移概率矩陣。由圖2可見，這種轉移概率矩陣是極為離散的，狀態轉移頻率或概率受原始數據影響大，轉移概率矩陣不具有通用性。

軌道不平順是隨里程變化的隨機函數，其分布狀況及其分布變化規律是連續的，且其檢測數據量是極其龐大的，不能以少量樣本數據代表其總體發展變化趨勢。大量研究資料表明，軌道不平順發展近似于指數分布［4，10］，因此，類推到不平順轉移概率矩陣上，其轉移概率近似具有指數分布規律。于是，可以假定轉移概率Pij服從指數分布，根據指數分布規律推求軌道不平順發展轉移概率矩陣。此轉移概率矩陣反映軌道不平順總體分布趨勢，不受個別異常數據影響。圖3即為根據指數分布規律求出的高低不平順25 m區間最大值發展轉移概率矩陣。指數分布參數根據實際不平順發展狀況確定，本文中指數分布參數近似取值0.52。

圖2 軌道不平順發展離散轉移概率矩陣

圖3 軌道不平順發展連續轉移概率矩陣

3 軌道不平順狀態發展預測

根據式(1)～式(5)和圖2、圖3所示狀態轉移概率矩陣，對軌道高低不平順25 m區間最大值發展狀況進行了預測。圖4(a)、圖4(b)分別為采用離散轉移概率矩陣和連續狀態轉移概率矩陣，以2005年6月軌道高低不平順25 m區間最大值分布為已知分布狀態，計算所得的隨后兩個月不平順區間最大值概率分布的變化情況。由圖4(a)、圖4(b)可以看出，無論是采用離散狀態轉移概率矩陣，還是采用連續狀態轉移概率矩陣，預測得出的高低不平順區段最大值分布都是趨向更大的數據范圍變化，說明軌道不平順是逐漸發展和惡化的，符合軌道不平順狀態實際發展規律。由于離散狀態轉移概率矩陣基于小部分檢測數據建立，未消除初始異常數據的影響，而連續狀態轉移概率矩陣基于大量軌道不平順檢測數據建立，代表更為一般的線路狀況，消除了初始異常數據的影響。因此，采用連續狀態轉移概率矩陣預測得出的不平順分布曲線較采用離散狀態轉移概率矩陣預測得出的不平順分布曲線更光滑，分布曲線顯示出的不平順發展變化趨勢更明了。

圖4 軌道高低不平順發展預測

圖5、圖6進一步給出了采用離散狀態轉移概率矩陣和連續狀態轉移概率矩陣預測得出的2005年7月份和2005年8月份高低不平順區段最大值分布與根據實際檢測值計算得出的分布圖的對比。由圖5和圖6可見，無論是采用離散狀態轉移概率矩陣，還是采用連續狀態轉移概率矩陣，在短期內，軌道不平順發展預測效果較好，但隨著預測時間增長，預測效果降低。由此說明，狀態轉移概率矩陣法更適用于系統變化趨勢的短期預測。對比圖5和圖6可進一步看出，由于離散狀態轉移概率矩陣基于小部分不平順檢測數據建立，僅對部分不平順發展趨勢進行預測，而連續狀態轉移概率矩陣基于大量數據樣本建立，對更廣泛的線路狀態變化進行預測，因此，在短期內，采用離散狀態轉移概率矩陣的預測效果較采用連續狀態轉移概率矩陣的預測效果好。但是，采用連續狀態轉移概率矩陣預測軌道幾何狀態的變化，代表了更為一般的線路狀況，如果能較準確地獲得初期軌道不平順分布特征及其分布參數，則采用連續狀態轉移概率矩陣獲得的不平順發展預測結果會更接近于實際狀況。

圖5 高低不平順發展實測值與預測值分布對比(離散狀態轉移概率矩陣)

圖6 高低不平順發展實測值與預測值分布對比(連續狀態轉移概率矩陣)

離散狀態轉移概率矩陣適用于數據量小、變化狀態少的系統的預測研究應用，對于像軌道不平順檢測數據這樣大宗數據，直接通過頻率統計手段推導離散轉移概率矩陣，困難較大，不便采用。因此，需借助連續軌道狀態轉移概率矩陣分析不平順分布變化趨勢。上述采用連續狀態轉移概率矩陣預測不平順發展的研究僅僅作為一個算例，其轉移概率分布及其參數的確定僅考慮了整個軌道不平順發展的大致情況。在實際軌道狀態檢測數據中，存在較多異常數據成分，這些異常數據成分在采用連續狀態轉移概率矩陣預測時，并不能完全再現。所以，實際應用中，應根據軌道狀態實際檢測情況，分析和剔除異常數據成分，較為準確地確定軌道狀態發展分布特征及其主控參數。這樣，才能對軌道狀態變化進行更為準確、更接近實際的預測，為軌道實際狀況的分析和定量把握提供一套有效的處理方法或手段。

4 結論

1)在養護維修周期內，軌道不平順狀態是一個隨時間或運量逐漸發展變化的過程，軌道不平順狀態具有“重復性”或“記憶性”，新的軌道狀態依賴于初始軌道平順狀態，這同市場活動規律有某些相似之處，因而，可借鑒市場活動規律分析中常用的一種工具——系統狀態轉移矩陣法來分析軌道幾何狀態變化，預測變化趨勢。

2)基于軌道不平順實測數據，以高低不平順25 m區間最大值發展變化為例，建立了軌道幾何狀態發展預測的離散和連續轉移概率矩陣，通過此矩陣分析了軌道幾何狀態的發展變化情況。結果發現，采用離散轉移概率矩陣可以對軌道幾何狀態變化情況進行較好的預測，但是，這種轉移概率矩陣只有當數據量較小、變化狀態也較少時才方便建立，對于像軌道不平順檢測數據這樣大宗數據，直接通過頻率統計手段推導離散轉移概率矩陣，困難較大，不便采用;采用連續軌道狀態轉移概率矩陣，可在一定程度上反映出軌道狀態發展變化趨勢，這種狀態轉移概率矩陣根據軌道不平順發展分布特征及其分布參數確定，不受數據量限制，受異常數據影響小，方便建立，利于現場分析采用。因此，建議采用連續狀態轉移概率矩陣分析軌道不平順狀態的變化情況，掌握變化發展趨勢，指導軌道管理工作。

3)本文只分析了軌道幾何狀態惡化情況，對于養護維修后，軌道狀態的改善，同樣可以建立軌道狀態養護轉移概率矩陣，分析養護維修后軌道狀態的改善情況及其變化趨勢。

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